2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末考试数学试卷（含详解）

华二附中高一期末数学试卷

一、填空题（本大题满分40分，本大题共有10题）

1. 的虚部是______．

2. 已知世界上倾斜度最高的摩天大厦坐落于阿联酋的阿布扎比，其倾斜度达到18°，请用弧度表示倾斜度______．

3. 与向量反向的单位向量是______．

4. 直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是______．

5. 函数，的单调递减区间是______．

6. 在等差数列中，，，，则该数列公差______．

7. 用数学归纳法证明“当时，能被8整除”时，第二步“假设当时，能被8整除，证明当时也能被8整除”的过程中，得到，则的表达式为________.

8. 如图，在边长为1正三角形ABC中，，，，可得正三角形，以此类推可得正三角形、…、正三角形，记，则______．

9. 以下四个命题中所有真命题的序号是______．

（1）若、，则；

（2）若、，则；

（3）若、，，则，；

（4）若、，，，则．

10. 已知数列、满足，对任何正整数均有，，设，则数列的前项之和为______．

二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）

11. （    ）

A 1 B.  C. i D. 0

12. “”是“G是a、b等比中项”的（    ）条件

A. 既不充分也不必要 B. 充分不必要

C. 必要不充分 D. 充要

13. 一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k（k≥2，）时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则（    ）

A. 该命题对于的自然数n都成立 B. 该命题对于所有的正偶数都成立

C. 该命题何时成立与k取值无关 D. 以上答案都不对

14. 正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（    ）

A. 线段 B. 直线 C. 射线 D. 圆

三、解答题（本大题满分44分，本大题共有4题）

15. 在中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）求cosB；

（2）若c＝3，AC边上的中线BD长为，求a.

16. 已知虚数，，其中i为虚数单位，，、是实系数一元二次方程两根．

（1）求实数m、n的值；

（2）若，求的取值范围．

17. △ABC中，AB＝2，AC＝3，，，．

（1）求角A和DE的长；

（2）若M是线段BC上的一个动点（包括端点），求的最值．

18. 记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．

（1）求的通项公式；

（2）证明数列是等比数列，并求的通项公式；

（3）求证：对于任意正整数，．

华二附中高一期末数学试卷

一、填空题（本大题满分40分，本大题共有10题）

1. 的虚部是______．

【答案】4

【分析】由复数的定义即可得出答案.

【详解】由复数的定义知，的虚部是4.

故答案为：4.

2. 已知世界上倾斜度最高的摩天大厦坐落于阿联酋的阿布扎比，其倾斜度达到18°，请用弧度表示倾斜度______．

【答案】

【分析】利用化简即可得出答案.

【详解】.

故答案为：.

3. 与向量反向的单位向量是______．

【答案】

【分析】先求出向量的相反向量，再计算出模长，即可求解.

【详解】向量的相反向量为，又向量的模长为，

则与向量反向的单位向量是.

故答案为：.

4. 直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是______．

【答案】

【分析】求出函数的周期即可得．

【详解】函数的最小正周期是，

所以直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是．

故答案为：．

5. 函数，的单调递减区间是______．

【答案】

【分析】由条件利用正弦函数的单调性，结合整体思想求得，的单调递减区间．

【详解】解：对于函数，，令，，

求得，，可得函数的减区间为．

故答案为：.

6. 在等差数列中，，，，则该数列公差______．

【答案】##0.25

【分析】由，可得，再利用等差数列的性质可得，即可与解出的值，再结合等差数列通项公式即可求出

【详解】由题，是等差数列，，，

，结合，可解得，

，

故答案为：

7. 用数学归纳法证明“当时，能被8整除”时，第二步“假设当时，能被8整除，证明当时也能被8整除”过程中，得到，则的表达式为________.

【答案】

【分析】根据数学归纳法的证明步骤，结合题意中的以及即可容易求解.

【详解】因为，

.

故.

故答案为：.

【点睛】本题考查数学归纳法，属基础题.

8. 如图，在边长为1的正三角形ABC中，，，，可得正三角形，以此类推可得正三角形、…、正三角形，记，则______．

【答案】

【分析】先判断出构成一个首项为，公比为的等比数列，再求和，求极限.

【详解】因为正三角形ABC的边长为1，所以.

在边长为1的正三角形ABC中，，，，

所以，由余弦定理得：

同理可求：.

所以，相似比为,所以.

同理可求：,……，.

所以构成一个首项为，公比为的等比数列，

所以.

故答案为：.

9. 以下四个命题中所有真命题的序号是______．

（1）若、，则；

（2）若、，则；

（3）若、，，则，；

（4）若、，，，则．

【答案】（1）

【分析】设出复数、，由共轭复数及复数的运算即可判断（1）、（2）；取特殊的复数、，由复数的运算即可判断（3）、（4）.

【详解】设，对于（1），，则
 

，（1）正确；

对于（2），，

，则，（2）错误；

对于（3），取，显然满足、，又，但，故（3）错误；

对于（4），取，显然满足、，又，但，故（4）错误.

故答案为：（1）.

10. 已知数列、满足，对任何正整数均有，，设，则数列的前项之和为______．

【答案】

【分析】由已知等式可证得数列、为等比数列，结合等比数列通项公式可推导得到，可知为等比数列，利用等比数列求和公式可求得结果.

【详解】，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列，；

，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列，；

，

数列是以为首项，为公比的等比数列，

数列的前项之和为.

故答案为：.

二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）

11. （    ）

A. 1 B.  C. i D. 0

【答案】B

【分析】利用复数乘方运算的周期性计算即可

【详解】因为，，

所以，

故选：B

12. “”是“G是a、b的等比中项”的（    ）条件

A. 既不充分也不必要 B. 充分不必要

C. 必要不充分 D. 充要

【答案】A

【分析】分别举反例判断充分与必要条件是否满足即可

【详解】当时，满足，不满足G是a、b的等比中项；当G是a、b的等比中项，如，但不满足，故“”是“G是a、b的等比中项”的既不充分也不必要条件

故选：A

13. 一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k（k≥2，）时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则（    ）

A. 该命题对于的自然数n都成立 B. 该命题对于所有的正偶数都成立

C. 该命题何时成立与k取值无关 D. 以上答案都不对

【答案】B

【分析】当n为偶数时，可以利用数学归纳法判断命题对所有正偶数成立.当n为奇数时，则不能作出任何判断.

【详解】令P（k）为该与正整数n有关的命题在n=2k，时的情形.则

(1)P（1）成立，即归纳奠基成立；

(2)P（k）成立能得到P（k+1）成立，即归纳递推成立.

根据数学归纳法，该命题对所有正偶数成立.

而n为奇数时，则没有任何关于该命题的信息,

所以不能作出判断

故选：B.

14. 正三角形OAB边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（    ）

A. 线段 B. 直线 C. 射线 D. 圆

【答案】D

【分析】可以利用平面向量数量积的运算性质得，即，来确定动点C的轨迹；或者可以利用三角形的特点合理建系，结合向量的坐标运算，设动点C的坐标，利用已知条件计算轨迹方程，来确定C的轨迹.

【详解】解：方法一：由题可知：，

又

所以，即

所以点C的轨迹是圆.

方法二：由题可知：，

如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，

所以

设 ，

又

所以

整理得：

所以点C的轨迹是圆.

故选：D.

三、解答题（本大题满分44分，本大题共有4题）

15. 在中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）求cosB；

（2）若c＝3，AC边上的中线BD长为，求a.

【答案】（1）；（2）a＝1.

【分析】（1）首先根据正弦定理边化角公式得到，从而得到，再利用同角三角函数关系求解即可.

（2）首先根据平面向量的加法运算得到，两边平方得到，再解方程即可.

【详解】（1）由正弦定理可得：，

因为，所以，即.

因为，所以，即.

（2）在中，，

所以，即.

整理得：，解得（舍去）或.

16. 已知虚数，，其中i为虚数单位，，、是实系数一元二次方程的两根．

（1）求实数m、n的值；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）m＝－4，；   

（2）

【分析】（1）根据、是实系数一元二次方程的两根可得，求出的值，进而求得、，再根据根与系数的关系求出m、n的值即可；

（2）根据复平面内的几何意义可得在线段上，进而求得的取值范围即可

【小问1详解】

由题意，，即，故，根据韦达定理有，，即，

【小问2详解】

由（1），故不妨设，设，则的几何意义即为复平面内到的距离之和为.因为到的距离为，故在线段上.故当时取得最小值2，当在或时，取得最大值，故的取值范围为

17. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，，．

（1）求角A和DE的长；

（2）若M是线段BC上的一个动点（包括端点），求的最值．

【答案】（1），DE＝1；   

（2）最小值；最大值5

【分析】（1）由，根据数量积的运算律和数量积定义可求得，知为等边三角形，可得；设，由向量线性运算可将所求数量积化为，从而将所求数量积化为关于的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得结果．

【小问1详解】

由，知：为中点，为靠近的三等分点；

，

，解得：， ；

又，为等边三角形，；

【小问2详解】

设，

，

，

，

对称轴为，当 ，单调递减，当，单调递增

则当时，取得最小值，当时，取最大值

18. 记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．

（1）求通项公式；

（2）证明数列是等比数列，并求的通项公式；

（3）求证：对于任意正整数，．

【答案】（1）   

（2）证明见解析，   

（3）证明见解析

【分析】（1）设公差为，结合等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，进而得到；

（2）由已知递推关系式可得，由此可得证得数列为等比数列；结合等比数列通项公式推导可得；

（3）分别验证时，不等式成立；当时，采用放缩法可得，依此对不等式进行放缩，结合等比数列求和公式可证得当时不等式成立，由此可得结论.

【小问1详解】

设等差数列的公差为，

由得：，解得：，

.

【小问2详解】

由（1）知：，则，

由得：，，

数列是以为首项，为公比等比数列，

，.

【小问3详解】

当时，；当时，；

当时，；

当时，（当且仅当时取等号），

当时，（当且仅当时取等号）；

当时，；

综上所述：对于任意正整数，.

【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列的综合应用；证明不等式的关键是能够通过对数列通项公式进行放缩，将无法求和的数列转化为可以利用等比数列求和公式进行求和运算的形式，进而证得结论.