2021-2022学年贵州省高二学业水平考试数学试题含解析

2021-2022学年贵州省高二学业水平考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的交集运算，直接求得答案.

【详解】集合，

则，

故选：B

2．函数的定义域是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分式的性质求函数的定义域即可.

【详解】由函数解析式知：，

所以函数定义域为.

故选：C

3．已知向量，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量加法的坐标运算法则求解.

【详解】解：由题意得：

故选：A

4．函数的零点为（       ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】D

【分析】令，求出方程的解，即可得到函数的零点.

【详解】解：令，即，解得，所以函数的零点为；

故选：D

5．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数图象直接确定单调递减区间即可.

【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，

所以的单调递减区间为.

故选：B

6．向量的相反向量是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据相反向量的定义写出的相反向量对应坐标即可.

【详解】由相反向量定义，的相反向量为.

故选：C

7．从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】列举出所有基本事件，再根据古典概型即可得出答案.

【详解】解：从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，

共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3种选法，

其中乙被选中有2种选法，

故乙被选中的概率为.

故选：C.

8．如图所示茎叶图表示的数据中，众数是（       ）

A．78 B．79 C．82 D．84

【答案】D

【分析】根据茎叶图，看出现次数最多的数据是哪个，即可得答案.

【详解】根据茎叶图可知，只有84出现的次数最多为2次，其余数均出现1次，

故众数为84，

故选：D

9．计算的值为（       ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦差角公式的逆用即可求值.

【详解】.

故选：B.

10．观察正方形数1，4，9，（       ），25，36，…的规律，则括号内的数应为（       ）

A．16 B．25 C．36 D．49

【答案】A

【分析】观察规律，直接计算即可求解

【详解】设，

明显地，，，所以，①，②，由①和②式，可得到才满足题意，所以，

故选A

11．某班有45名学生，其中男生25人，女生20人．现用分层抽样的方法，从该班学生中抽取9人参加禁毒知识测试，则应抽取的男生人数为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】利用分层抽样的性质进行求解即可.

【详解】因为用分层抽样的方法，

所以应抽取的男生人数为，

故选：C

12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由三视图可得该几何体是个圆柱，根据图中数据，以及圆柱的体积公式，即可得出结果．

【详解】由三视图可得：该几何体是个圆柱，且圆柱底面圆半径为，高为，

因此，该几何体的体积为：．

故选：A

13．在正项等比数列中，，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质即可得出答案.

【详解】解：因为，，

所以.

故选：B.

14．已知幂函数的图象经过点，则（       ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据题意，将代入到中，即可求得答案.

【详解】由题意，幂函数的图象经过点，

则 ，

故选：D

15．已知空间直角坐标系中两点，则的值为（       ）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】B

【分析】利用空间中两点间的距离公式即可求解.

【详解】因为空间直角坐标系中两点，

所以.

故选：B

16．执行如图所示的程序框图，若输入t的值是3，则输出m的值为（       ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】D

【分析】模拟执行程序即可得到输出值；

【详解】解：输入，，，输出，即输出的值为；

故选：D

17．已知函数则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】直接带入，即可求解.

【详解】因为函数，所以.

故选：B

18．已知角是锐角，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平方关系计算可得；

【详解】解：因为且角是锐角，所以，所以；

故选：A

19．如图，在一个九等分的圆盘中随机取一点P，则点P取自阴影部分的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据面积型几何概型的概率公式计算可得.

【详解】解：设圆的半径为，则圆的面积为，其中阴影部分的面积为，所以从圆盘中随机取一点，点取自阴影部分的概率；

故选：A

20．计算的值为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据对数的性质与运算法则计算可得；

【详解】解：

故选：D

21．甲、乙两位同学的5次数学学业水平模拟考试成绩的方差分别为10.2和14.3，则以下解释比较合理的是（       ）

A．甲比乙的成绩稳定 B．乙比甲的成绩稳定

C．甲、乙的成绩稳定性无差异 D．甲比乙的成绩的标准差大

【答案】A

【分析】根据方差的实际意义，结合各选项的描述即可判断正误.

【详解】由已知甲乙的方差知：，即甲比乙的成绩稳定，甲比乙的成绩的标准差小，

所以A正确，B、C、D错误.

故选：A

22．如图，正方体中，E为的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（       ）

A． B． C． D．EO

【答案】C

【分析】根据线面平行的判定定理即可得出答案.

【详解】解：对于A，因为直线与平面AEC交于点，故不平行；

对于B，因为直线与平面AEC交于点，故不平行；

对于C，在正方体中，

因为E为的中点，为的中点，

所以，

又平面AEC，平面AEC，

所以平面AEC；

对于D，因为平面AEC，故不平行.

故选：C.

23．函数的最小正周期为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直接利用三角函数周期公式得到答案.

【详解】函数的最小正周期为.

故选：.

【点睛】本题考查了三角函数周期，属于简单题.

24．实数x，y满足则的最大值为（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】画出线性约束条件对应的可行域，根据目标式的几何意义，应用数形结合思想求的最大值.

【详解】由约束条件可得如下可行域，

所以表示在平移过程中与可行域有交点时与x轴的截距，

故要使最大，只需过点，即.

故选：B

25．三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若则的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角形面积公式直接求△的面积即可.

【详解】由三角形面积公式知：.

故选：A

26．已知等边三角形ABC的外接圆圆心为O，半径为6，则所对的劣弧长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据等边三角形外接圆的性质易得对应的劣弧圆心角，再应用弧长公式求劣弧的长度.

【详解】由题设，所对的劣弧，即为边对应的劣弧，故，

所以所对的劣弧长为.

故选：D

27．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，则所得图像的函数解析式为

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据图象平移的法则：“左加右减”即可得出

【详解】将函数的图象上所有点向左平移个单位长度得到的函数是

故选：C

【点睛】本题考查的是三角函数的平移变换，较简单.

28．已知向量和的夹角为，，则（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据数量积公式即可求解．

【详解】由

故选：D

29．某校初二年级学生一次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则该图中a的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据所有小矩形的面积之和为1，列出方程，从而可得出答案.

【详解】解：根据频率分布直方图可得：

，

解得.

故选：D.

30．三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦定理计算可得；

【详解】解：在中由正弦定理可得，即，即，解得；

故选：C

31．为研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到如下实验数据：

由最小二乘法得到与的回归方程为，则的值为（       ）A．0.35 B．0.30 C．0.25              D．0.20

【答案】A

【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得的值．

【详解】∵，．

∴样本点的中心的坐标为，代入，得，解得．

故选：A．

32．已知向量．若，则实数m的值为（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】根据，可得，解之即可.

【详解】解：因为，

所以，解得.

故选：B.

33．我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代汉语叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前日的一半．现把“一尺之棰”长度看成单位“1”，则第一日所取木棒长度为，那么前四日所取木棒的总长度为（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得每天所取部分是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列前项和公式即可得出答案.

【详解】解：由题意可知，每天所取部分是以为首项，为公比的等比数列，

所以前四日所取木棒的总长度为.

故选：C.

34．已知函数，若对任意恒成立，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判断出在单调递增，求出，即可求出实数m的范围.

【详解】因为在单调递增，在单调递增，

所以在单调递增.

所以.

因为对任意恒成立，所以.

故选：D

35．△三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知及余弦定理、三角形内角性质可得，再应用正弦定理有，将目标式转化为且，利用正弦型函数性质求最大值即可.

【详解】由余弦定理，又，故，

由正弦定理知：，则，

所以，而，

则且，

又，当时的最大值为.

故选：A

【点睛】关键点点睛：应用正余弦的边角关系求得，再将目标式转化为三角函数形式，利用正弦函数性质求最值.

二、填空题

36．的值为____________．

【答案】1

【分析】利用特殊角的三角函数求解.

【详解】，

故答案为：1

37．在等差数列中，，公差，则____________．

【答案】5

【分析】利用等差数列的通项公式求解.

【详解】解：因为等差数列中，，公差，

所以，

故答案为：5

38．已知函数，则的最小值为____________．

【答案】

【分析】利用基本不等式计算可得.

【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号，

故答案为：

39．已知直线与直线垂直，则实数a的值为____________．

【答案】

【分析】根据直线垂直系数关系列方程即可求解．

【详解】由直线与直线垂直，可得，

计算得出，

故答案为：．

40．已知数列的通项公式为记数列的前n项和为．若不等式．对任意恒成立，则实数m的取值范围为____________．

【答案】或

【分析】要使不等式，对任意恒成立，只需要即可，分和两种情况讨论求出，当时，利用裂项相消法求出，从而可求出的最大值，即可得解.

【详解】解：要使不等式，对任意恒成立，

只需要即可，

当时，，则，

当时，，

则，

综上所述，当时，，

所以，解得或.

故答案为：或.

三、解答题

41．已知函数．

(1)当时，求值；

(2)若是偶函数，求的最大值．

【答案】(1)4

(2)2

【分析】（1）先得到函数，再求值；

（2）先利用函数是偶函数，求得，再求最值.

【详解】(1)解：当时，，

所以；

(2)因为是偶函数，

所以成立，

即成立，

所以，则，

所以的最大值为2．

42．如图，三棱柱中，底面ABC，，且．

(1)求直线与平面ABC所成角的大小；

(2)求证：平面．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由底面，即可得到为直线与平面所成角，再由，即可得到；

（2）由线面垂直得到，再由，即可得证；

【详解】(1)解：因为底面，底面，所以，所以为在底面的射影，所以为直线与平面所成角，又，所以，即直线与平面所成角为；

(2)证明：因为底面，底面，所以，又，且，平面，所以平面；

43．已知圆过点．

(1)求圆O的方程；

(2)过点的直线l与圆O交于A，B两点，设点，求面积的最大值，并求出此时直线l的方程．

【答案】(1)

(2)面积的最大值34.375，此时直线方程为.

【分析】（1）根据圆过点求解；

（2）分直线的斜率不存在时：直线方程为，当直线的斜率存在时，设直线方程为，求得和点P到直线的距离为，由求解.

【详解】(1)解：因为圆过点，

所以，

所以圆O的方程为；

(2)当直线的斜率不存在时：直线方程为，

此时，点P到直线的距离为，

所以，

当直线的斜率存在时，设直线方程为，

圆心到直线的距离为，

则，

点P到直线的距离为，

所以，

，

，

当，即，

面积的最大值34.375，此时直线方程为.