北师大数学七下复习阶梯训练：相交线与平行线（优生加练）含解析

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 相交线与平行线（优生加练）一、单选题1．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：  ①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若 ，则n的倒数是 ，其中正确有（　　）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个2．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，若，则（　　）A． B． C． D．3．若四条直线在平面内交点的个数为 ，则 的可能取值有（　　）  A．3个 B．4个 C．5个 D．6个4．如图 ，垂足为D， ，下列结论正确的有（　　）  ⑴ ；（2） ；（3） 与 互余；（4） 与 互补．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，已知A，O，B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（　　）  A． B．C． D．∠2-∠16．如图∠AOC=∠BOD= ，4位同学观察图形后分别说了自己的观点.甲：∠AOB=∠COD；乙：图中小于平角的角有6个；丙：∠AOB+∠COD = ；丁：∠BOC+∠AOD =    .其中正确的结论有（　　）.  A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作DE∥BC交直线AC于点E，若∠ABC=84°，∠CDE=20°，则∠ADC的度数为(　　)  A．104° B．76° C．104°或64° D．104°或76°8．如图，AB∥CD，∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF，则∠E与∠F的数量关系是(　　)  A．∠E+∠F=180° B．∠E=3∠FC．∠E-∠F=90° D．∠E=4∠F9．如果两个角的两边分别平行，其中一个角是50°，则另一个角是（　　）   A．50° B．130° C．50°或130° D．40°10．如图，已知A1B∥AnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于(　　)  A．180°n B．(n＋1)·180°C．(n－1)·180° D．(n－2)·180°二、填空题11．观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得 ，则按照以上规律， 　           　度 .12．一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为 （ ）.在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， 的度数为　                                　.13．已知∠A与∠B（ ， ）的两边-边平行，另一边互相垂直，且 ，则∠A的度数为　     　°.14．如图，已知 AD⊥BC，垂足为点 D，EF⊥BC，垂足为点 F，∠1+∠2=180°， 请填写∠CGD=∠CAB 的理由．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC（　     　）所以∠ADC=90°，∠EFD=90°（　         　）得∠ADC=∠EFD（　         　）所以 AD//EF（　                       　）得∠2+∠3=180° （　                         　）又因为∠1+∠2=180°（已知）所以∠1=∠3（　               　）所以 DG//AB（　                       　）所以∠CGD=∠CAB（　                       　）15．已知，如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为_　                     　。16．如图，已知点C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点， 和 的角平分线相交于F，若∠BCD= ∠BFD+10°，则 △BCD 的度数为　            　．三、解答题17．如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．18．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠A，∠C的关系，请你从所得的关系中任意选取一个加以说明.图（1）结论： ▲ ；图（2）结论： ▲ ；图（3）结论： ▲ ；图（4）结论： ▲ .你准备证明的是图 ▲ ，请在下面写出证明过程.19．如图，已知 ，分别探究下面两个图形中 和 、 的关系，请从你所得两个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.
结论：（1）_▲_；（2）__▲__。
选择结论：_▲_，说明理由.20．问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．

 （1）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；（2）结论应用
如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG=α，则∠CFG等于　                                                                                                                                                 　（用含α的式子表示）．
 21．如图，已知2∠BOC=∠AOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°，作射线OD，使得∠AOC=4∠AOD，求∠DOB的度数．
 22．如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？四、综合题23．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE，OF为射线，OE平分∠AOC，且∠AOE=25°.（1）求∠BOD的度数.（2）若∠DOF-∠AOE=90°，试说明OF⊥OE.24．将直角三角板OMN的直角顶点О放在直线AB上，射线OC平分∠AON.（1）如图，若∠BON=60°，求∠COM的度数;（2）将直角三角板OMN绕顶点О按逆时针方向旋转，在旋转过程中:①当∠BON=140°时，求∠COM的度数:②直接写出∠BON和∠COM之间的数量关系.25．已知∠AOB=160°，∠COE是直角，OF平分∠AOE.（1）如图1，若∠COF=32°，则∠BOE=　     　;（2）如图1，若∠COF=m°，则∠BOE=　            　;∠BOE与∠COF的数量关系为　                  　.（3）在已知条件不变的前提下，当∠COE绕点О逆时针转动到如图2的位置时，第（2）问中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立?请说明理由.
答案解析部分【解析】【解答】解：∵∠AOE＝m°，∴∠EOD=90° m°，∴点E位于点O的北偏西90° m°，故①错误；∵∠EOF＝90°，∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF=90°，∵∠AOD=∠BOD=90°，∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°，∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°，∵OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，∴∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°，∴图中互余的角共有8对，故②错误；∵∠BOF＝4∠AOE，∠AOE+∠BOF=90°，∴∠BOF=72°，∴∠BON=36°，∴∠DON=90° 36°=54°；故③正确；∵∠AOE+∠BOF=90°，∴∠MOE+∠NOF= ，∴ ，∴ ，∴n的倒数是 ，故④正确；∴正确的选项有③④，共2个；故答案为：B.【分析】 易得∠EOD=90°-m°，而方向角指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角 ，据此判断①；根据角平分线的概念得∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，然后根据互余两个角之和为90°可判断②；易得∠BOF=72°，∠BON=36°，据此可判断③；根据∠AOE+∠BOF=90°以及角平分线的概念可得∠MOE+∠NOF=45° ，则∠MON=135°，据此判断④.【解析】【解答】根据题意得，2条直线最多将平面分成4个区域   ，3条直线最多将平面分成7个区域   ，4条直线最多将平面分成11个区域   ，5条直线最多将平面分成16个区域   则   ，，，经检验n=20是原方程的根故答案为：C. 【分析】 根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可求解．【解析】【解答】解：图1：当四条直线平行时，无交点；图2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有3个交点；图3：当两两直线平行时，有4个交点；图4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有5个交点；图5：当四条直线同交于一点时，只有1个交点；图6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；图7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点；综上所述，共7种情况，6种交点个数，故答案为：D．
【分析】根据直线与直线的位置关系，列出所有情况即可，四条直线的位置关系可能有互不平行，两条平行，三条平行，四条平行四种情况，注意不要漏掉【解析】【解答】∵ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ，故（1）符合题意；同理可得 ，故（2）符合题意；∵ ，∴ 与 互余，故（3）符合题意；∵ ＜ ，∴ ＜ ，∴ 与 不互补，故（4）不符合题意；故答案选C．【分析】根据等角的余角相等及平角等于180°，进行作答即可。【解析】【解答】解：∵∠1的余角为90°-∠1，
∠1=180°-∠2，
∴90°-∠1=90°-（180°-∠2）
=∠2-90°
=∠2-（∠1+∠2）
=∠2-∠1
=（∠2-∠1），
故答案为：C .

【分析】根据余角的性质，先把∠1的余角表示出来，然后根据∠1和∠2互补的关系，把∠1用含∠2的代数式表示，再把90°转换成∠1和∠2之和的一半即可得出结果.【解析】【解答】解：甲∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD=90°，∠AOB=∠COD，故甲符合题意；乙∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，故乙符合题意；丙∠AOB=∠COD，故丙不符合题意；丁：∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠BOD=∠AOC+∠BOD=180°，故丁符合题意；故答案为：B．【分析】根据余角的性质，补角的性质，可得答案．【解析】【解答】解：（1）1)如图，当D在AB内部时，

∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=84°，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=84°+20°=104°；
2)如图，当D在AB外部时，


∠ADC=∠ADE-∠CDE=84°-20°=64°。
故答案为：C.【分析】D在AB上移动时，有两种情况，当D在AB内部时，∠ADC=∠ADE+∠CDE，求得的角度是104°；
当D在AB外部时，∠ADC=∠ADE-∠CDE，求得的角度是64°。【解析】【解答】解：过E作直线EL∥AB，则AB∥EL∥DC，
过F作直线FG平行AB，则AB∥FG∥DC，

由EL∥AB，得∠AEL=∠BAE=∠EAF+∠FAB=4∠BAF，
由EL∥CD，得∠LEC=∠ECD=∠ECF+∠FCD=4∠DCF，
∴∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
由FG∥AB，得∠AFG=∠FAB，
由FG∥CD，得∠GFC=∠FCD，
∴∠F=∠AFG+∠GFC=∠FAB+∠DCF，
∴∠E=4∠F，
故答案为：D.【分析】过E作直线EL∥AB，过F作直线FG平行AB，由两直线平行内错角相等，得∠AEL=∠BAE，
∠LEC=∠ECD，结合 ∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF， 得∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
再由两直线平行内错角相等，得∠AFG=∠FAB，∠GFC=∠FCD，从而推得∠E=4∠F。【解析】【解答】解：如图：∠2与∠3的都两边与∠1的两边分别平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴∠1+∠A=180°，∠3+∠A=180°，∴∠3=∠1=50°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=130°．故另一个角是50°或130°．故答案为：C．【分析】根据题意作图，可得：∠2与∠3的两边都与∠1的两边分别平行，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数，即可求得答案．【解析】【解答】解：如图，过点A2向右作A2D∥A1B，过点A3向右作A3E∥A1B，……∵A1B∥AnC，∴A3E∥A2D∥…∥A1B∥AnC，∴∠A1＋∠A1A2D＝180°，∠DA2A3＋∠A2A3E＝180°，….
∴∠A1＋∠A1A2A3＋…＋∠An－1AnC＝(n－1)·180°.故答案为：C.
【分析】过点A2向右作A2D∥A1B，过点A3向右作A3E∥A1B，……根据平行的传递性得A3E∥A2D∥…∥A1B∥AnC，再由平行线的性质得∠A1＋∠A1A2D＝180°，∠DA2A3＋∠A2A3E＝180°，….将所有式子相加即可得证.【解析】【解答】解：如图，作P1E∥a，取∠3和∠4，

∵P1E∥a，
∴∠1+∠3=180°，
∵a∥b，
∴P1E∥b，
∴∠2+∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠P1=∠1+∠2+∠3+∠4=180°+180°=360°=（1+1）×180°，
如图，作P1A∥a，P2B∥a，

∵a∥b，
∴P1A∥a∥P2B∥a，
∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，
∴∠1+∠P1+∠P2+∠2=180°+180°+180°=（2+1）×180°，
同理可得：∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=180°+180°+180°+180°=（3+1）×180°，
……
∴∠1+∠P1+∠P2+……+∠2=180°+180°+……+180°=（n+1）×180°，
故答案为： 180（n+1） .

【分析】过P1、P2……作平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补分别列出等式，最后将各式相加求和，再总结规律即可得出答案.【解析】【解答】解：①当CD∥OB时，∠α=∠D=30°②当OC∥AB时，∠OEB=∠COD=90°，此时∠α=90°-∠B=90°-45°=45°③当DC∥OA时，∠DOA=∠D=30°，此时∠α=∠AOB+∠AOD=90°+30°=120°④当OD∥AB时，∠AOD=∠A=45°，此时∠α=∠A+∠AOD=90°+45°=135°⑤当CD∥AB时，延长BO交CD于点E，则∠CEO=∠B=45°∴∠DEO=180°-∠CEO=135°∴∠DOE=180°-∠DEO-∠D=15°此时∠α=180°-∠DOE=180°-15°=165°综上，在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， 的度数为30°或45°或120°或135°或165°.
故答案为：30°或45°或120°或135°或165°.【分析】利用旋转过程中，两边平行分类讨论：①当CD∥OB时，利用“两直线平行，内错角相等”求解；②当OC∥AB时，先利用“两直线平行，内错角相等”，求∠OEB=90°，再利用“三角形内角和180°”，求解；③当DC∥OA时，先利用“两直线平行，内错角相等”求∠DOA=30°，再求∠α=120°；④当OD∥AB时，先用“两直线平行，内错角相等”求∠AOD=45°，再求∠α=135°；⑤当CD∥AB时，延长BO交CD于点E，利用“两直线平行，内错角相等”求则∠CEO=45°，再利用平角求∠DEO=135°，再利用“三角形内角和180°”求∠DOE=15°，最后求∠α=165°.【解析】【解答】解：①如下图:

∵AC//BD，∠E=90°
∴∠A+∠B=90°
∵
∴3∠A=108°
∴∠A=36°
②如下图

∵AC//BD，∠E=90°
∴∠A+∠B=360°-90°=270°
∵
∴3∠A=288°
∴∠A=96°
故答案为:36或96
【分析】本题主要考查了分类讨论的思想，根据题意分为两种两种情况：①垂直的两边的交点在平行的两边之间的内部，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案；②垂直的两边的交点在平行的两边之间的外部，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到答案.【解析】【分析】先证得AD∥EF，根据平行线的性质得出∠2+∠3=180°，求出∠1=∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD=∠CAB即可．【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB∴∠α+∠AEF=180° (两直线平行，同旁内角互补)∵AB∥CD(已知)∴EF∥CD∴∠FED=∠EDC(两直线平行，内错角相等)∵∠β=∠AEP+∠FED又∵∠γ=∠EDC(已知)∴∠α+∠β-∠γ=180°【分析】过E作EF∥AB∥CD由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEP=∠FED，可得∠α、∠β、∠γ之间的关系。【解析】【解答】当点C在B、D左边，过点C、F作DE的平行线

得到∠BCD=∠EDC+∠ABC,∠BFD=
∵∠BCD= ∠BFD+10°
∴∠BCD=40°
当点C在B、D右边，过点C、F作DE的平行线

得到∠BCD+∠EDC+∠ABC=360°，∠BFD=
∵∠BCD= ∠BFD+10°
∴∠BCD=160°
故答案为：∠BCD=40°或160°【分析】本题主要考查平行线间的拐点问题，解题方法为过拐点作平行线，利用平行线的性质（两直线平行，同位角相等，内错角相等）、同旁内角互补以及利用方程的思想即可得到答案.【解析】【分析】 因为OE平分∠BON，∠BON＝2∠EON，求得∠BON的度数，则根据邻补角的性质求得∠NOC的度数， 由于∠MOC和∠BON是对顶角，则∠MOC的度数可得，结合∠AOC＝90°，从而可求∠AOM的度数。【解析】【分析】图（1）首先过点 作 ，由 ，即可得 ，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；图（2）图（3），图（4）首先过点 作 ，由 ，即可得 ，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；【解析】【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，又由AB∥CD，可得PQ∥AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠PAB+∠1=180°，∠2+∠PCD=180°，则可得∠APC+∠PAB+∠PCD=∠PBA+∠1+∠2+∠PCD=360°；（2）首先过点P作PQ∥AB，又由AB∥CD，可得PQ∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，则可得∠APC=∠PAB+∠PCD.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，可计算角的度数，得到结论。
（2）根据平行线的性质，可通过换算角的度数，得出结论。【解析】【分析】设∠BOC=x，则∠AOC=2x，根据∠AOC的余角比∠BOC小30°，列出方程求解，可得∠BOC=40°，∠AOC=80°，从而得∠AOB=120°，根据∠AOC=4∠AOD求得∠AOD=20°，再分情况讨论：①当射线OD在∠AOB内时，②当射线OD在∠AOB外部时，分别求出∠DOB的度数.【解析】【分析】根据图形和已知得到与∠DOE互余的角有∠EOF、∠BOD、∠BOC；∠DOE互补的角有∠BOF、∠EOC．【解析】【分析】(1)由 OE平分∠AOC，根据角平分线性质求出∠AOC的度数，再利用∠AOC和∠B0D为对顶角即可求出；
（2）若∠DOF-∠AOE=90°，易求出∠DOF度数，由（1）问知∠BOD，易求出∠BOF度数，最后根据互补关系即可求出∠EOF为直角.【解析】【解答】（2）  ②Ⅰ.当 ON在直线A B上方时，设 ，  平分 ，
即 ；Ⅱ.当ON在直线AB下方时， 设， 平分
=180°-，
∴ .故答案为：  或
【分析】（1）由邻补角的定义得出∠AON的度数，再由角平分线的定义求出∠CON的度数，最后根据角的和差关系计算，可得结果；
(2) ① 分两种情况讨论，即 当 ON在直线A B上方时，当ON在直线AB下方时，根据邻补角的定义、角平分线的定义和角的和差关系分解解答即可；
②  分两种情况讨论，即当 ON在直线A B上方时，当ON在直线AB下方时，根据邻补角的定义、角平分线的定义和角的和差关系分解解答即可.【解析】【解答】解：（1）∵∠COE是直角 ， ∠COF=32°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-32°=58°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=58°
∴∠AOE=2∠EOF=116°∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-116°=44°
故答案为：44°
（2）①∵∠COE是直角 ， ∠COF=m°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-m°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=90°-m°
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2m°②∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-(180°-2m°)= （2m-20）°
∵当 ∠COF=m° 时，∠ BOE=（2m-20）°
∴∠BOE=2∠COF-20°
故答案为：1、（2m-20）°；2、∠BOE=2∠COF-20°。【分析】（1）利用直角求出∠EOF以及利用角平分线的定义求出∠AOE，结合图形，运用角的和差进行求解；
（2）这道题目在第一问的基础上，将∠COF的度数换成m°，结合上一问的步骤进行化简可求出∠BOE ；
（3）根据第（2）问，可设 ∠COF=x° ，并用 ∠COF表示出∠BOE ，从而得出 ∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立 。