2022中考数学解答题专题06 一次函数与一元一次方程（Word版含答案，基础 培优，教师版 学生版））

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专题06 一次函数与一元一次方程（基础） 1．利用函数图象解下列方程（1）0.5x﹣3＝1（2）3x﹣2＝x+4【思路导引】把0.5x﹣3＝1变化为y＝　0.5x﹣4　画出函数y＝　0.5x﹣4　的图象，求得函数和x轴的交点．【分析】把解方程问题转化为一次函数与x轴的交点问题．【解答】解：把0.5x﹣3＝1变化为y＝0.5x﹣4，画出函数y＝0.5x﹣4的图象，如图，直线y＝0.5x﹣4与x轴的交点坐标为（8，0），所以方程0.5x﹣3＝1的解为x＝8；把3x﹣2＝x+4变化为y＝2x﹣6，画出函数y＝2x﹣6的图象，如图，直线y＝2x﹣6与x轴的交点坐标为（3，0），所以方程3x﹣2＝x+4的解为x＝3．故答案为0.5x﹣4；0.5x﹣4．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了数形结合的思想．2．利用函数图象求下列方程的解，并笔算检验．（1）5x﹣1＝2x+5（2）x+4x+2．【分析】（1）作出函数y＝3x﹣6的图象，方程5x﹣1＝2x+5的解就是直线与x轴交点的横坐标，再笔算检验即可；（2）作出函数y＝﹣2x+2的图象，方程x+4x+2的解就是直线与x轴交点的横坐标，再笔算检验即可．【解答】解：（1）由5x﹣1＝2x+5得到3x﹣6＝0．如图：直线y＝3x﹣6与x轴交点的横坐标是2，则方程5x﹣1＝2x+5的解为x＝2，检验：把x＝2代入方程5x﹣1＝2x+5，左边＝10﹣1＝9，右边＝4+5＝9，左边＝右边，故方程5x﹣1＝2x+5的解为x＝2； （2）由x+4x+2得到﹣2x+2＝0．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴交点的横坐标是1，则方程x+4x+2的解为x＝1，检验：把x＝1代入方程x+4x+2，左边4＝3，右边2＝3，左边＝右边，故方程x+4x+2的解为x＝1．【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．3．探求一元一次方程5x+3＝0与一次函数y＝5x+3之间的联系．【分析】根据一元一次方程和一次函数的关系解答即可．【解答】解：一元一次方程5x+3＝0的解是x，一次函数y＝5x+3与x轴的交点为（，0），即一元一次方程5x+3＝0的解是一次函数y＝5x+3与x轴交点的横坐标的值；解一元一次方程5x+3＝0相当于求一次函数y＝5x+3的函数值为0时相应的自变量x的值．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解一元一次方程可转化为当一次函数的函数值为0时求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．二者只是从形式和思考问题的角度上发生转化，实质基本相同．4．一次函数y＝kx+b的图象与y轴相交于点（0，﹣3），且方程kx+b＝0的解为x＝2，求这个一次函数的解析式．【分析】先由方程kx+b＝0的解为x＝2，得出一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），再把（0，﹣3）、（2，0）代入y＝kx+b中，得到关于k、b的二元一次方程组，然后解方程组即可．【解答】解：∵方程kx+b＝0的解为x＝2，∴一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，0）．把（0，﹣3）、（2，0）代入y＝kx+b中，得，解得．故一次函数的解析式是yx﹣3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握方程kx+b＝0的解即为一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点的横坐标及二元一次方程组的解法．5．已知一次函数y＝ax+b（a、b是常数，且a≠0），x与y的部分对应值如表：x﹣2﹣10123y6420﹣2﹣4（1）牟宗华同学先用待定系数法求出函数y＝ax+b的表达式是　y＝﹣2x+2　，再画出函数　y＝﹣2x+2　的图象，该图象与x轴交于点　（1，0）　，所以方程ax+b＝0的解是　x＝1　；（2）你还有更好的方法吗？说出来和大家分享．【分析】（1）将（0，2），（1，0）两点的坐标代入y＝ax+b，求出一次函数的解析式，再根据一次函数的性质画出函数y＝ax+b的图象，观察图象得出与x轴的交点坐标，那么方程ax+b＝0的解是直线与x轴交点横坐标的值；（2）观察表格中y＝0时x的对应值即为方程ax+b＝0的解．【解答】解：（1）将（0，2），（1，0）代入y＝ax+b，得，解得，所以一次函数的解析式为y＝﹣2x+2，函数y＝﹣2x+2的图象如下所示，由图可知，该图象与x轴交于点（1，0），所以方程ax+b＝0的解是x＝1； （2）观察表格，可知y＝0时，x＝1，所以方程ax+b＝0的解为x＝1．故答案为y＝﹣2x+2；y＝﹣2x+2；（1，0）；x＝1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点的横坐标的值即为方程ax+b＝0的解．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质．6．已知方程2（x+1.5x）＝25，请填写下表：x1234567…2（x+1.5x）       …由此估算出方程的解是x＝　5　．【分析】根据函数值为零时自变量的值是一元一次方程的解，可得方程的解．【解答】解：y＝5x﹣25当y＝0时，5x﹣25＝0．解得x＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，函数值为零时自变量的值是一元一次方程的解．7．根据图象，你能说出哪些一元一次方程的解？请直接写出相应方程的解．【分析】（1）一次函数y＝5x与x轴交于（0，0），因此一元一次方程5x＝0的解为x＝0；（2）一次函数y＝x+2与x轴交于（﹣2，0），因此一元一次方程x+2＝0的解为x＝﹣2；（3）一次函数y＝﹣3x+6与x轴交于（2，0），因此一元一次方程﹣3x+6＝0的解为x＝2；（4）首先求出y＝kx+b的解析式，再根据图象与x轴的交点可得方程的解．【解答】解：（1）一元一次方程5x＝0的解为x＝0； （2）一元一次方程x+2＝0的解为x＝﹣2； （3）一元一次方程﹣3x+6＝0的解为x＝2； （4）∵y＝kx+b经过（1，0）和（0，﹣1），∴，解得，∴一次函数解析式为y＝x﹣1，∴x﹣1＝0的解为x＝1．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是掌握一次函数y＝kx+b与x轴的交点横坐标就是kx+b＝0的解．8．已知直线y＝kx+b的图象经过点（2，4）和点（﹣2，﹣2）．（1）求b的值；（2）求关于x的方程kx+b＝0的解；（3）若（x1，y1）、（x2，y2）为直线上两点，且x1＜x2，试比较y1、y2的大小．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到b的值；（2）利用k、b的值得到次函数解析式为yx+1，然后解方程x+1＝0即可；（3）利用一次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）根据题意得，解得，即b的值为1；（2）一次函数解析式为yx+1，当y＝0时，x+1＝0，解得x；（3）∵k0，∴y随x的增大而增大，∵x1＜x2，∴y1＜y2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了一次函数的性质．9．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+3经过点A（2，7）．（1）求k的值；（2）解关于x的方程5x+k＝2（x+4）．【分析】（1）把A（2，7）代入y＝kx+3中得出k值即可；（2）把k值代入方程解答即可．【解答】解：（1）将A（2，7）代入y＝kx+3中，得2k+3＝7，解得：k＝2；（2）将k＝2代入方程中，得5x+2＝2（x+4），解得x＝2．【点评】此题考查一次函数与一元一次方程，关键是根据代入法解答．10．当自变量x的取值满足什么条件时，函数y＝﹣2x+7的值为﹣2．【分析】将y＝﹣2代入函数的解析式中，可求得自变量的值．【解答】解：函数y＝﹣2x+7中，令y＝﹣2，则﹣2x+7＝﹣2，解得：x＝4.5．【点评】理解函数与方程的关系是解决本题的关键．11．已知一次函数y＝﹣2x+4，完成下列问题：（1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象；（2）根据函数图象回答：方程﹣2x+4＝0的解是　x＝2　；当x　＜1　时，y＞2；当﹣4≤y≤0时，相应x的取值范围是　2≤x≤4　．【分析】（1）利用描点法画函数图象；（2）利用函数图象解决问题．【解答】解：（1）如图，（2）由图象可得x＝2时，y＝0，所以方程﹣2x+4＝0的解是x＝2；由图象可得x＜1时，y＞2，所以方程﹣2x+4＝0的解是x＝2；由图象可得当2≤x≤4时，﹣4≤y≤0．故答案为x＝2；＜1；2≤x≤4．【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．12．根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：（1）关于x的方程kx+b＝0的解；（2）代数式k+b的值；（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；（2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可（3）利用函数图象写出函数值为﹣3时对应的自变量的值即可．【解答】解：（1）当x＝2时，y＝0，所以方程kx+b＝0的解为x＝2；（2）当x＝1时，y＝﹣1，所以代数式k+b的值为﹣1；（3）当x＝﹣1时，y＝﹣3，所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键．13．如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，点A、B在直线l上．根据图象回答下列问题：（1）写出方程kx+b＝0的解；（2）写出不等式kx+b＞1的解集；（3）若直线l上的点P（m，n）在线段AB上移动，则m、n应如何取值．【分析】从图象上得到函数的增减性及与坐标轴的交点的坐标后，解答各题．【解答】解：函数与x轴的交点A坐标为（﹣2，0），与y轴的交点的坐标为（0，1），且y随x的增大而增大．（1）函数经过点（﹣2，0），则方程kx+b＝0的根是x＝﹣2；（2）函数经过点（0，1），则当x＞0时，有kx+b＞1，即不等式kx+b＞1的解集是x＞0；（3）线段AB的自变量的取值范围是：﹣2≤x≤2，当﹣2≤m≤2时，函数值y的范围是0≤y≤2， 则0≤n≤2．【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．