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    2021届上海市上海师范大学第二附属中学高三下学期3月月考数学试题(含解析)

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    这是一份2021届上海市上海师范大学第二附属中学高三下学期3月月考数学试题(含解析),共15页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021届上海市上海师范大学第二附属中学高三下学期3月月考

    数学试题

     

     

    一、单选题

    1.在行列式中,5的代数余子式的值为(   

    A B9 C D45

    【答案】A

    【分析】由行列式写出5的代数余子式,求值即可.

    【详解】由行列式知:5的代数余子式为

    ∴5的代数余子式的值为.

    故选:A

    2.已知函数的图像是一条连续不断的曲线,根据表格中的数据可以判定函数的一个零点所在的区间一定是),则的值为(   

    1

    2

    3

    4

    5

    0

    0.69

    1.10

    1.39

    1.61

    0

    1

    2

    3

     

    A1 B2 C3 D4

    【答案】C

    【分析】由表格数据及函数解析式求出对应值,根据零点存在性定理即可判断其中一个零点所在的区间,进而写出的值.

    【详解】由表格数据知:

    1

    2

    3

    4

    5

    1

    0.69

    0.10

    -0.61

    -1.39

    一个零点所在的区间是,故的值为.

    故选:C

    3.设是椭圆的两焦点,是该椭圆的右顶点与上顶点,是该椭圆上的一个动点,是坐标原点,记.在动点在第一象限内从沿椭圆向左上方运动到的过程中,的大小变化情况为(   

    A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.先变大后变小 D.先变小后变大

    【答案】B

    【分析】,然后由向量数量积的坐标表示求出的函数后,根据函数性质可得结论.

    【详解】,由椭圆方程知

    ,随的减小而变小,

    故选:B.

    【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算,掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础.

    4.在平面直角坐标系中,已知向量满足.曲线,区域.为两段分离的曲线,则

    A B C D

    【答案】A

    【详解】试题分析:设,则 ,区域 表示的是平面上的点到点的距离从之间,如下图中的阴影部分圆环,要使 为两段分离的曲线,则,故选A.

    【解析】1.平面向量的应用;2.线性规划.

     

     

     

    二、填空题

    5.已知集合,集合,则________

    【答案】

    【分析】由集合的交运算求即可.

    【详解】由题设知:.

    故答案为:

    6.不等式的解集为________

    【答案】

    【分析】由题设可得,利用分式不等式的解法求解即可.

    【详解】由题设,

    ,解得

    解集为.

    故答案为:

    7.若复数为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数的值为________

    【答案】

    【分析】应用复数的除法运算化简,根据实部与虚部相等列方程求的值.

    【详解】,又实部与虚部相等,

    ,即.

    故答案为:

    8.设是平面内不共线的向量,已知,若ABD三点共线,则____.

    【答案】

    【分析】求出,利用三点共线,得到,求出λk.

    【详解】由题意,

    ,且ABD三点共线,

    由共线向量定理得,存在实数使得成立,

    ,解得.

    故答案为:.

    9.已知函数,且有g(a)g(b)=2,若a>0b>0且,则ab的最大值为__________

    【答案】

    【详解】,当且仅当时等号成立,所以的最大值为

    点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意拆、拼、凑等技巧,使其满足基本不等式中”(即条件要求中字母为正数)”(不等式的另一边必须为定值)”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.

    10.若一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的3倍,则圆锥的高和球的半径之比为________

    【答案】

    【分析】设球体半径为,圆锥的高为,结合已知条件及圆锥、球体的体积公式有,求出即可.

    【详解】设球体半径为,则圆锥的底面半径为,若圆锥的高和球的半径之比,则圆锥的高

    该圆锥与球的体积相等,

    ,即,可得.

    故答案为:
     

    11.已知数列的通项公式为,则________

    【答案】

    【分析】利用分组求和,结合等比数列的前n项和公式可得,由极限的求法求即可.

    【详解】由题设,

    .

    故答案为:

    12.从012345个数中取3个数,2恰好是中位数的概率是________

    【答案】

    【分析】列举出2恰好是中位数的基本事件,应用古典概型的概率求法求概率即可.

    【详解】2恰好是中位数的基本事件有:,共有4种,

    5个数中取3个数的取法有种,

    ∴2恰好是中位数的概率.

    故答案为:

    13.若函数的值域为,则实数的取值范围是________

    【答案】

    【分析】由题设知,要使在上的值域为,则上讨论判断的值域,进而求参数的范围.

    【详解】由解析式知:时,,而函数上的值域为

    上,

    ,则,不合题意;

    ,则,即,可得.

    的范围为.

    故答案为:

    14.已知函数的零点有且只有一个,则实数的取值集合为________

    【答案】

    【分析】由已知可得:R上的偶函数,又函数的有且只有一个零点,所以,由此可得:,解得

    【详解】显然,由,可得:

    R上的偶函数.

    函数的有且只有一个零点,

    由此可得:,解得

    故答案为:

    【点睛】本题考查了偶函数的对称性,属于中档题.

    15.已知,若对任意恒成立,则实数的取值范围为____________.

    【答案】

    【分析】由题意可知为奇函数,并且单调递增,将不等式,等价变形为,即..对任意恒成立,则需恒成立,对分类讨论,求解即可.

    【详解】的定义为,关于原点对称,.

    为定义在上的奇函数.

    时,,在上单调递增.

    为定义在上的增函数.

    ,即

    对任意恒成立.

    则需恒成立.

    时,在恒成立

    时,上单调递增,则不满足题意,舍去

    时,上单调递减,则需解得,即

    综上所述:

    故答案为:

    【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用,属于较难的题.

    16.在矩形ABCD中,AB=1AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +,则+的最大值为__________

    【答案】

    【详解】分析:如图:以A为原点,以ABAD所在的直线为xy轴建立如图所示的坐标系,先求出圆的标准方程,再设点P的坐标为(cosθ+1sinθ+2),根据,求出λμ,根据三角函数的性质即可求出最值.

    详解:如图:以A为原点,以ABAD所在的直线为xy轴建立如图所示的坐标系,

    A00),B10),D02),C12),

    动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,

    设圆的半径为r

    ∵BC=2CD=1

    ∴BD==

    BC•CD=BD•r

    ∴r=

    圆的方程为(x﹣12+y﹣22=

    设点P的坐标为(cosθ+1sinθ+2),

    cosθ+1sinθ+21002=λ),

    cosθ+1=λsinθ+2=2μ

    ∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sinθ+φ+2,其中tanφ=2

    ∵﹣1≤sinθ+φ≤1

    ∴1≤λ+μ≤3

    λ+μ的最大值为3

    故答案为:3

    点睛:本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质,关键是设点P的坐标,考查了学生的运算能力和转化能力,属于中档题.

     

    三、解答题

    17.如图,直三棱柱的底面为直角三角形,两直角边ABAC的长分别为42,侧棱的长为5.

    1)求三棱柱的体积;

    2)设MBC中点,求直线与平面所成角的大小.

    【答案】120;2

    【分析】1)三棱柱的体积,由此能求出结果;

    2)连结是直线与平面所成角,由此能求出直线与平面所成角的大小.

    【详解】解:(1直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形,

    两直角边ABAC的长分别为42,侧棱AA1的长为5

    三棱柱ABCA1B1C1的体积:

    VSABC×AA1

    20

    2)连结AM

    直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形,

    两直角边ABAC的长分别为42,侧棱AA1的长为5MBC中点,

    AA1底面ABCAM

    ∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角,

    tan∠A1MA

    直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan

    【点睛】本题考查三棱柱的体积的求法,考查线面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.

    18.已知函数x∈R,且f(x)的最大值为1.

    1) 求m的值,并求f(x)的单调递增区间;

    2)在ABC中,角ABC的对边abc,若,且,试判断ABC的形状.

    【答案】1(kZ);(2)直角三角形.

    【分析】1)化简的解析式,求出其最大值,结合已知最大值可求得的值,利用正弦函数的递增区间可解得的单调递增区间;

    2)利用可求得,将边化角,结合可求得,从而可得结果.

    【详解】1

    ,

    因为,所以

    +2≤2x++2,得到:

    所以f(x)的单调增区间为(kZ)

    2)因为,则,则

    因为,所以,所以,所以

    ,则

    化简得,得

    因为,所以

    所以,所以

    所以,故ABC为直角三角形.

    【点睛】关键点点睛:熟练掌握三角恒等变换公式以及正弦定理的边角互化是解题关键.

    19.已知函数

    1)当时,求函数的零点;

    2)若对任何,不等式恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】1;(2.

    【分析】1)当时,,欲求函数的零点,即求对应方程的根.由解得的值即可;

    2)原不等式变为,即.再构造函数,研究其最值即可得出实数的取值范围.

    【详解】1)当时,

    解得

    所以.

    所以函数的零点为.

    2)原不等式变为

    又函数上单调递增,(增函数+增函数=增函数)

    函数

    所以上单调递减,

    所以,即实数的取值范围是

    20.已知,如图,曲线由曲线和曲线组成,其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点,点为曲线所在圆锥曲线的焦点.

    )若,求曲线的方程;

    )如图,作直线平行于曲线的渐近线,交曲线于点,求证:弦的中点必在曲线的另一条渐近线上;

    )对于()中的曲线,若直线过点交曲线于点,求面积的最大值.

    【答案】.;()证明见解析;(.

    【分析】(Ⅰ),可得,解出即可;

    (Ⅱ)设点,设直线,与椭圆方程联立可得:,利用,根与系数的关系、中点坐标公式,证明即可;

    (Ⅲ)(Ⅰ)知,曲线,且,设直线的方程为:,与椭圆方程联立可得: ,利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质,即可求解.

    【详解】(Ⅰ)由题意:

    ,解得

    则曲线的方程为:.

    (Ⅱ)证明:由题意曲线的渐近线为:

    设直线

    则联立,得

    ,解得:

    又由数形结合知.              

    设点

    ,即点在直线.

    (Ⅲ)(Ⅰ)知,曲线,点

    设直线的方程为:

    联立,得:                         

    面积

    当且仅当,即时等号成立,所以面积的最大值为.

    【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力,属于难题.

    21.在数列中,若存在常数,使得任意都有,则称数列.

    1)若数列数列,且,写出所有满足条件的数列的前4项;

    2)已知数列是等比数列,求证:数列的充要条件是其公比为

    3)若数列满足,设数列的前项和为,是否存在正整数,使得不等式对一切都成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

    【答案】1)答案见解析;(2)证明见解析;(3)存在p = q =1,使题设不等式成立.

    【分析】1)由题设可得,进而求,结合已知写出前4项所有可能的组合即可;

    2)应用充要条件的定义,若公比为要使为常数有,求,再令判断是否为常数,即可证结论;

    3)首先由题设可得,再应用放缩法、裂项相消法得到的形式,即可确定正整数是否存在.

    【详解】1)由题意知:

    是首项、公差分别为18的等差数列,故

    ,故数列的前4项为.

    2)设的公比为,则要使为常数,

    仅当,即,则数列,

    的公比为,即为常数,数列,

    数列的充要条件是其公比为,得证.

    3)由题设知:,而,则

    ,故

    ,而

    对于一切都成立,

    存在正整数,使对于一切都成立.

    【点睛】关键点点睛:第三问,由题设可得,根据放缩,结合裂项相消,即可得的形式.

     

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