2021【KS5U解析】马鞍山高一下学期期末考试数学试卷含解析

安徽省马鞍山市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.某学校有教师100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层随机抽样的方法从中抽取20人，从低到高各年龄段分别抽取的人数为（    ）           

A.7，5，8      B.9，5，6       C.6，5，9         D.8，5，7

2.设复数 ， ，则 在复平面内对应的点位于（    ）           

A.第一象限      B.第二象限       C.第三象限       D.第四象限

3.如图，已知两座灯塔 和 与海洋观察站 的距离都等于30km，灯塔 在观察站 的北偏东20°，灯塔 在观察站 的南偏东40°，则灯塔 与灯塔 的距离为（    ） 

A.30km        B. km     C. km      D. km

4.为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kw•h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（    ）           

A.一定为5.5kw•h     B.高于5.5kw•h     C.低于5.5kw•h        D.约为5.5kw•h

5.已知复数 满足 ，则 （    ）           

A.1     B.2      C.        D.

6.设 ， 为两条不重合的直线， ， 为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ）           

A.若 ， ，则
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ， ，则

7.下列命题是假命题的是（    ）           

A.数据1，2，3，3，4，5的众数、中位数相同
B.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，这两组数据中较稳定的是乙
C.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的第85百分位数为5
D.对一组数据 ，如果将它们变为 ，其中 ，则平均数和标准差均发生改变．

8.设 为平面内一个基底，已知向量 ， ， ，若 ， ， 三点共线，则 的值是（    ）           

A.2     B.3       C.-2         D.-3

9.已知正三棱锥 的底面边长为6，点 到底面 的距离为3，则三棱锥的表面积是（    ）           

A.     B.       C.       D.

10.从集合{3，4，6}中随机地取一个数a  ， 从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数b  ， 则向量 与向量 垂直的概率为（    ）           

A.      B.      C.        D.

11.在四边形ABCD中, ,则四边形ABCD的面积为（    ）           

A.      B.      C.5      D.10

12.如图，空间几何体 ，是由两个棱长为 的正三棱柱组成，则直线 和 所成的角的余弦值为（    ） 

A.      B.     C.       D.  

二、填空题：每小题4分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．

13.若向量 ， ，且 ，则 的值是________．   

14.已知复数 满足 ，则 的最小值为________．   

15.已知三棱锥 ， 底面 ， ， ， ， ，则三   棱锥 的外接球表面积为________．   

16.如图，已知为 平面直角坐标系的原点， ， ．则向量 在向量 上的投影向量为________． 

17.在 中，已知 ， ， ， ， ， 与 交于点 ，则 的余弦值是________．   

三、解答题：本大题共5题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．

18.  2021年4月30日，马鞍山市采石矶5A级旅游景区揭牌．为了更好的提高景区服务质量，景区管理部门对不同年龄层次的入园游客进行随机调查，收集数据如下：

假设所有被调查游客的评价相互独立．

（1）求此次调查的好评率．

（2）若从所有评价为好评的被调查游客中随机选择1人，求这人是老年组的概率.   

19.已知 ， ， .   

（1）求 与 的夹角 ；   

（2）求 ．   

20.已知四棱锥 ，底面 是菱形， ， 底面 ，且 ，点 是棱 和 的中点． 

（1）求证： 平面 ；   

（2）求三棱锥 的体积．   

21.在 中，角 所对的边分别为 .   

（1）证明： ；   

（2）若 ， ，   求 的周长.   

22.如图，在正方体 中， ， ， ， 是所在棱的中点． 

（1）证明： 平面 ；   

（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．   

答案解析部分

安徽省马鞍山市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.某学校有教师100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层随机抽样的方法从中抽取20人，从低到高各年龄段分别抽取的人数为（    ）           

A.7，5，8
B.9，5，6
C.6，5，9
D.8，5，7

【答案】 B  

【考点】分层抽样方法   

【解析】【解答】解：由题意得抽样比为  ，
则从低到高各年龄段抽取的人数依次为20-9-5=6人
故答案为：B
【分析】根据分层抽样求解即可.

2.设复数 ， ，则 在复平面内对应的点位于（    ）           

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

【答案】 D  

【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算   

【解析】【解答】解：z1-z2=2-i-(-3+5i)=5-6i，表示的点为（5，-6）
故答案为：D
【分析】根据复数的运算，结合复数的几何意义求解即可.

3.如图，已知两座灯塔 和 与海洋观察站 的距离都等于30km，灯塔 在观察站 的北偏东20°，灯塔 在观察站 的南偏东40°，则灯塔 与灯塔 的距离为（    ） 

A.30km
B. km
C. km
D. km

【答案】 C  

【考点】余弦定理的应用   

【解析】【解答】解：由题意得∠ACB=180°-20°-40°=120°，
则由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB=302+302-2×30×30×cos120°=2700
则km
故答案为：C
【分析】根据余弦定理求解即可.

4.为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kw•h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（    ）           

A.一定为5.5kw•h
B.高于5.5kw•h
C.低于5.5kw•h
D.约为5.5kw•h

【答案】 D  

【考点】简单随机抽样   

【解析】【解答】解：由简单随机抽样的估计功能知，5.5为样本的平均数，我们只能用它来估计总体的平均数,得到的数据不是准确值，总体的平均数应该为5.5左右.
故答案为：D.
【分析】根据简单随机抽样求解即可.

5.已知复数 满足 ，则 （    ）           

A.1
B.2
C.
D.

【答案】 A  

【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模   

【解析】【解答】解：由题意得  ， 则|z|=1
故答案为：A
【分析】根据复数的运算，结合复数的模求解即可.

6.设 ， 为两条不重合的直线， ， 为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ）           

A.若 ， ，则
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ， ，则

【答案】 D  

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面垂直的性质   

【解析】【解答】解：对于A， 若    ，     ， 则  或a,b相交或a,b异面，故A错误；
对于B，根据平面与平面垂直的性质定理得， 若    ，     ，     ， 则  或或b,β相交，故B错误；
对于C， 若    ，     ，     ， 则  或a,b异面，故C错误；
对于D，根据平面与平面垂直的性质定理，结合两直线间的关系易知D正确
故答案为：D
【分析】根据两直线间的关系可判断ACD，根据平面与平面垂直的性质定理可判断B.

7.下列命题是假命题的是（    ）           

A.数据1，2，3，3，4，5的众数、中位数相同
B.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，这两组数据中较稳定的是乙
C.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的第85百分位数为5
D.对一组数据 ，如果将它们变为 ，其中 ，则平均数和标准差均发生改变．

【答案】 D  

【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差   

【解析】【解答】解：对于A，根据众数、中位数的定义易知众数、中位数均为3，故A正确；
对于B，乙的平均数为  ， 则方差为  ， 则这两组数据中较稳定的是乙，故B正确；
对于C，将该组数据从小到大排列：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，由10×85%=8.5，则该组数据的85%分位数为5，故C正确；
对于D，根据平均数和标准差的定义易知，对原数据变为Xi+C，平均数发生改变，标准差没变，故D错误.
故答案为：D
【分析】根据众数、中位数的定义可判断A，根据方差的定义可判断B，根据分位数的定义可判断C，根据平均数和标准差的定义可判断D.

8.设 为平面内一个基底，已知向量 ， ， ，若 ， ， 三点共线，则 的值是（    ）           

A.2
B.3
C.-2
D.-3

【答案】 A  

【考点】向量的共线定理，向量的线性运算性质及几何意义   

【解析】【解答】解：由题意得
又    ，     ，   三点共线，
则共线
则
即
则
则k=2
故答案为：A
【分析】根据平面向量的线性运算，根据共线向量的充要条件求解即可.

9.已知正三棱锥 的底面边长为6，点 到底面 的距离为3，则三棱锥的表面积是（    ）           

A.
B.
C.
D.

【答案】 C  

【考点】棱锥的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积   

【解析】【解答】解：由题意作出图形如图，因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，
取BC的中点F，连DF，PF，则DF⊥BC，PF⊥BC.

在△PDF中，PD=3，  ，
所以
则这个正三棱锥的侧面积S侧=
底面积
则表面积为S侧+S底=
故答案为：C
【分析】根据正三棱锥的几何特征，结合正三棱锥的表面积公式求解即可.

10.从集合{3，4，6}中随机地取一个数a  ， 从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数b  ， 则向量 与向量 垂直的概率为（    ）           

A.
B.
C.
D.

【答案】 B  

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系   

【解析】【解答】解：从集合{0,1,2,3} 中随机地取一个数a , 从集合{3,4,6}中随机地取一个数b ,
基本事件总数N=4x3=12 .
记事件A： ,
当向量与向量垂直吋，
则事件A包含的基本事件有: (2,4)、(3,6)  ,共2个，
因此，P(A)=
故答案为：B
【分析】根据古典概型，结合向量垂直的充要条件求解即可.

11.在四边形ABCD中, ,则四边形ABCD的面积为（    ）           

A.
B.
C.5
D.10

【答案】 C  

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，三角形中的几何计算   

【解析】【解答】解：∵
∴
又
∴
故答案为：C
【分析】根据向量垂直的充要条件，结合直角三角形的面积求解即可.

12.如图，空间几何体 ，是由两个棱长为 的正三棱柱组成，则直线 和 所成的角的余弦值为（    ） 

A.
B.
C.
D.  

【答案】 D  

【考点】异面直线及其所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离   

【解析】【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，

取CF中点M,连接BM，由正三棱锥的性质可知BM⊥平面CFGH，且  ，
则  ， ∴,G(0,0,a),
又DE⊥平面HCD，则∴
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据异面直线所成的角，运用向量法求解即可.

二、填空题：每小题4分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．

13.若向量 ， ，且 ，则 的值是________．   

【答案】

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示   

【解析】【解答】解：∵    ，     ， 且    ，
∴1×2-2x×(-2)=0
解得 
故答案为：
【分析】根据向量平行的充要条件求解即可.

14.已知复数 满足 ，则 的最小值为________．   

【答案】 3  

【考点】复数的代数表示法及其几何意义，两点间的距离公式   

【解析】【解答】解：设z=a+bi，则a2+b2=4,
则z-3-4i=a-3+(b-4)i
则
则的最小值即求点（3,4）到圆a2+b2=4上一点(a,b)的最小距离  ，
故答案为：3
【分析】根据复数的运算，结合复数的几何意义以及两点间的距离公式求解即可.

15.已知三棱锥 ， 底面 ， ， ， ， ，则三   棱锥 的外接球表面积为________．   

【答案】 50π  

【考点】棱锥的结构特征，球的体积和表面积   

【解析】【解答】解：∵     ，     ，  
∴Rt△BCD的外接圆半径为r=
又∵  底面  ，   ，
∴h= 
设外接球半径为R，
则
则外接球表面积为S=4πR2=50π
故答案为：50π

【分析】根据直三棱锥的几何特征，结合球的表面积公式求解即可

16.如图，已知为 平面直角坐标系的原点， ， ．则向量 在向量 上的投影向量为________． 

【答案】 （写 亦可）．  

【考点】平面向量的坐标运算，向量的投影   

【解析】【解答】解：由题意得
则
则向量  在向量  上的投影为
则向量  在向量  上的投影向量为(-1)·(1,0)=(-1,0)
故答案为：(-1,0)
【分析】根据平面向量的坐标运算，结合投影以及投影向量的定义求解即可

17.在 中，已知 ， ， ， ， ， 与 交于点 ，则 的余弦值是________．   

【答案】 0  

【考点】向量数乘的运算及其几何意义，平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系   

【解析】【解答】解：如图，以点A为原点，AC为x轴建立平面直角坐标系，


由题意得
设点M为(x1,y1)
则
则由 得 ，
则  ， 解得
则点M为
则
则
又由题意知∠MPN是所成角
则∠MPN=90°
则cos∠MPN=0
故答案为：0
【分析】根据平面向量的坐标运算，结合向量的数乘运算，以及向量的数量积，向量的夹角求解即可

三、解答题：本大题共5题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．

18.  2021年4月30日，马鞍山市采石矶5A级旅游景区揭牌．为了更好的提高景区服务质量，景区管理部门对不同年龄层次的入园游客进行随机调查，收集数据如下：

假设所有被调查游客的评价相互独立．

（1）求此次调查的好评率．

（2）若从所有评价为好评的被调查游客中随机选择1人，求这人是老年组的概率.   

【答案】 （1）好评率是
（2）在所有评价为好评的青少年组人数为7人，中年组人数为12人，老年组人数为9人，此人是老年组的概率是 .  

【考点】分层抽样方法，众数、中位数、平均数   

【解析】【分析】（1）根据平均数的解法直接求解即可；

（2）根据分层抽样直接求解即可.

19.已知 ， ， .   

（1）求 与 的夹角 ；   

（2）求 ．   

【答案】 （1） ， 

∴ =60°

（2）∵  = =16+4×6+4×9=76， 

∴ .

【考点】向量的模，数量积表示两个向量的夹角   

【解析】【分析】（1）根据向量的夹角公式求解即可；
（2）根据向量的数量积，结合向量的模求解即可.

20.已知四棱锥 ，底面 是菱形， ， 底面 ，且 ，点 是棱 和 的中点． 

（1）求证： 平面 ；   

（2）求三棱锥 的体积．   

【答案】 （1）证明：取 的中点 ，连接 、 . 

∵  ， 分别为 ， 的中点，

∴  ∥ ， = .

又∵ 是 的中点，

∴  ∥ ， = .

∴  ∥ ， = .

∴ 四边形 为平行四边形.

∴ ∥ .

又∵ 面 ， 面

∴ ∥面 .

（2）解：∵ ⊥底面 ， 

∴ 点到底面 的距离为1.

易知 = ，

∴ = .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，直线与平面平行的性质   

【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判断定理求证即可；

（2）根据三棱锥的体积公式求解即可.

21.在 中，角 所对的边分别为 .   

（1）证明： ；   

（2）若 ， ，   求 的周长.   

【答案】 （1）证明：△ 中由余弦定理得 = = = . 

∴ 原等式成立. (由正弦定理证明亦可)

（2）解：由 可得 ， 

由（1）知  = ，

∴  ，

∴  .    

∴  .

又∵ =7,  =5, 

∴  ，得 =8或-3（舍去）

∴  =8.

∴△ 的周长为a+b+c=20.

【考点】余弦定理的应用，一元二次方程   

【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解即可；

（2）根据余弦定理，结合一元二次方程的解法求解即可.

22.如图，在正方体 中， ， ， ， 是所在棱的中点． 

（1）证明： 平面 ；   

（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．   

【答案】 （1）证明：在正方体 中， 

⊥面 ，∴ ⊥ .

∵ 在侧面 中，易知 ⊥ ，

∴ ⊥面 .

（2）解： 连接 ，交 于 ， 交 于 ，连接 ，由 知 共面，设 . 

由（1）知 ⊥面 ，

∴  为 在平面 内的射影

∴ ∠ 为 与平面 所成的角.

△ 中， = ， = ，

∴   ∠ = = = .

【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角   

【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的性质定理以及判定定理求证即可；

（2）根据直线与平面所成角的定义，运用几何法求解即可.