浙教版数学七下复习阶梯训练：因式分解（优生加练）含解析

 因式分解（优生加练）

一、单选题

1．已知   加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方,给出下面四个单项式①  , ②  , ③ 1 , ④  ,其中满足条件的共有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（        ）

A．-3 B．3 C．-1 D．1

3．已知x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　） 

A．4 B．﹣4 C．8或﹣8 D．4或﹣4

4．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　） 

A．12x2y＝3x•4xy B．x2＋6x﹣7＝x（x＋6）﹣7

C．（x﹣1）2＝x2﹣2x＋1 D．x3﹣5x2＝x2（x﹣5）

5．下列因式分解正确的是(　　) 

A．3ab2 -6ab=3a(b2 -2b) B．x(a-b)-y(b-a)=(a-b)(x-y)

C．a2+2ab-4b2=(a-2b)2 D．-a2+a- =- (2a-1)2

6．已知 （ 为任意有理数），则M与N的大小关系是（　　）

A．M>N B．M<N C．M ≥N D．M ≤ N

7．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（　　） 

A．±8 B．﹣3或5 C．﹣3 D．5

8．若要使4x2+mx+成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为（　　）

A．± B．- C．± D．-

9．是一个完全平方式，则等于（　　）

A． B．6 C． D．18

10．已知x2+mx+6=（x+a）（x+b），m、a、b都是整数，那么m的可能值的个数为（        ）  

A．4 B．3 C．2 D．5

二、填空题

11．多项式 加上一个单项式后，可化为一个整式的平方，则这个单项式是　                    　.（写一个即可）  

12．已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）=　     　．

13．若多项式 是一个完全平方式，则m的值为　     　. 

14．已知ab=5，a-b=-2，则-a2b+ab2=　     　

15．因式分解: ab3 + 6ab2 + 9ab =　           　

16．如果 能写成一个完全平方的形式，那么k等于　     　；若 ，那么a的值为　     　．

三、解答题

17．给出三个多项式X＝2a2+3ab+b2，Y＝3a2+3ab，Z＝a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式．  

18．分解因式

（1）4a 2－36

（2）x3－6x2+9x

（3）( x2 + y2 )2－4x2y2

19．若多项式x2﹣mx+4可分解为（x﹣2）（x+n），求m•n的值．

20．分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），求m，n．

21．若a﹣3是a2+5a+m的一个因式，求m的值．

四、综合题

22．已知：a-b=m，b-c=n．

（1）m=3，n=4，求代数式（a-c)2，a2+b2+c2-ab-bc-ca的值。  

（2）若m<0，n<0，判断代数 的值与0的大小关系并说明理由．  

23．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，

即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．

如：（1）x2+4x+3=x2+（1+3）x+1×3=（x+1）（x+3）；

（2）x2﹣4x﹣5=x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）=（x+1）（x﹣5）．

请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x2﹣7x﹣18．

24．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程. 

解：设m2-4m=n，

原式=n（n+8）+16 （第一步）

=n2+8n+16     （第二步）

=（n+4）2 （第三步）

=（m2-4m+4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解______. 

A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式

（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？　     　（填“是”或“否”）.若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果　     　.

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解. 

25．对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2），请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：

（1）x2﹣6x﹣16；  

（2）x2+2ax﹣3a2.  

答案解析部分

【解析】【解答】解：  ∵ + =， 故① 正确；
∵ ，不能构成完全平方，故 ② 不正确；
∵ -1== ，故 ③ 正确；
∵ +    =，故 ④ 正确；
∴满足条件得共有3个；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式的特点逐个进行判断，即可得出结果。

【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．

【解析】【解答】解：∵ 是一个完全平方式，

∴

解得： ，

即 或

故答案为：C．

【分析】利用完全平方式的定义求解即可。

【解析】【解答】解：A、12x2y=3x•4xy，等式左边不是多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；

B、x2+6x-7=x（x+6）-7，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；

C、（x-1）2=x2-2x+1，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

D、x3-5x2=x2（x-5），把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；

故答案为：D．

【分析】注意清楚理解因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解

【解析】【解答】解：A、3ab2 -6ab=3ab（b-2），故A不符合题意；
B、x（a-b）-y（b-a）=（a-b）（x+y），故B不符合题意；
C、a2-4ab+4b2=（a-2b）2，故C不符合题意；
D、-a2+a-=-（2a-1）2，故D符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据提公因式法和运用公式法分别进行因式分解，即可得出答案.

【解析】【解答】∵M-N=a2+4b2-4ab=（a-2b）2≥0
∴M≥N
故答案为：C.
【分析】利用作差比较法：M-N=a2+4b2-4ab=（a-2b）2，进而判断M与N的大小关系．

【解析】【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，

∴m﹣1＝4或m﹣1＝﹣4，

∴m＝5或﹣3．

故答案为：B．

【分析】利用完全平方公式的构造形式求解即可。

【解析】【解答】∵（2x-）2=4x2-或,

∴m=-   或   .

故答案为：A.

【分析】根据完全平方式的定义及特征求解即可。

【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，

∴①，即   ；

②，

综上所述：   等于   ，

故答案为：A．

【分析】根据完全平方式的特征求解即可。

【解析】【解答】解：根据题意可知，
（x+2）（x+3）=x2+5x+6
（x-2）（x-3）=x2-5x+6
（x+1）（x+6）=x2+7x+6
（x-1）（x-6）=x2-7x+6

故答案为：A.

【分析】根据十字相乘法进行因式分解，得到答案即可。

【解析】【解答】解：完全平方公式是指： .

；

；

；

.

故答案为：-4a2或-9或12a或-12a.

【分析】一个式子能写成一个整式的完全平方，这个式子可以是多项式，也可以是单项式，从而分两种情况考虑，当这个式子是多项式的时候，应该是一个三项式，该三项式中有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项可以写成两完全平方项底数乘积的2倍，符号可加可减，从而即可解决问题。

【解析】【解答】解：∵（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，

∴（2008﹣a）2﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）+（2007﹣a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），

即（2008﹣a﹣2007+a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），

整理得﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）=0，

∴（2008﹣a）（2007﹣a）=0．

【分析】根据完全平方公式的变形，求出代数式的值.

【解析】【分析】解：∵4x2+mx+1=（2x）2+mx+12，

∴mx=±2×2x×1，

 解得m=±4.

 故答案为：±4.

【点评】由完全平方式的特点可得：mx=±2×2x×1，据此可得m的值.

【解析】【解答】解：∵ ab=5，a-b=-2，
∴ -a2b+ab2=-ab（a-b）=-5×（-2）=10.
故答案为：10.

【分析】根据提公因式法把原式分解为-ab（a-b），再把 ab=5，a-b=-2整体代入进行计算，即可得出答案.

【解析】【解答】解：原式=ab(b2+6b+9)=ab(b+3)2.
【分析】先提取公因式ab，再利用完全平方公式分解即可.

【解析】【解答】解：∵

∴

故答案为：

∵

∴

∴

故答案为：

【分析】根据两平方项确定这两个数，再根据完全平方公式的成绩二倍即可确定k的值；因为，即可得出a的值。

【解析】【分析】根据整式加法法则算出 Y+Z ，再利用提公因式法分解因式；根据整式加法法则算出 X-Z ，再利用完全平方公式法分解因式；根据整式加法法则算出 Y-X ，再利用平方差公式法分解因式。

【解析】【分析】试题分析：（1）先提公因式4，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式公式继续分解；（3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式.

【解析】【分析】利用多项式的乘法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出mn的值．

【解析】【分析】由“多项式2x4﹣3x3+mx2+7x+n含有因式（x﹣1）和（x+2）”得到“x=1、x=﹣2肯定是关于x的方程2x4﹣3x3+mx2+7x+n=0的两个根”，所以将其分别代入该方程列出关于m、n的方程组，通过解方程组来求m、n的值．

【解析】【分析】根据因式分解是把多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．

【解析】【分析】（1）由m+n求得a-c的值，从而求得 （a-c)2 的值，把 a2+b2+c2-ab-bc-ca 通过变形化成三个完全平方式之和，从而求得其值；
（2）分别把a-b、b-c和c-a用m、n和m+n表示，通分，将分子变成一个完全平方式和平方式相加，再分别讨论各项正负，即可确定原式的正负性，即和0的关系.

【解析】【分析】把﹣18分成﹣9×2，﹣9+2=﹣7是一次项系数，由此类比分解得出答案即可．

【解析】【解答】解：（1）由n2+8n+16=（n+4）2 得出运用了两数和的完全平方公式，

故答案为：C.

（2）该同学没有完成因式分解，

= = ，

故答案为：否， ；

【分析】（1）根据第三步的结果即可得出结论；
（2）观察第四步中括号内的多项式是否还能分解即可；
（3）设 ，然后整理后进行因式分解，再替换y，再进行分解即可.

【解析】【分析】（1）在一次项的后面加上9再减去9，配成一个完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解；
（2）在一次项的后面加上 再减去 ，配成一个完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解.