2023年山东省泰安市新泰市中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省泰安市新泰市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在有理数，，，中，其倒数最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列图形中，中心对称图形的个数是(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.  某种计算机完成一次基本运算的时间约为纳秒，已知纳秒秒，该计算机完成次基本运算，所用时间用科学记数法表示为(    )

A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒

5.  将一副三角板按如图所示方式摆放，使得，则等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移个单位长度，将轴向左平移个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，中，，，将绕点逆时针方向旋转得到，此时恰好点在上，交于点，则与的面积之比为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若关于的方程的解是正数，则的取值范围为(    )

A.  B. 且
C.  D. 且

10.  二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在和中，，，连接，连接并延长交，于点，若恰好平分，则下列结论错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  一元二次方程的解为______．

14.  如图，在中，，为中线，延长至点，使，连结，为中点，连结若，，则的长为______．

15.  若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______ ．

16.  如图，正比例函数，一次函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中，若，则自变量的取值范围是        ．

17.  二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线，下列结论：；；若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，；，上述结论中正确的是        只填序号

18.  如图，在平面直角坐标系中，点、、在轴上，、、在直线上，若，且、都是等边三角形，从左到右的小三角形阴影部分的面积分别记为、、，则可表示为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
化简：先化简，再求值：，其中从，，中取一个你认为合适的数代入求值．

20.  本小题分
如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度米，货厢底面距地面的高度米，坡面与地面的夹角，木箱的长为米，高和宽都是米．通过计算判断：当，木箱底部顶点与坡面底部点重合时，木箱上部顶点会不会触碰到汽车货厢顶部．
 

21.  本小题分
某超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，它们的进价和售价如下表所示已知用元购进甲种绿色袋装食品的数量与用元购进乙种绿色袋装食品的数量相同．

求的值．
现在要购进甲、乙两种绿色袋装食品共袋，且总利润不少于元，则该超市至少要购进甲种绿色袋装食品多少袋？

22.  本小题分
如图，点在的外部，连结、，在的外部分别作，，连结．
求证：；
判断与的数量关系，并说明理由．

23.  本小题分
如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点，一次函数的图象与轴交于点．
求出两个函数的表达式．
延长交反比例函数于点，设点是轴上的点，当时，求点的坐标．
直接写出时的取值范围．

24.  本小题分
已知点是线段的中点，点是直线上的任意一点，分别过点和点作直线的垂线，垂足分别为点和点，我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．

猜想验证如图，当点与点重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”和的数量关系是        ．
探究证明如图，当点是线段上的任意一点时，“足中距”和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
拓展延伸如图，当点是线段延长线上的任意一点时，“足中距”和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
若，求证：．

25.  本小题分
抛物线与坐标轴分别交于，，三点，，，点是第一象限内抛物线上的一点．

求抛物线的解析式；
连接，，，若，求点的坐标；
连接，，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，的倒数分别是，，，，
，
其倒数最大的是．
故选：．
根据乘积为的两数互为倒数，先求出各个数的倒数，再根据有理数的大小比较法则：正数都大于；负数都小于； 正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小，判断即可．
本题考查倒数的定义，有理数大小的比较．掌握会求一个数的倒数和比较有理数大小法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方以及完全平方公式．
熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】
解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：第个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
第，，个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
 

4.【答案】 

【解析】解：所用时间．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数包含小数点前面的一个零所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数包含小数点前面的一个零所决定．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质等知识，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
依据，即可得，利用三角形内角和和邻补角，即可得到．
【解答】
解：，，

，
，
，
，
．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：根据题意知，将抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后所得抛物线解析式为：．
故选：．
此题可以转化为求将抛物线“向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度”后所得抛物线解析式，直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设点的横坐标为，
则、间的横坐标的长度为，、间的横坐标的长度为，
放大到原来的倍得到，
，
解得：，
故选：．
设点的横坐标为，根据数轴表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可．
本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
将绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
设，
在中，，
，
在中，
，
，
，
，
，
与的面积之比为．
故选：．
由旋转的性质得出，，则是等边三角形，，得出，设，则，，求出，可求出答案．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
的系数化为，得．
关于的方程的解是正数，
且．
且．
故选：．
先解分式方程，得再根据分式方程的解的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义、解一元一次不等式是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察二次函数图象得：，
，
一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，
只有选项符合题意．
故选：．
观察二次函数图象得：，，从而得到一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，即可求解．
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出，，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，此类型题目不仅要数形结合还需注意与结合各个选项中的内容，可采用排除法、代入法等进行求解．根据题意得出，用边角边定理证明≌，从而得出；
根据平分线的性质得出角之间的关系：，再根据平行线的判定可得出；
先假设，根据等边对等角及三角形的内角和推出各角之间的关系，得到与三角形的外角性质产生矛盾，从而推出假设不成立．
【解答】
解：，
，即，
在和中有：，
≌，
，
故A选项不符合题意；
，
，
平分，
，
由可知，，
内错角相等，两直线平行，
故B选项不符合题意；
假设，则，，
，
，是的一个外角，

而事实上，
假设不成立，
故C选项符合题意；
，

，即，
，
，
故D选项不符合题意．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
如图将绕点顺时针旋转，得到，连接，

≌，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
当为最小值时，有最小值，
由垂线段最短可得：当轴时，有最小值，
此时，轴，，
，
线段长度的最小值为．
故选：．
由旋转的性质可得是等边三角形，可得，，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，可得，，，则当为最小值时，有最小值，由垂线段最短可得当轴时，有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

13.【答案】， 

【解析】解：


或
解得，．
故答案为：，．
根据因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程因式分解法，解决本题的关键是掌握因式分解法．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
．
又为中线，
．
为中点，即点是的中点，
是的中位线，则．
故答案为．
利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则．
本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段的长度和线段是的中位线．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了一元二次方程的解．
先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【解答】
解：是一元二次方程的根，
，
，
、是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故答案为：．  

16.【答案】或 

【解析】解：由图象可知，当或时，双曲线落在直线上方，且直线落在直线上方，即，
所以若，则自变量的取值范围是或．
故答案为：或．
根据图象，找出双曲线落在直线上方，且直线落在直线上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由图象可知：，，对称轴为直线，
，故错误，不符合题意；
由于图象过点，且对称轴为直线，
图象也过点，
时，，
即，故错误，不符合题意；
由于图象过点，
由对称性可知：图象也过，
令，
有两个解，分别是，，
故正确，符合题意；
，
，
图象过点，
，
，
，
故正确，符合题意；
故答案为：．
根据开口方向，与轴交点的位置，对称轴的位置确定，，，可判断不正确；根据，确定不正确；由对称性可知图象经过和，可判断正确；根据，，代入中可判断正确．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
 

18.【答案】 

【解析】解：由直线，设，
过点作轴于点，则，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
同理可得，，，
，，，，，
．
故答案为：．
先由直线得到，再由得到，由得到，从而得到，，然后求出，再求出，从而得到，最后求得，接下来依次按照上述方法求得，，，，最后得到．
本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征、特殊角的三角形函数值、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质、勾股定理，解题的关键是通过等边三角形和等腰三角形的性质求出对应阴影部分的直角边的长度．
 

19.【答案】解：





；





，
当，，时，原分式无意义，
，
当时，原式． 

【解析】先算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、有理数的乘方、去绝对值，再算乘法，然后算加减法即可；
先算括号内的式子，然后算括号外的除法，再从，，中取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：米，，
米，
米，
米，
米，
作于点，作于点，
，，
∽∽，≌，
，米，
即
解得：
，
木箱上部顶点不会触碰到汽车货厢顶部． 

【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数求出的长度，再与比较大小即可解答本题．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：由题意得：，
解得：．
经检验是原分式方程的解．
答：的值为；
设购进甲种绿色袋装食品袋，则购进乙种绿色袋装食品袋，
根据题意得：
解得：．
答：该超市至少购进甲种绿色袋装食品袋． 

【解析】根据“用元购进甲种袋装食品的数量与用元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方程并解答；
设购进甲种绿色袋装食品袋，表示出乙种绿色袋装食品袋，然后根据总利润列出一元一次不等式组解答．
本题主要考查分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系列出方程．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
∽，
，
．
解：，
理由：，
，
，
∽，
． 

【解析】由，得，则，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽，则，所以；
由，变形为，而，即可由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽，得．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质等知识，找到相似三角形的对应边和对应角并且证明∽及∽是解题的关键．
 

23.【答案】解：将代入得：
，
解得：，
，，
将代入得：
，
解得：，
．
，令，则，
．
．
，
，
，
延长交轴于点，如图，

设直线的解析式为，
，，
，
解得：，．
．
，
解得：．
直线的解析式为．
令，则，
，

，
，
，
或，
或；
由图象可知：点右侧的部分，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
在点的右侧的部分，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
或时，一次函数的函数值大于或等于反比例函数的函数值，
或时，． 

【解析】利用待定系数法见点坐标代入反比例函数中可求值，则点可求，再将坐标代入一次函数中可求的值；
延长交轴于点，利用待定系数法求得直线解析式，求得点的坐标，利用列出方程即可求解；
利用图象观察一次函数图象在反比例函数图象上方对应的的值即可得出的取值范围．
本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，利用数形结合法确定的取值范围是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：猜想：．
理由：如图中，，，
，
点是线段的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
故答案为：；

解：“足中距”和数量关系依然成立．
理由：如图，过点作直线，交的延长线于点，交于，

，
，
四边形为矩形，
，，
由同理得，，
在与中，
，
≌，
；

解：“足中距”和的数量关系依然成立．
理由：如图中，延长交的延长线于点，

，，
，
，
点为的中点，
，
又，
≌，
，
，
；

证明：如图中，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
，
．
猜想：证明≌，可得结论．
结论成立．过点作直线，交的延长线点，证明≌，可得结论．
结论成立．如图中，延长交于点，证明，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
利用等边三角形的判定和性质以及全等三角形的性质证明即可．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，，，
，解得，
抛物线的解析式为．
如图，连接，设点的坐标为，
，，，
，
，
，
，
整理得，解得，不符合题意，舍去，
点的坐标为．
存在，
如图，作平分交轴于点，作于点，则，
是的平分线，，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
当时，，
设交轴于点，则，
，
，
，
设直线的解析式为，则，解昨，
直线的解析式为，
解方程组，得，不符合题意，舍去，
点的坐标为 

【解析】将，，代入，列方程组并且解该方程组求出、、的值，即可求得抛物线的解析式为；
连接，设点的坐标为，由，得，解方程求出符合题意的值，再求出点的坐标即可；
作平分交轴于点，作于点，则，由勾股定理求得，可求得，于是得，则，当时，，设交轴于点，由，得，则，即可求得直线的解析式为，再将其与联立方程组，即可通过解方程组求出点的坐标．
此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．