2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期4月月考数学试题含解析

2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．函数，正确的命题是（    ）

A．值域为 B．在 是增函数

C．有两个不同的零点 D．过点的切线有两条

【答案】B

【分析】利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线.

【详解】因为，所以，

因此当时在上是增函数，即在上是增函数；

当时在上是减函数，因此；值域不为R;

当时,当时只有一个零点，即只有一个零点；

设切点为，则，所以过点的切线只有一条；

综上选B.

【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题.

2．已知函数，那么下列说法正确的是（     ）

A．在点处有相同的切线

B．函数有两个极值点

C．对任意恒成立

D．的图象有且只有两个交点

【答案】D

【分析】结合切线的斜率、极值点、不等式恒成立、函数图象的交点对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，，，，所以A选项错误.

B选项，令，

，

所以在区间递减；在区间递增.

所以有极小值也即是有最小值，无极大值，无最大值，函数有个极值点，

，，

，

所以有个零点，也即的图象有且只有两个交点，

所以BC选项错误，D选项正确.

故选：D

3．关于函数，下列判断正确的是（   ）

①是极大值点；

②函数有且仅有个零点；

③存在正实数，使得成立；

④对任意两个正实数、且，若，则.

A．①④ B．②③ C．②③④ D．②④

【答案】D

【分析】利用极值与导数的关系可判断①的正误；利用导数分析函数的极值与单调性，结合零点存在定理可判断②的正误；利用参变量分离法结合导数可判断③的正误；利用对数平均不等式结合基本不等式可判断④的正误.

【详解】对于①，函数的定义域为，，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，是极小值点，①错；

对于②，令，该函数的定义域为，

，则函数在上单调递减，

因为，，所以，函数有且仅有个零点，②对；

对于③，若存在正实数，使得成立，则，

令，其中，则，

令，其中，则，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，则，

所以，当时，，故函数在上单调递减，则无最小值，

故不存在正实数，使得成立，③错；

对于④，先证明，其中，即证，

令，即证，

令，其中，则，

所以，函数在上为减函数，当时，，

所以，当时，，

由，得可得，

所以，，所以，，因此，，④对.

故选：D.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

4．已知函数，若的零点都在区间内，当取最小值时，则等于（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】先求得函数是单调递增函数，并用零点存在性定理求得函数零点所在的区间，零点向右移个单位后得到的零点，即可求解.

【详解】依题意，

当时，根据等比数列求和公式，有，

故函数在上为增函数．，

故函数零点在区间内，

所以零点在内，

故当取最小值时，

所以.

故选：C

二、填空题

5．函数在上的最大值为______.

【答案】2

【分析】先对函数求导，研究其在给定区间的单调性，求出极值，从而可得出最值.

【详解】因为，所以，

由得或；由得；

又

即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，函数有极大值；

当时，函数有极小值；

又当时，；当时，，

因此函数在上的最大值为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查由导数的方法求函数的最值，属于基础题型.

6．已知函数的导函数为，若，，则不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得解.

【详解】构造函数，则该函数的定义域为，且，

所以，，则函数在上为增函数，

由可得，即，解得.

因此，不等式的解集为.

故答案为：.

7．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】先证，当时，在上单调递增，可得恒成立；当时，可得，即可求解结果．

【详解】由题意可知，令，

当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增，则恒成立；

由，

则当时，，即在上单调递增，则对恒成立，满足题意；

当时，由得或

又因为且函数为奇函数，

所以可得，解得，则，

综上，实数的取值范围为．

故答案为：

8．若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.

【答案】

【分析】将题意转化为：，使得，利用参变量分离得到，转化为

，结合导数求解即可．

【详解】，其中，则．

由于函数存在单调递增区间，则，使得，

即，，构造函数，则．

，令，得．

当时，；当时，．

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，

所以，，故答案为．

【点睛】本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：

（1）函数在区间上单调递增，；

（2）函数在区间上单调递减，；

（3）函数在区间上存在单调递增区间，；

（4）函数在区间上存在单调递减区间，；

（5）函数在区间上不单调函数在区间内存在极值点．

9．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为__________mm/min.

【答案】

【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解．

【详解】解：因为

，

．

故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min.

故答案为：

10．已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是___________．

【答案】

【分析】根据零点定义，分离出 ，构造函数，通过研究的值域来确定 的取值范围．

【详解】根据零点定义，则

所以

令

则，令

解得

当时，，函数单调递减

当时，，函数单调递增

所以当时取得最小值，最小值为

所以由零点的条件为

所以，即的取值范围为

【点睛】本题考查了函数零点的意义，通过导数求函数的值域，分离参数法的应用，属于中档题．

11．已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．

【答案】

【分析】求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可

【详解】则又

故切线方程为y=x+1

故答案为y=x+1

【点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题

12．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.

①在上单调递增；②；③曲线存在斜率为4的切线.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由在上单调递增，知，曲线存在斜率为4的切线，则有解，知，故满足即可.

【详解】函数满足在上单调递增，则恒成立，即

曲线存在斜率为4的切线，则有解，即

即满足，解得.

故答案为：

13．已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为_________.

【答案】13

【解析】由题可得在的导数值等于0，可求得，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.

【详解】，当时，函数有极值，

，解得，

，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

在处取得极大值，

且，，

在上的最大值为13.

故答案为：13.

【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：

（1）先求出函数的导数；

（2）根据导数的正负判断函数的单调性；

（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.

14．已知函数，其导函数的图像经过点、.如图，则下列说法正确的是______

①当时，函数取得最小值；

②有两个极值点;

③当时函数取得极小值；

④当时函数取得极大值；

【答案】②③④

【分析】由导函数的图像判断出函数f(x)的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案.

【详解】由图象可知,当时,;当时, ;当时, .

所以函数f(x)在上单增，在上单减，在上单增，无最大最小值，所以①错；f(x)有两个极值点1和2，且当x=2时函数取得极小值，当x=1时,函数取得极大值，所以②③④正确.

故答案为：②③④.

15．若对恒成立，则的取值范围是__________;

【答案】

【分析】设，利用导数研究其单调性，将问题转化为，即，设，再利用导数求其最大值，最后求出的取值范围．

【详解】解：设，则，

在上单调递增，

由对恒成立，

得，即，

则，即．

设，则，

当时，，当时，，

故．

的取值范围是．

故答案为：．

16．设函数，若存在的极大值点满足，则实数的取值范围是__________;

【答案】

【分析】求出函数的导数，即可得到函数的单调区间，从而求出以及的值，得到关于的不等式，解出即可．

【详解】解：因为

所以，

令，解得或，

令，解得，

故在单调递增，在单调递减，在单调递增，

故是的极大值点，即，

而，

故，即，

即，

解得：，

故答案为：．

三、解答题

17．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)若不等式恒成立，求的范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，进而得到，，写出切线方程；（2）将不等式在恒成立，转化为恒成立，令，，求得其最小值即可.

【详解】(1)解:，

，

，

，

切线方程为.

(2)不等式在恒成立，

即恒成立，

令，，

，

令，

在区间为增函数，且，

，满足，

则为减函数，

为增函数，

所以，，

又因为，

，·

又因为在为增函数

所以，，，

，

18．已知的图象在处的切线与直线平行．

（1）求函数的极值；

（2）若，，，求实数的取值范围．

【答案】（1）极大值为，无极小值；（2），．

【分析】(1)可利用导数的几何意义求出a的值,然后利用函数导数得到函数的单调性,求得函数的极值;

(2)所给不等式含有两个变量,通过变形使两个变量分别在不等式两侧,然后构造新函数g(x),转化为函数的单调性即可求解m的范围.

【详解】（1）的导数为，

可得的图象在，（1）处的切线斜率为，

由切线与直线平行，可得，

即，，

，

由，可得，由，可得，

则在递增，在递减，

可得在处取得极大值为，无极小值；

（2）可设，若，，

，可得，

即有，

设在为增函数，

即有对恒成立，

可得在恒成立，

由的导数为得：

当，可得，

在递减，在，递增，

即有在处取得极小值，且为最小值，

可得，

解得，

则实数的取值范围是，．

【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解参数的值和范围,属于中等难度题型,第一问解题中关键是导数几何意义的应用;第二问中关键是将不等式转化,然后构造新函数,再利用新函数的单调性求解参数m的范围.

19．已知函数.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)函数在区间上有零点，求k的值；

(3)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；

（2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可；

（3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解．

【详解】(1)解：因为，所以，切线斜率为，

又，切点为，所以切线方程为；

(2)解：，，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以的极小值为，，

在区间上存在一个零点，此时；

又，，

在区间上存在一个零点，此时．

综上，的值为0或3；

(3)解：函数，，

所以，

由得，依题意方程有两不相等的正实根、，

，，，

又，，，解得，

，

构造函数，，

所以，

在上单调递减；

所以当时，，

所以．

20．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km,,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm．

（I）按下列要求写出函数关系式：

①设，将表示成的函数关系式；

②设，将表示成的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短．

【答案】（I）①

②

（Ⅱ）选择函数模型①，P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处．

【详解】（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，，

则

故，又，所以

．

②，则，所以，

所以所求的函数关系式为．

（Ⅱ）选择函数模型①．

．

令得，又，所以．

当时，，是的减函数；

时，，是的增函数．

所以当时．

当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处．

21．已知函数（），为函数的导函数.

(1)若为函数的极值点，求实数的值;

(2)当有且只有两个整数满足不等式时，求实数的取值范围;

(3)对任意时，任意实数，都有恒成立，求实数的最大值.

【答案】(1)或

(2)

(3)

【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意，即可得到方程，解得，再代入检验即可；

（2）依题意有且只有两个整数满足不等式，再分和两种情况讨论，分别得到不等式组，解得即可；

（3）由，令利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，再根据二次函数的性质求出的最小值，即可得到，最后根据二次函数的性质计算可得；

【详解】(1)解：因为，所以，依题意，解得或；

当时，则，所以当时，函数单调递增，当或时，函数单调递减，故函数在处取得极大值，符合题意；

当时，则，

所以当时，函数单调递增，当或时，函数单调递减，故函数在处取得极大值，符合题意；

故或

(2)解：因为，因为有且只有两个整数满足不等式，即有且只有两个整数满足不等式，

显然，

当时，解得，即不等式的解集为，所以，解得；

当时，解得，即不等式的解集为，所以，解得；

综上可得

(3)解：因为，令，则，令，则或，因为，所以，，所以当，和，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

所以函数的极小值为，又，

令，

易知，当时，函数单调递增，故，所以，

即当，时，，

又

其对应函数图象的对称轴为，所以时，，

所以，故有，

又，因为，所以，

所以．