2022中考解答题二轮专题 03 用不等式（组）解决问题（基础 培优，Word含答案）

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专题03 用不等式（组）解决问题（基础）

1．解不等式组−3x≤9①x＞−2②2(x+1)＜x+3③．
请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　x≥﹣3　．
（2）解不等式③，得　x＜1　．
（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．

（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　﹣2＜x＜1　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的基本性质．
（2）解不等式③，得x＜1．
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．

（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣3≤x＜1，
故答案为：（1）x≥﹣3；（2）x＜1；（4）﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2．要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：
（1）如果a﹣b＞0，则a＞b；
（2）如果a﹣b＝0，则a＝b；
（3）如果a﹣b＜0，则a＜b．
若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．
【分析】利用作差法可比较x、y的大小．
【解答】解：由于x﹣y＝2a2+3b﹣（a2+3b﹣1）＝a2+1＞0，即x﹣y＞0．
所以x＞y．
【点评】本题考查了不等式的性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．某街道组织志愿者活动，选派志愿者到小区服务．若每一个小区安排4人，那么还剩下78人；若每个小区安排8人，那么最后一个小区不足8人，但不少于4人．求这个街道共选派了多少名志愿者？
【分析】设共到x个小区服务，则共有志愿者（4x+78）人，根据“若每个小区安排8人，那么最后一个小区不足8人，但不少于4人”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，将其中的正整数值代入（4x+78）中即可求出结论．
【解答】解：设共到x个小区服务，则共有志愿者（4x+78）人，
依题意，得：4x+78≥8(x−1)+44x+78＜8x，
解得：19.5＜x≤20.5，
又∵x为正整数，
∴x＝20，
∴4x+78＝158．
答：这个街道共选派了158名志愿者．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
4．某校举行“讲文明、爱卫生”知识竞赛，共有20道题，答对一道题得10分，答错或不答扣5分，若小明同学得分要超过100分，那么他至少要答对几道题？
【分析】设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，根据得分＝10×答对题目数﹣5×答错或不答题目数结合得分超过100分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，
依题意，得：10x﹣5（20﹣x）＞100，
解得：x＞403，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为14．
答：他至少要答对14道题．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
5．某业主贷款88000元购进一台机器，生产某种产品，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的10%，若每个月能生产、销售8000个产品，问至少几个月后能赚回这台机器贷款？（用列不等式的方法解决）
【分析】设需要x个月后能赚回这台机器贷款，根据总利润不少于贷款金额，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：设需要x个月后能赚回这台机器贷款，
依题意，得：（8﹣8×10%﹣5）×8000x≥88000，
解得：x≥5．
答：至少5个月后能赚回这台机器贷款．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
6．在今年年初，新型冠状病毒在武汉等地区肆虐，为了缓解湖北地区的疫情，全国各地的医疗队员都纷纷报名支援湖北，某方舱医院需要8组医护人员支援，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人，若每组人数比预定人数少分配一人，则总数不够90人，那么预定每组分配的人数是多少人？
【分析】设预定每组分配的人数是x人，根据“若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人，若每组人数比预定人数少分配一人，则总数不够90人”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出结论．
【解答】解：设预定每组分配的人数是x人，
依题意，得：8(x+1)＞1008(x−1)＜90，
解得：232＜x＜494，
又∵x为正整数，
∴x＝12．
答：预定每组分配的人数是12人．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
7．在新冠肺炎疫情期间，为保证孩子们的身心健康发展，各级各类学校都进行了“停课不停学”活动，某校七年级开展了网上教学，并对学生的学习情况进行了调查．经过统计，我们发现：大约有二分之一的孩子是通过电脑进行学习，约四分之一的孩子是利用手机进行学习，约六分之一的孩子是利用PAD等其他电子设备进行学习，而在受访班级中，平均每个班都有不超过4名同学没有进行线上学习；若该校七年级每个班的学生总数都超过了40人，请你分析一下，该所学校七年级每个班学生人数的范围．
【分析】设该所学校七年级每个班学生人数为x，根据该校七年级每个班的学生总数都超过了40人且平均每个班都有不超过4名同学没有进行线上学习，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该所学校七年级每个班学生人数为x，
依题意，得：x＞40(1−12−14−16)x≤4，
解得：40＜x≤48．
答：该所学校七年级每个班学生人数的范围为40＜x≤48．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
8．某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，
依题意，得：x+2y=1702x+3y=290，
解得：x=70y=50．
答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．
（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，
依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，
解得：m≤5．
答：学校最多可购买甲种词典5本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
9．如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）．
（1）当a＝20时，求b的值；
（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围．

【分析】（1）由护栏的总长度为50m，可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）由a的取值范围结合a＝50﹣2b及a≥b，即可得出关于b的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意，得：20+2b＝50，
解得：b＝15．
（2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，且a≥b，
∴50−2b≥1850−2b≤2650−2b≥b，
解得：12≤b≤16．
答：b的取值范围为12≤b≤16．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
10．某公园为了方便游客游览，设置了观光接驳车．公园设计的其中一条观光路线上设有A，B，C，D四个站点（如图所示），相邻两个站点的距离都是5千米，游客只能在站点上、下车．一辆接驳车在A，D之间往返行驶，一名游客在距离A站点x千米（5＜x＜10）的M处徒步游览时，临时有事要赶回站点A，此时他正好遇到开往站点D的接驳车，他决定走到站点B等待刚才那辆车从站点D开回．已知接驳车行驶的平均速度为30千米/时，该游客步行的平均速度为6千米/时，游客上下车的时间忽略不计．
（1）接驳车在A，D之间往返行驶一次所需时间为　1　小时；
（2）该游客从M处走到站点B所需时间为　x−56　小时；（用含x的式子表示）
（3）如果该游客不晚于接驳车到达了站点B，那么当时他离站点A的距离x最多有多远？

【分析】（1）利用时间＝路程÷速度，即可求出结论；
（2）利用时间＝路程÷速度，即可用含x的代数式表示出该游客从M处走到站点B所需时间；
（3）根据该游客走到站点B所需时间不多于接驳车到达站点B所需时间，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）5×3×2÷30＝1（小时）．
故答案为：1．
（2）该游客从M处走到站点B所需时间为x−56小时．
故答案为：x−56．
（3）依题意，得：x−56≤5×3−x+5×230，
解得：x≤253．
答：该游客离站点A的距离最远为253千米．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量关系，列式计算；（2）利用时间＝路程÷速度，用含x的代数式表示出该游客从M处走到站点B所需时间；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
11．欣欣服装厂加工A、B两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工B种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元．
（1）A、B两种运动服各加工多少件？
（2）两种运动服共计100件送到商场销售，A种运动服的每件的售价为200元，两种运动服全部售出，若共计获利不少于7200元，则B种运动服每件的售价至少为多少元？
【分析】（1）设A种运动服加工了x件，B种运动服加工了y件，根据该服装厂加工A、B两种款式的运动服共100件且共用去9200元的成本，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设B种运动服每件的售价为m元，根据总利润＝每件的利润×销售数量（加工数量），即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种运动服加工了x件，B种运动服加工了y件，
依题意，得：x+y=10080x+100y=9200，
解得：x=40y=60．
答：A种运动服加工了40件，B种运动服加工了60件．
（2）设B种运动服每件的售价为m元，
依题意，得：40×（200﹣80）+60（m﹣100）≥7200，
解得：m≥140．
答：B种运动服每件的售价至少为140 元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
12．疫情期间为了满足口罩需求，某学校决定购进A，B两种型号的口罩．若购进A型口罩10盒，B型口罩5盒，共需1000元；若购进A型口罩4盒，B型口罩3盒，共需550元，
（1）求A，B两种型号的口罩每盒各需多少元？
（2）若该学校决定购进这两种型号的口罩共计200盒，考虑到实际需求，要求购进A型号口罩的盒数不超过B型口罩盒数的6倍，请为该学校设计出最省钱的方案，并说明理由．
【分析】（1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，根据“若购进A型口罩10盒，B型口罩5盒，共需1000元；若购进A型口罩4盒，B型口罩3盒，共需550元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m盒A型口罩，则购进（200﹣m）盒B型口罩，由购进A型号口罩的盒数不超过B型口罩盒数的6倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该学校购进这批口罩共花费w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，
依题意，得：10x+5y=10004x+3y=550，
解得：x=25y=150．
答：购进A型口罩每盒需25元，B型口罩每盒需150元．
（2）设购进m盒A型口罩，则购进（200﹣m）盒B型口罩，
依题意，得：m≤6（200﹣m），
解得：m≤17137．
设该学校购进这批口罩共花费w元，则w＝25m+150（200﹣m）＝﹣125m+30000．
∵﹣125＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤17137，且m为整数，
∴当m＝171时，w取得最小值，此时200﹣m＝29．
∴最省钱的购买方案为：购进171盒A型口罩，29盒B型口罩．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
13．某电器超市销售200元、170元的A、B两种型号的电风扇．下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣送货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备电风扇共30台，打算销售完实现利润不低于1320元，求A种型号的电风扇至少要采购多少台？
【分析】（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，根据总价＝单价×数量结合近两周的销售情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种型号的电风扇采购了m台，则B种型号的电风扇采购了（30﹣m）台，根据总利润＝销售每台的利润×销售数量（购进数量）结合销售总利润不低于1320元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，
依题意得：3x+5y=18004x+10y=3100，
解得：x=250y=210．
答：A种型号的电风扇的销售单价为250元，B种型号的电风扇的销售单价为210元．
（2）设A种型号的电风扇采购了m台，则B种型号的电风扇采购了（30﹣m）台，
依题意得：（250﹣200）m+（210﹣170）（30﹣m）≥1320，
解得：m≥12．
答：A种型号的电风扇至少要采购12台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
14．“端午节”将至，某商家预测某种粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种400个，乙种200个，需要用2800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要4500元．
（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？
（2）该商家准备2500元全部用来购买甲乙两种粽子，计划销售每个甲种粽子可获利3元，销售每个乙种粽子可获利5元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于1900元，那么商家至少应购进甲种粽子多少个？
【分析】（1）设甲种粽子每个的进价为x元，乙种粽子每个的进价为y元，根据“若购进甲种400个，乙种200个，需要用2800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要4500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设商家应购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子2500−3m8个，根据总利润＝单个的利润×销售数量结合这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于1900元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种粽子每个的进价为x元，乙种粽子每个的进价为y元，
依题意得：400x+200y=2800700x+300y=4500，
解得：x=3y=8．
答：甲种粽子每个的进价为3元，乙种粽子每个的进价为8元．
（2）设商家应购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子2500−3m8个，
依题意得：3m+2500−3m8×5≥1900，
解得：m≥300．
答：商家至少应购进甲种粽子300个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
15．我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？
【分析】（1）设温馨提示牌的单价是x元，则垃圾箱的单价是3x元，根据购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设购买温馨提示牌m个，则购买垃圾桶（3000﹣m）个，根据计划购买费用不超过35万元且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出购买方案的个数，设总费用为w元，根据总价＝单价×数量可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设温馨提示牌的单价是x元，则垃圾箱的单价是3x元，
依题意得：4×3x﹣5x＝350，
解得：x＝50，
∴3x＝150．
答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元．
（2）设购买温馨提示牌m个，则购买垃圾桶（3000﹣m）个，
依题意得：50m+150(3000−m)≤3500003000−m≥1.5m，
解得：1000≤m≤1200．
又∵m为正整数，1200﹣1000+1＝201，
∴共有201种可供选择的方案．
设总费用为w元，则w＝50m+150（3000﹣m）＝﹣100m+450000，
∵﹣100＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝1200时，w取得最小值，最小值＝﹣100×1200+450000＝330000（元），330000元＝33万元．
答：共有201种可供选择的方案，当购买1200个温馨提示牌、1800个垃圾桶时，所需总费用最少，最少费用为33万元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
16．2020年7月27日，金华城东东湖畈地力提升项目现场，金色的早稻田一望无际．大型收割机依次排开，在田间来回穿梭，伴随着机器轰鸣的声音，金灿灿的稻谷被尽数收入“囊中”．已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割水稻2.5公顷．
（1）每台大型收割机和小型收割机1小时可收割水稻多少公顷？
（2）大型收割机每小时费用300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共10台，要求2小时完成8公顷水稻的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
【分析】（1）设每台大型收割机1小时可收割水稻x公顷，每台小型收割机1小时可收割水稻y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割水稻2.5公顷”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设参加收割的大型收割机有m台，则小型收割机有（10﹣m）台，根据要求2小时完成8公顷水稻的收割任务且总费用不超过5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出方案的个数，设总费用为w元，根据总费用＝每台机器1小时所需费用×使用机器的数量×2，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每台大型收割机1小时可收割水稻x公顷，每台小型收割机1小时可收割水稻y公顷，
依题意得：x+3y=1.42x+5y=2.5，
解得：x=0.5y=0.3．
答：每台大型收割机1小时可收割水稻0.5公顷，每台小型收割机1小时可收割水稻0.3公顷．
（2）设参加收割的大型收割机有m台，则小型收割机有（10﹣m）台，
依题意得：2×[0.5m+0.3(10−m)]≥82×[300m+200(10−m)]≤5400，
解得：5≤m≤7．
又∵m为整数，
∴m可以取5，6，7，
∴共有3种方案．
设总费用为w元，则w＝2×[300m+200（10﹣m）]＝200m+4000，
∵200＞0，
∴当m＝5时，w取得最小值，最小值＝200×5+4000＝5000（元），
即当使用5台大型收割机、5台小型收割机时，总费用最低，最低费用为5000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
17．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值．
【分析】（1）根据“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）设超市获得的利润为y元，根据总利润＝每千克的利润×销售数量可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润的最大值．
【解答】解：（1）依题意，得：
10m+5n=1706m+10n=200，
解得：m=10n=14．
答：m的值为10，n的值为14．
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，
依题意，得：10x+14(100−x)≥116010x+14(100−x)≤1168，
解得：58≤x≤60．
∵x为正整数，
∴x＝58，59，60，
∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
（3）设超市获得的利润为y元，则y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400．
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60+400＝520．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，得出利润的最大值．
18．在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题：
如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x|＞a（a＞0）和|x|＜a（a＞0）的解集．
小明同学的探究过程如下：
先从特殊情况入手，求|x|＞2和|x|＜2的解集．确定|x|＞2的解集过程如图1：
先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下：
（1）请将小明的探究过程补充完整；
所以，|x|＞2的解集是x＞2或　x＜﹣2　．
再来确定|x|＜2的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如图2：　　；
所以，|x|＜2的解集为：　﹣2＜x＜2　．

经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式|x|＞a（a＞0）的解集为　x＞a或x＜﹣a　，|x|＜a（a＞0）的解集为　﹣a＜x＜a　．
请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题：
（2）求绝对值不等式2|x+1|﹣3＜5的解集．
【分析】（1）根据题意即可得；
（2）将2|x+1|的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得．
【解答】解：（1）①x＜﹣2，
②；
③﹣2＜x＜2，
④x＞a或x＜﹣a，
⑤﹣a＜x＜a；
故答案为：x＜﹣2，，﹣2＜x＜2，x＞a或x＜﹣a，﹣a＜x＜a
（2）∵2|x+1|﹣3＜5，
∴2|x+1|＜8，
∴|x+1|＜4，
∴﹣4＜x+1＜4，
∴﹣5＜x＜3，
∴原绝对值不等式的解集是﹣5＜x＜3．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
19．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元，已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？
【分析】（1）设购买一个甲种笔记本需x元，购买一个乙种笔记本需y元，根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元，购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，根据总价＝单价×数量结合此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一个甲种笔记本需x元，购买一个乙种笔记本需y元，
依题意，得：15x+20y=250x−y=5，
解得：x=10y=5．
答：购买一个甲种笔记本需10元，购买一个乙种笔记本需5元．
（2）设购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，
依题意，得：（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）≤225，
解得：m≤2114，
又∵m为非负整数，
∴m的最大值为21．
答：至多需要购买21个甲种笔记本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20．三水某工厂最近准备复工复产，需要面向社会招聘A，B两个工种的工人共150人．现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，且B工种的人数比A工种人数多出的数量不超过54人．请回答以下问题：
（1）若设A工种工人人数为x，那么B工种工人人数为　（150﹣x）人　；
（2）请利用不等式的知识求出招聘的所有方案；
（3）若A，B两个工种的工人的月工资分别是5000和8000元，怎样招聘可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额是多少？
【分析】（1）由A，B两个工种的工人共150人，可求解；
（2）由B工种的人数不少于A工种人数的2倍，且B工种的人数比A工种人数多出的数量不超过54人，列出不等式组，即可求解；
（3）分别求出三种方案的工资总额，即可求解．
【解答】解：（1）∵A工种工人人数为x，A，B两个工种的工人共150人，
∴B工种工人人数为（150﹣x）（人），
故答案为：（150﹣x）人；
（2）由题意可得150−x≥2x150−x≤x+54，
解得：48≤x≤50，
∵x为整数，
∴x＝48或49或50，
∴方案一、招聘A工种工人人数为48人，B工种工人人数为102人，方案二、招聘A工种工人人数为49人，B工种工人人数为101人，方案三、招聘A工种工人人数为50人，B工种工人人数为100人；
（3）方案一、工资总额＝5000×48+8000×102＝1056000元，
方案二、工资总额＝5000×49+8000×101＝1053000元，
方案三、工资总额＝5000×50+8000×100＝1050000元，
答：招聘招聘A工种工人人数为50人，B工种工人人数为100时，工资总额最少，最少工资总额是1050000元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，列出正确的不等式组是本题的关键．
21．（1）阅读下面问题的解答过程并补充完整．
问题：实数x，y满足x﹣y＝2，x+y＝a，且x＞1，y＜0，求a的取值范围．
解：列关于x，y的方程组x−y=2x+y=a，解得x=a+22y=a−22，又因为x＞1，y＜0，所以a+22＞1a−22＜0，解得　0＜a＜2　；
（2）已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
（3）若a，b满足3a2+5|b|＝7，s＝2a2﹣3|b|，求s的取值范围．
【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（2）根据（1）阅读中的方法解题即可求解；
（3）先根据3a2+5|b|＝7求出|b|的值，再代入S＝2a2﹣3|b|中即可得到关于a的二次函数，根据a2的取值范围，求出S的取值范围．
【解答】解：（1）a+22＞1①a−22＜2②，
解不等式①得：a＞0，
解不等式②得：a＜2，
∴不等式组的解集为0＜a＜2，
故答案为：0＜a＜2；
（2）①设x+y＝a，则x−y=4x+y=a，
解得：x=a+42y=a−42，
∵x＞3，y＜1，
∴a+42＞3a−42＜1，
解得：2＜a＜6，
即2＜x+y＜6；
（3）由3a2+5|b|＝7得|b|=7−3a25，
则 7−3a25≥0，解得a2≤73，
∴0≤a2≤73，
将|b|=7−3a25，代入S＝2a2﹣3|b|中，
得S=195a2−215，
∵0≤a2≤73，
∴当a2＝0时，S取最小值为S=−215；
当a2=73时，S取最大值为S=195×73−215=143，
∴S的取值范围为：−215≤S≤143．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
22．科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用A种机器人80台、B种机器人100台，1小时共可以分拣6400件包裹，若A、B两种机器人各启用50台，1小时共可以分拣3500件包裹．
（1）求两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；
（2）为了进一步提高效率，快递公司计划再购进A，B两种机器人共150台，若要保证新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于5000件，求最多应购进A种机器人多少台？
【分析】（1）A种机器人每台每小时各分拣x件包裹，B种机器人每台每小时各分拣y件包裹，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设最多应购进A种机器人a台，购进B种机器人（200﹣a）台，由题意得，根据题意两不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）A种机器人每台每小时各分拣x件包裹，B种机器人每台每小时各分拣y件包裹，
由题意得，80x+100y=640050(x+y)=3500，
解得，x=30y=40，
答：A种机器人每台每小时各分拣30件包裹，B种机器人每台每小时各分拣40件包裹；

（2）设最多应购进A种机器人a台，购进B种机器人（150﹣a）台，
由题意得，30a+40（150﹣a）≥5000，
解得：a≤100，
答：最多应购进A种机器人100台．
【点评】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
23．某公司计划购买A，B两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元；购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元．
（1）求购买A，B两种型号打印机每台的价格分别是多少元？
（2）根据公司实际情况，要求购买A型打印机的数量不低于B型打印机数量的14，不超过B型打印机数量的一半，且购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元，求该公司按计划购买A，B两种型号打印机共有几种购买方案，哪种方案费用最低？并求出最低费用．
【分析】（1）设购买A种型号打印机每台的价格是x元，购买B种型号打印机每台的价格是y元，根据购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元；购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元l列方程组求解；
（2）设购买A种型号打印机m台，则购买B种型号打印机（20﹣m）台，根据要求购买A型打印机的数量不低于B型打印机数量的14，不超过B型打印机数量的一半；购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元；可列不等式组求解．
【解答】解：（1）设购买A种型号打印机每台的价格是x元，购买B种型号打印机每台的价格是y元，依题意有
3x+4y=61804x+6y=8840，
解得x=860y=900．
故购买A种型号打印机每台的价格是860元，购买B种型号打印机每台的价格是900元；
（2）设购买A种型号打印机m台，则购买B种型号打印机（20﹣m）台，依题意有
m≥14(20−m)m≤12(20−m)860m+900(20−m)≤17800，
解得：5≤m≤203．
故共有两种购买方案：
购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台，费用为860×5+900×15＝17800（元）；
购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用为860×6+900×14＝17760（元）；
∵17800＞17760，
∴购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元．
【点评】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式组求解．
24．一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向武汉运送爱心物资．两次满载的运输情况如表：

甲种货车辆数
乙种货车辆数
合计运物资吨数
第一次
3
4
31
第二次
2
6
34
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
（2）由于疫情的持续，该公司安排甲乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于48.4吨，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用？
【分析】（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，根据表中数据列出二元一次方程组进行解答便可；
（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10﹣z）辆，根据题意列出不等式求出z的整数值，再设总运费为w元，再根据题意列出w关于z的一次函数解析式，最后根据一次函数的性质求得z的值，进而得安排货车的方案．
【解答】解：（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，
根据题意，得3x+4y=312x+6y=34，
解得，x=5y=4，
答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资；

（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10﹣z）辆，根据题意得，
5z+4（10﹣z）≥48.4，
解得，z≥8.4，
∵x为整数，z≤10，
∴x＝9或10，
设总运费为w元，根据题意得，
w＝500z+300（10﹣z）＝200z+3000，
∵200＞0，
∴w随z的增大而增大，
∴当z＝9时，w的值最小为w＝200×9+3000＝4800，
答：该公司应如何甲货车9辆，乙货车1辆最节省费用．
【点评】考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案．
25．现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地．已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨．
（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？
（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元．在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？
（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元．每辆B型车奖金为n元，38＜m＜n．且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案．
【分析】（1）设安排A种货车x辆，安排B种货车（50﹣x）辆．根据不等式组，求整数解即可．
（2）根据三种方案判断即可．
（3）根据二元一次方程，求整数解即可．
【解答】解：（1）设安排A种货车x辆，安排B种货车（50﹣x）辆．
由题意7x+5(50−x)≥3063x+7(50−x)≥230，
解得28≤x≤30，
∵x为整数，
∴x＝28或29或30，
∴50﹣x＝22或21或20，
∴共有3种方案．

（2）方案一：A种货车28辆，安排B种货车22辆，
方案二：A种货车29辆，安排B种货车21辆，
方案三：A种货车30辆，安排B种货车20辆，
∵使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元，
600＜800，
∴第三种方案运费最省，费用为600×30+800×20＝34000（元）．

（3）由题意30m+20n＝2100，
∴3m+2n＝210，
∴m＝70−23n，
∵m，n是整数，
∴n是3的倍数，
∵38＜m＜n．
∴38＜70−23n＜n，
∴42＜n＜48，
∵n为3的倍数，
∴n＝45，
∴m＝40
∴每辆A型车奖金为40元．每辆B型车奖金为45元．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程的整数解问题，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式组解决问题，属于中考常考题型．