2022届上海市上海师范大学附属中学高三下学期3月月考数学试题含解析

2022届上海市上海师范大学附属中学高三下学期3月月考

数学试题

一、单选题

1．已知等比数列的前项和为，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据与关系，结合充分必要条件的判定，即可求出结论.

【详解】设等比数列公比为，

当时，，

当时，，

，

所以“”是“”的充要条件.

故选:C.

【点睛】本题考查充分必要条件的判定，涉及到等比数列的前项公式，属于基础题.

2．已知函数，则下列结论中，正确的有(       )

A．π是f(x)的最小正周期

B．f(x)在(，)上单调递增

C．f(x)的图像的对称轴为直线

D．f(x)的值域为[0，]

【答案】B

【分析】根据可知的一个周期为，由此可判断A；

化简在，上解析式，即可得出的单调性，由此可判断B；

根据的奇偶性判断C；根据的范围即可求f(x)值域，由此可判断D．

【详解】①，

是的一个周期，故A错误；

②当，时，，

，，，在，上单调递增，故B正确；

③显然是偶函数，故是的一条对称轴，故C错误；

④，∴，故D错误.

故选：B.

3．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.

【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，

所以在正方体中，

平面与线所成的角是相等的，

所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，

同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，

要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，

且过棱的中点的正六边形，且边长为，

所以其面积为，故选A.

点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.

4．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：

则下列可以实现该功能的一种函数图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合函数图象以及题意逐项分析即可求出结果.

【详解】根据图片处理过程中图像上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图像上每个像素的灰度值增加,所以图象在y=x上方，

结合选项只有A选项能够较好的达到目的，

故选：A.

二、填空题

5．函数f(x)=2sinx﹣sin2x在的零点个数为___________.

【答案】

【解析】函数f(x)=2sinx﹣sin2x在的零点个数等价于在的方程根个数，解出方程可得答案．

【详解】函数f(x)=2sinx﹣sin2x在的零点个数等价于在的方程根个数，即

解得或，，即函数f(x)=2sinx﹣sin2x在的零点个数为个，

故答案为：

【点睛】本题考查函数的零点问题，考查三角函数的图象与性质，考查函数与方程思想，属于中档题．

6．若直线的倾斜角为α，则sin2α的值为___________.

【答案】0.6

【分析】根据直线斜率为倾斜角的正切值，结合三角恒等变换公式即可求解.

【详解】由题可知，，

则.

故答案为：.

7．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则a=___________.

【答案】

【分析】求出抛物线的焦点坐标，然后求解即可．

【详解】解：抛物线的焦点，与双曲线的一个焦点重合，

可得，解得.

故答案为：.

8．已知为虚数单位，复数满足，则________.

【答案】1

【分析】利用复数的四则运算求出，再求其模．

【详解】因为，所以，则.

故答案为：1.

【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题．

9．设数列的前项和为，且对任意正整数，都有，则___

【答案】

【分析】利用行列式定义，得到与的关系，赋值，即可求出结果．

【详解】由，令，

得，解得．

【点睛】本题主要考查行列式定义的应用．

10．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍（所成角记、），则_________．

【答案】

【解析】根据题意，分别写出，然后利用两角和的正切公式计算即可.

【详解】由题意，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍时，，所以

故答案为：.

11．等差数列中，公差为，设是的前n项之和，且，则__________.

【答案】

【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式将用和表示，再结合求极限即可.

【详解】因为是等差数列，所以，，

所以，

因为，所以，

故答案为：

12．设函数则不等式的解集为________．

【答案】

【分析】根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集.

【详解】由函数解析式知在R上单调递增，且，

则，

由单调性知，解得

故答案为：

【点睛】关键点点睛：找到函数单调性，将函数值大小比较转化为自变量大小比较即可.

13．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗(称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为.已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为___________.

【答案】60%

【分析】根据已知建立不等式关系即，然后由，即可求解．

【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1，

只需，即，∴，

由题意可得，∴，

解得，

故答案为：60%﹒

14．已知，是双曲线的左､右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点A满足（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为___________.

【答案】

【分析】设，，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，求出对称点的坐标，满足，可得，由两点的距离公式，可得所求渐近线方程．

【详解】解：设，，渐近线方程为，的对称点为，则，解得，，因为点满足，所以，即，又，所以，即，所以双曲线的渐近线方程为；

故答案为：

15．已知，，是空间单位向量， ，若空间向量满足，（，），，则的最大值是________．

【答案】

【分析】由，及模长公式，求得，从而求得，将问题化为求得结果.

【详解】由题知，

则

则

，当且仅当时，等号成立.

故答案为：

16．已知{}是公差为的等差数列，若存在实数，，，…，满足方程组：，则d的最小值为___________

【答案】1.25

【分析】把方程组中的都用和表示，求得的表达式，根据三角函数有界性可得出答案．

【详解】解：把方程组中的都用和表示得：

，

把代入得：，

要使最小，则要最大，

因为，

所以，

时分母取最大值20

所以，

所以的最小值为．

故答案为：.

三、解答题

17．在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑”.如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD，，试求异面直线AC与BD所成角的大小.

【答案】或

【分析】分别取，，，的中点，，，，连接，，，，，由，，可得为异面直线与所成的角，由已知中的定义，分和两种情况讨论，利用余弦定理求解即可．

【详解】解：如图，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，，

则，，，

所以为异面直线与所成的角，

因为平面，所以平面，

又平面，所以，

因为，，，

所以，所以，

当时，由，，

可得，所以，

又因为，，

所以，

所以，

即异面直线与所成的角为；

当时，由，，

可得，，

因为，，

所以，

所以，

即异面直线与所成的角为，

综上可得，异面直线与所成的角为或．

18．设函数如果对任意一个三角形，它的三边长a､b､，且f（a）､f（b）､f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”.

(1)试分别判断是否为“保三角形函数“？并说明理由；

(2)若叫是“保三角形函数”，试求M的最小值.

【答案】(1)不是“保三角形函数”，是“保三角形函数”，理由见解析

(2)2

【分析】（1）直接举反例，即可证明不是“保三角形函数”；设出一个三角形的三边长，，，不妨取，然后证明，即可得到是“保三角形函数”；

（2）设一个三角形的三边长，，，，取，由，得，结合题意得，再举例说明当时不合题意，即可求得的最小值．

【详解】(1)解：不是“保三角形函数”，是“保三角形函数”，理由如下：

取，，，则，，构成一个直角三角形的三边长，

当（a），（b），（c）不能构成三角形，

故不是“保三角形函数”；

设一个三角形的三边长，，大于0，不妨设，且，

，

，则．

故是“保三角形函数”；

(2)解：设一个三角形的三边长，，，，不妨设，且，

①由，得，

（a），（b），（c）也是某个三角形的三边长，；

②（a），（b），（c）能作为某个三角形的三边长，

，

又，

则当，时，，则一定有成立；

③当时，取，，，

有，即成立，

此时，，可作为一个三角形的三边长，

但，

即（b）（c）（a），

（a），（b），（c）不能作为三角形的三边长．

综上所述，的最小值为2．

【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，属有一定难度题目．

19．在2022年中国北京冬季奥运会期间，某工厂生产A､B､C三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个）

现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A种纪念品有40个.

(1)从B种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：x､y､10､11､9，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求的值；

(2)用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量为5的样木，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率.

【答案】(1)4

(2)

【分析】（1）先根据平均数建立关系式，然后根据方差建立关于、的等量关系，然后将用前面的等式进行表示即可求出值；

（2）设这一天生产的纪念品为，根据分层抽样的原理建立方程，求出，再设所抽样本中有个精品型纪念品，则，求出，然后利用古典概型的方法求出至少有1个精品型纪念品的概率即可．

【详解】(1)解：由题得，则，

由于，得，

从而，，

即；

(2)解：设这一天生产的纪念品为，

由题意得，，，

所以，

设所抽样本中有个精品型纪念品，则，，

故抽取了2个精品型纪念品，3个普通型纪念品，

所以，至少有1个精品型纪念品的概率为.

20．已知为坐标原点，双曲线和椭圆均过点且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形．

(1)求，的方程；

(2)是否存在直线，使得与交于，两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论；

(3)椭圆的右顶点为，过椭圆右焦点的直线与交于、两点，关于轴的对称点为，直线与轴交于点，，的面积分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)，

(2)不存在，理由见解析

(3)是定值为

【分析】（1）将点代入方程，结合正方形面积得到方程组，解得答案.

（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，根据直线和椭圆的位置关系计算，再转化得到，根据韦达定理得到根与系数关系，代入计算得到答案.

（3）设直线方程为，联立方程根据韦达定理得到根与系数关系，计算直线方程，得到的横坐标为，根据，计算得到答案.

【详解】(1)根据题意：，，

以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形，边长为

故，，故，代入计算得到，，，

故，.

(2)假设存在直线方程满足条件，

当直线斜率不存在时，或，代入计算得到，验证不成立；

当直线斜率存在时，设直线方程为，则，

即，，

化简得到.

设，，，故，

故，，故，

即，即，

即，化简得到，

方程组无解，假设不成立.

故不存在直线满足条件.

(3)焦点坐标为，易知直线方程斜率不为零，设直线方程为，

，，则，

，化简得到，，

直线方程为：，

取得到

，

，故是定值为.

【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的综合问题，考查了椭圆和双曲线的标准方程，直线与椭圆和双曲线的位置关系，定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中转化是解题的关键.

21．若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”.

（1）①前项和为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由；

②通项公式为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由；

（2）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；

（3）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由.

【答案】（1）①是；②是；（2）；（3）见解析.

【分析】（1）①利用公式和 ，求出数列的通项公式，按照回归数列的定义进行判断；

②求出数列的前项和，按照回归数列的定义进行判断；

（2）求出的前项和，根据是“回归数列”，可得到等式，通过取特殊值，求出的值；

（3）等差数列的公差为，构造数列，可证明

、是等差数列，再利用等差数列前项和，及其通项公式，回归数列的概念，即可求出.

【详解】（1）①当时，，

当时，，当时，，，所以数列是“回归数列”；

②因为，所以前n项和，根据题意，

因为一定是偶数，所以存在，使得，

所以数列{}是“回归数列”；

（2）设是等差数列为，由题意可知：对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，即，取，得，解得，公差，所以，又；

（3）设等差数列=，

总存在两个回归数列，显然和是等差数列，使得，

证明如下：，

数列{}前n项和，

时，为正整数，当时，，

所以存在正整数，使得，所以{}是“回归数列”，

数列{}前n项和，存在正整数，使得，所以{}是“回归数列”，所以结论成立.

【点睛】本题考查了公式，等差数列的前项和、通项公式，考查了推理能力、数学运算能力.