2021-2022学年贵州师范大学附属中学高二4月月考数学（理）试题含解析

这是一份2021-2022学年贵州师范大学附属中学高二4月月考数学（理）试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年贵州师范大学附属中学高二4月月考数学（理）试题一、单选题1．集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合，进而求出集合的补集，根据集合的交集运算，即可求出.【详解】因为，所以或，所以故选：B.2．偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（       ）A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值【答案】A【分析】根据偶函数的性质分析即得解.【详解】解：偶函数在区间上单调递减，则由偶函数的图象关于y轴对称，则有在上单调递增，即有最小值为，最大值对照选项，A正确．故选：A3．阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切)，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中球的体积为(       )A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合圆柱和球的表面积与体积公式即可计算.【详解】由题可知球的表面积为圆柱表面积的三分之二，设球的半径为R，则，∴，∴.故选：A.4．已知向量与向量，若//，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量平行的坐标表示，带值计算即可.【详解】因为//，故可得，解得.故选：C.5．在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，则下形命题中真命题是（       ）A．若，则  B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据空间中线面，面面位置关系逐项判断，即可求出结果.【详解】若，则或与相交或与是异面直线，故A错误；若，则，故B正确；若，则或与相交，故C错误；若，则或与相交，故D错误.故选：B.6．（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用微积分基本定理求解.【详解】.故选：.7．某路公交车每趟车始终间隔20分钟，每趟车在车站均停留两分钟，乘客在某站等车时间不超过10分钟的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意知本题是一个几何概型，根据题意可知试验包含的所有事件时间长度，以及满足条件的事件长度，再根据几何概型概率公式，即可求出结果．【详解】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是公交车每趟车始终间隔20分钟，每趟车在车站均停留两分钟，时间长度是22，满足条件的事件是乘客在某站等车时间不超过10分钟，时间长度是10，由几何概型概率公式可知.故选：C．8．已知函数，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ）A．的最小正周期是 B．的最小值为C．在上单调递增 D．的图象关于点对称【答案】C【分析】依据题意对函数进行变换，然后利用三角函数的性质解题.【详解】由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得；再将所得到的图象向右平移个单位长度得所以，其最小正周期为，最小值为．排除AB；其单调递增区间为,解得，C正确；对称中心为，解得，所以其图象关于点对称，排除D.故选：C9．在等比数列中，已知，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合等比数列的通项公式，充分、必要条件的定义判断即可.【详解】解：依题意，由；由且；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B10．已知函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，则a+b的值为（       ）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3【答案】A【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由题意列关于a和b的方程组，求解可得a与b的值，则答案可求.【详解】解：由f（x）=alnx+bx2，得2bx，∵函数f（x）=alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2=0，∴，解得.∴a+b=﹣2.故选：A.11．已知双曲线的右焦点为，以实轴为直径的圆与其中一条渐近线的一个交点为，若直线与另一条渐近线平行，则的离心率为（       ）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】将一条渐近线方程与以实轴为直径的圆方程联立可得出点坐标，进而可得直线的斜率，通过直线与另一条渐近线斜率相等即可得出的关系，从而求得双曲线的离心率.【详解】不妨设为第一象限的交点.联立方程组可得的坐标为，所以直线的斜率.因为直线与另一条渐近线平行，所以，所以，则，故的离心率.故选：D.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．12．若对任意的，且，则m的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，构造函数，利用导数求其单调区间，再结合题意即可求得的最小值.【详解】因为，故可得，即，，令，则上式等价于，又，根据题意，在单调递减；又，令，解得，即的单调减区间为，要满足题意，只需，即的最小值为.故选：B. 二、填空题13．实数满足约束条件，则的最大值为___________.【答案】（或）【分析】在直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，平行移动直线，在平面区域内，当直线经过一点时，使得它在纵轴的截距最大，把该点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：当直线在可行解域内经过点时，该直线在纵轴上的截距最大，解方程组，得，即，代入目标函数中，得，故答案为：14．定积分___________.【答案】【分析】根据定积分的几何意义即可得解.【详解】由化简得表示以为圆心，1为半径在轴上方的圆，由定积分的几何意义，得定积分，故答案为：.15．已知，，，…，为抛物线：上的点，为抛物线的焦点．在等比数列中，，，，…，．则的横坐标为__________．【答案】【分析】利用在抛物线上可求得，结合等比数列的公比可求得，利用抛物线的焦半径公式即可求得结果.【详解】在抛物线上，，解得：，抛物线；数列为等比数列，又，，公比，，即，解得：，即的横坐标为.故答案为：.16．已知函数在上恰有一个极值，则___________.【答案】2【分析】由导数知识可知，函数上恰有一个变号零点，利用导数得出的单调性，借助函数图象得出的值.【详解】解：因为，，所以，因为在上恰有一个极值，所以在上恰有一个变号零点，即函数上恰有一个变号零点.令，则.当时，；当时，.故在，上单调递减，在上单调递增.因为，，，所以的大致图象如图所示，因为函数在恰有一个变号零点，所以，此时函数在上恰有一个极值.故答案为： 三、解答题17．求下列函数的导数．(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）导数四则运算中的乘除法则.（2）求导数，主要考查复合函数，外导乘内导.【详解】(1)(2).18．20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图.(1)求频率分布直方图中的值；(2)根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数；(3)已知成绩在内的男生数与女生数的比例为，若在成绩为内的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名男生和1名女生的概率.【答案】(1)(2)众位数为，中位数为(3)【分析】（1）根据所有矩形的面积之和即频率之和为1，求得答案；（2）根据频率分布直方图，结合众数和中位数的计算方法，求得答案；（3）根据男女生比例确定男女生人数，算出8人选2人的总选法数和恰有1名男生1名女生的选法，根据古典概型的概率公式求得答案.【详解】(1)由频率分布直方图得：，解得；(2)根据频率分布直方图估计名学生数学考试成绩的众数为,设中位数为，则，则.(3)成绩在[80，100]内的学生人数有人男生人数6人，女生人数2人，8人选2人的总选法数 种，恰有1名男生1名女生的选法有种，所以概率为.19．已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，且.(1)求角；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角恒等变换化简，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值.【详解】(1)解：由及正弦定理可得，由余弦定理可得，因为，则.(2)解：，因为为锐角三角形且，则，可得，所以，，故当时，取得最大值.20．如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，其对角线AC与BD相交于点O，，．(1)证明：平面ABCD；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明、来证得平面ABCD.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，进而求得其正弦值.【详解】(1)连接，，由题意，，，，知与为全等三角形，所以，故．不妨设，则，，，在中由余弦定理可得，故，在中，，故，AO与BD相交于点O，且AO与BD都包含于平面ABCD，所以平面．(2)由（1）可知，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．可得，，，，，，故，，，设为平面的一个法向量，则，得，同理可得平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，，所以二面角的正弦值为．21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）如果对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减（2）【分析】（1）求出函数的导数，分、两类情况讨论导数符号从而分析函数单调性；（2）根据题意可将不等式整理为，利用导数判断函数的符号从而确定函数的符号，推出函数在上的单调性及最大值即可求得a的范围.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，恒成立，即在上单调递增.当时，由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，综上可知：当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）对任意，，令，则，令，在上恒成立，在上单调递减，，即在上恒成立，则在上单调递减，，故.【点睛】本题考查导数在研究函数的性质中的应用，利用导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.22．如图，在矩形中，，，以，为焦点的椭圆：恰好过，两点.(1)求椭圆的方程；(2)已知为原点，直线：与轴交于点，与椭圆相交于两点，且在轴不同侧，若，求m的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据已知条件，求得以及点的坐标，待定系数即可求得椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，根据它们交于两点，以及两点在轴不同侧，结合三角形面积之间的关系，即可求得参数的范围.【详解】(1)因为，故可得；又点的坐标为，故，又，故可得，则椭圆方程为：.(2)联立直线方程与椭圆方程可得：，因直线与椭圆交于两点，故，即；设两点的坐标为，则，因在轴不同侧，故，故可得；又点的坐标为，故，故，则（舍）或，则，即，则，整理得：，则，结合，则，解得，即或.综上所述：的取值范围为：.【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中参数范围的求解，涉及三角形面积的处理，属综合中档题；处理问题的关键是合理转化三角形的面积比，从而求得之间的等量关系.