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    2021-2022学年贵州省遵义航天高级中学高二下学期第一次月考数学(理)试题含解析

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    这是一份2021-2022学年贵州省遵义航天高级中学高二下学期第一次月考数学(理)试题含解析,共17页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021-2022学年贵州省遵义航天高级中学高二下学期第一次月考数学(理)试题

    一、单选题

    1.复数的虚部为(       

    A1 B C-1 D

    【答案】C

    【分析】根据复数的摸及四则运算,再结合复数的概念即可求解.

    【详解】.

    故选:C.

    2.已知a为实数,则方程表示的曲线为椭圆的(       

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】A

    【分析】根据方程为椭圆的条件,得出的范围,再利用充分条件和必要条件进行判断.

    【详解】由方程表示的曲线为椭圆,则

    ,解得

    所以的充分不必要条件,即

    方程表示的曲线为椭圆的充分不必要条件.

    故选:A.

    3.设存在导函数且满足,则曲线上的点处的切线的斜率为(       

    A-1 B-3 C1 D

    【答案】D

    【分析】利用导数的定义求解.

    【详解】解:因为

    所以

    故选:D

    4.已知是函数的导函数,且的图像如图所示, 则函数的图像可能是(       

    A B

    C D

    【答案】D

    【分析】根据导函数图象判断出函数的单调性即可得出.

    【详解】根据导函数的图象可得,当时,,则单调递减;

    时,,则单调递增;

    时,,则单调递减,

    所以只有D选项符合.

    故选:D.

    5.如图,在四棱锥中,底面ABCD为矩形,底面EPC的中点,则异面直线PDBE所成角的余弦值为(       

    A  B C D

    【答案】B

    【分析】点为坐标原点建立空间直角坐标系,利用线线角的向量求法可求得结果.

    【详解】点为坐标原点,x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如下图所示:

    设异面直线所成角为,则.

    故选:B.

    【点睛】方法点睛:本题考查线线角的求法,利用空间向量求立体几何常考查的夹角:设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则

    两直线所成的角为(),

    直线与平面所成的角为(),

    二面角的大小为(),

    6.过椭圆内的一点P2-1)的弦,恰好被P点平分,则这条弦所在的直线方程是(       

    A B C D

    【答案】A

    【分析】设这条弦的两端点为Ax1y1),Bx2y2),由点差法得到,由中点坐标公式可得:x1+x2=4y1+y2=-2∴5(y1-y2 )=2x1-x2),进而得到直线的斜率和方程.

    【详解】设这条弦的两端点为Ax1y1),Bx2y2),直线斜率为k

    两式相减可得:

    由中点坐标公式可得:x1+x2=4y1+y2=-2∴5(y1-y2 )=2x1-x2),

    弦所在的直线方程

    整理得:

    故选A.

    【点睛】这个题目考查的是椭圆的中点弦问题,点差法的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是点差法具有不等价性,即要考虑判别式是否大于零.

    7.函数处取得极大值,则实数的值为(       

    A B C D

    【答案】C

    【分析】求出函数的导数,得到关于m的方程,求出m的值,代入函数的解析式,利用在处取得极大值,进行检验,从而确定m的值即可.

    【详解】.

    由题意得: ,解得:m=1m=3.

    m=1, .

    ,解得:x>1;令,解得:.

    上递增,上递减,(1,+∞) 上递增,是极大值点,符合题意.

    m=3, .

    ,解得:,,解得:.上递增,上递减,上递增,是极小值点,不符合题意.

    综上所述:m=1.

    故选:C.

    8.已知直线是曲线的一条切线,则实数m的值为(       

    A B C D

    【答案】A

    【分析】首先设切点为,根据直线是曲线的一条切线得到,再将切点代入曲线方程即可得到答案.

    【详解】解:设切点坐标为.

    因为直线是曲线的一条切线,

    所以,解得.

    将切点代入得到.

    故选:A.

    9.若对任意的恒成立,则实数a的最小值为(       

    A3 B2 C-2 D-3

    【答案】A

    【分析】先利用分离参数法得到对任意的恒成立.定义函数,利用导数求出,即可得到答案.

    【详解】因为对任意的恒成立,

    所以对任意的恒成立.

    ,只需.

    .

    ,解得:;令,解得:

    所以上单增,在上单减,所以.

    所以.即实数a的最小值为3.

    故选:A.

    10.已知抛物线的焦点为F,准线为lPl上一点,Q是直线PFC的一个交点,若,则       

    A B2 C D

    【答案】D

    【分析】由题意解出点横坐标,由抛物线的定义求解

    【详解】,设

    ,则,得

    由抛物线定义得

    故选:D

    11.已知三棱锥ABC三点均在球心为O的球表面上,,三棱锥的体积为,则球O的表面积是(       )

    A B C D

    【答案】B

    【分析】求出AC边,根据正弦定理求出ABC外接圆半径,设ABC外接圆圆心为G,则根据三棱锥体积可求出OG,在Rt△OGA中,利用勾股定理即可求外接球半径OA,根据球的表面积公式即可求得答案.

    【详解】

    三棱三点均在球心的表面上,且

    易求

    的外接圆的圆心为

    根据正弦定理得ABC外接圆的半径为:

    O为球心,故OG平面ABC

    棱锥的体积为

    ,即

    球的半径为:

    球的表面积:

    故选:B

    12.若xab为任意实数,若,则最小值为(       )

    A B9 C D

    【答案】C

    【分析】由题可知,问题可转化为圆上动点到函数ylnx图像上动点距离的最小值,即求函数ylnx上动点到圆心距离的最小值,数形结合可知当ylnx处的切线与连线垂直时为最小值,据此求出m的值,即可得到答案.

    【详解】可得在以为圆心,1为半径的圆上,

    表示点与点的距离的平方,

    即表示圆上动点到函数ylnx图像上动点距离的平方.

    ylnx上一点,且在处的ylnx的切线与连线垂直,可得

    即有

    时递增,且,可得m1,即切点为

    圆心与切点的距离为

    由此可得的最小值为

    故选:C

     

    二、填空题

    13.经过点的抛物线的标准方程为__________

    【答案】

    【详解】由点在第四象限,则抛物线的开口方向为向右或向下,所以可设该抛物线的方程为),将点坐标分别代入两方程得,所求抛物线的方程为.

    14.已知函数是定义在R上的偶函数,,则不等式的解集为______

    【答案】

    【分析】构造函数,利用导数可得函数的单调性,结合及函数的奇偶性,即可求得不等式的解集.

    【详解】时,

    上递减,函数是定义在上的偶函数,

    是奇函数,上递减,

    时,时,

    根据函数的奇偶性知,时,时,

    时,等价于,当时,不成立,

    不等式的解集为

    故答案为:.

    15.已知分别为双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上一点P满足,且,则该双曲线的离心率为______

    【答案】

    【分析】依题意根据双曲线的定义可得,再根据向量数量积的定义求出,在中利用余弦定理得到,即可得解;

    【详解】解:根据双曲线的定义可得,又,所以

    ,所以

    ,在中由余弦定理

    ,即,所以离心率

    故答案为:

    16.设函数,若的极大值点,则a取值范围为_______________.

    【答案】

    【详解】试题分析:的定义域为,由,得,所以.①,由,得,当时,,此时

    单调递增,当时,,此时单调递减,所以的极大值点;,由,得.因为的极大值点,所以,解得,综合①②的取值范围是,故答案为.

    【解析】1、利用导数研究函数的单调性;2、利用导数研究函数的极值.

     

    三、解答题

    17.求函数的最值.

    【答案】最大值为,最小值为

    【分析】求出函数的导函数,即可得到函数的单调区间与极值,再计算出区间端点函数值,与极值比较,即可得解;

    【详解】解:因为,所以

    ,解得,当,当,当

    所以上单调递增,在上单调递减,

    所以函数在处取得极大值,在处取得极小值,

    因为,所以

    显然,即

    所以函数上的最大值为,最小值为

    18.如图,四棱锥的底面是矩形,底面M的中点,且

    (1)

    (2)求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】(1)

    (2)

    【分析】1)以为坐标原点建立空间直角坐标系,设,根据可求得,即为长;

    2)利用线面角的向量求法直接求解即可.

    【详解】(1)为坐标原点,的正方向为轴,可建立如图所示空间直角坐标系,

    ,则

    ,解得:,即

    .

    (2)由(1)得:

    设平面的法向量

    ,令,解得:

    即直线与平面所成角的正弦值为.

    19.(1)讨论的单调性:

    2)已知,证明:时,

    【答案】1)见解析,(2)见解析

    【分析】1)由导数分析单调性

    2)由导数与二阶导数,结合零点存在性定理分析单调性后求最小值证明

    【详解】1

    时,

    时,上单调递增,

    时,令,得

    上单调递减,在上单调递增,

    时,上单调递减.

    2)当时,

     ,则上单调递增.

    ,取

    由零点存在性定理,存在使得,有

    上单调递减,在上单调递增,

    时,

    20.如图,在四面体ABCD中,是正三角形,是直角三角形,AB=BD

    (1)求证:平面平面ABC

    (2),二面角的余弦值为,求m

    【答案】(1)证明见解析

    (2)

    【分析】1)取的中点,连接,则由已知可得为二面角的平面角,由已知可得,所以可得,从而可证得结论,

    2)由于,所以以为原点,所在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解

    【详解】(1)证明:因为是正三角形,所以

    因为公共边,

    所以,

    所以

    因为是直角三角形,

    所以

    的中点,连接,则,

    因为是正三角形,所以

    所以为二面角的平面角,

    中,

    因为,所以,

    所以

    所以平面平面ABC

    (2)由(1)可得,所以以为原点,所在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

    设等边的边长为2,则

    因为,所以

    所以

    设平面的法向量为,则

    ,则

    设平面的法向量为,则

    ,则

    因为二面角的余弦值为

    所以

    化简得

    解得

    如图,过,连接,则由(1)可得

    因为,所以平面

    所以平面平面,所以二面角为直角二面角,

    因为

    所以,

    所以,

    所以,所以,

    所以当时,二面角为钝角,

    所以舍去,

    所以

    21.已知椭圆的右顶点、上顶点分别为AB,坐标原点到直线AB的距离为,且.

    1)求椭圆C的方程;

    2)过椭圆C的左焦点的直线交椭圆于MN两点,且该椭圆上存在点P,使得四边形MONP(图形上字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线的方程.

    【答案】1;(2.

    【分析】1)首先求直线方程,表示原点到直线的距离,再根据,联立解求椭圆方程;

    2)直线,与椭圆方程联立,表示

    再利用中点坐标公式表示点的坐标,根据点在椭圆上,代入椭圆方程求

    【详解】(1) 设直线AB的方程为

    原点到AB的距离为,又

    解得

    故椭圆的方程为

    2)由(1)得椭圆的左焦点

    易知直线的斜率不为0,可设直线,设

    因为MOPN为平行四边形,

    联立

    因为点P在椭圆上,有

    所以直线的方程为.

    【点睛】本题考查求椭圆方程和直线与椭圆相交的综合问题,意在考查转化与化归的思想和计算能力,第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单,在解决圆锥曲线与动直线问题中,韦达定理,弦长公式都是解题的基本工具.

    22.已知函数R

    1)若存在单调递增区间,求的取值范围;

    2)若的两个不同极值点,证明:

    【答案】1;(2)证明见解析.

    【分析】1)根据题意知有解,则有解,利用导数判断函数的单调性从而确定最大值,即可得解;

    2)根据题意可得,联立可得,问题转化为证明成立,令,利用导数研究函数的单调性及最值,从而证明.

    【详解】1)函数定义域为,根据题意知有解

    有解,令

    且当时,单调递增;当时,单调递减

    2)由的不同极值点,知的两根

    联立可得:

    要证,由代入即证,即

    代入可得

    且由上一问可知,

    ,则等价于

    ),问题转化为证明成立

    上单调递增,当,所以成立,得证.

    ,则等价于

    问题转化为证明成立

    上单调递增,当成立,得证.

    【点睛】方法点睛:破解双参数不等式的方法:

    一是转化,即由已知条件入手,寻找双参数满足的关系式,并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式;

    二是巧构函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值;

    三是回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.

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