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2021【KS5U解析】潍坊高一下学期期末考试数学试卷含解析
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这是一份2021【KS5U解析】潍坊高一下学期期末考试数学试卷含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省潍坊市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)
1.已知角 α 的终边经过点 P(3,-4) ，则 tanα= （ ）
A. -34 B. -43 C. -45 D. -54
2.在复平面内，若复数 z=3-2i （其中 i 是虚数单位），则复数 z 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 y=Asinωt （其中 A>0 ， t 表示时间， y 表示纯音振动时音叉的位移）．图2是该函数在一个周期内的图像，根据图中数据可确定 A 和 ω 的值分别为（ ）
A. 1500 和 800π B. 1500 和 400π C. 11000 和 800π D. 11000 和 400π
4.若 a=sinπ12 ， b=log2(sinπ12) ， c=tanπ12 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（ ）
A. a
A. 322 B. 32 C. 42 D. 52
6.设 α 为锐角，若 cos(α+π4)=12 ，则 tanα= （ ）
A. 6-2 B. 6+2 C. 2-3 D. 2+3
7.南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S=14[c2a2-(c2+a2-b22)2] ，其中 a 、 b 、 c 是 △ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边．若 ac=4 ， B=60∘ ，则 △ABC 的面积为（ ）
A. 3 B. 22 C. 4 D. 42
8.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 400 米，一艘船从河岸的 A 地出发，向河对岸航行．已知船的速度 v1 的大小为 |v1|=8km/h ，水流速度 v2 的大小为 |v2|=2km/h ，船的速度与水流速度的合速度为 v ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A. 船头方向与水流方向垂直 B. cos=-14
C. |v|=217km/h D. 该船到达对岸所需时间为 3 分钟
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”．若复数 z=a+i （ a∈R ， i 为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（ ）
A. a=1 B. |z|=1 C. z=1-i D. 复数 (a-1)+(a2-1)i 是纯虚数
10.如图，若 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 为正六棱台，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 AB 与 C1D1 是异面直线
B. 直线 AB 与 D1E1 平行
C. 线段 BB1 与 FF1 的延长线相交于一点
D. 点 F1 到底面 ABCDEF 的距离大于点 B1 到底面 ABCDEF 的距离
11.如图，已知点 G 是边长为1的等边 △ABC 内一点，满足 GA+GB+GC=0 ，过点 G 的直线 l 分别交 AB ， AC 于点 D ， E ．设 AD=λAB ， AE=μAC ，则下列说法正确的是（ ）
A. AG=13AB+14AC B. 点 G 为 △ABC 的重心 C. 1λ+1μ=2 D. |AG|=33
12.已知函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2) 满足 f(5π8-x)=f(5π8+x) ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 y=f(x) 的最小正周期为 π
B. 函数 f(x) 的图像向右平移 π6 个单位得到函数 g(x)=sin(2x-π12) 的图像
C. 若 ω>0 时，函数 f(ωx) 在区间 [π2,π] 上单调递减，则实数 ω 的取值范围是 (0,18]
D. 函数 y=f(x)+f(2x-π8) 的值域为 [-98,2]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知 a=(1,m) ， b=(3,-2) ， a⊥b ，则 m= ________.
14.能够说明“设 α∈(0,π) ， β∈(0,π) ，若 α>β ，则 sinα>sinβ ”是假命题的一组角 α ， β 的值依次为________．
15.如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C 与 D ．现测得 ∠BCD=75° ， ∠BDC=60° ， CD=102m ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角 θ 为 30° ，则塔高 AB 为________m．
16.如图，已知圆锥 PO 的底面半径 OA 的长度为1，母线 PA 的长度为2，半径为 R1 的球 O1 与圆锥的侧面相切，并与底面相切于点 O ，则 R1= ________；若球 O2 与球 O1 、圆锥的底面和侧面均相切，则球 O2 的表面积为________．
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.已知复数 z1=1+i ， z2=3+4i ．
（1）求 z1+z2 和 z1z2 的值；
（2）若 z1=1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 的一个根，求实数 m ， n 的值．
18.在 △ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，_______________，
从① (b+c)2-a2=3bc ，② asinB=bsin(A+π3) 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 b=4 ， △ABC 的面积 S=63 ，求 △ABC 的周长．
19.某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 S-ABCD 的高是长方体 ABCD-A1B1C1D1 高的 12 ，且底面正方形 ABCD 的边长为4， AA1=2 ．
（1）求 AC1 的长及该长方体的外接球的体积；
（2）求正四棱锥的斜高和体积．
20.在 △ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边， b=26 ， 3sinB-2cos2B2=1 ．
（1）求角 B 的大小及 △ABC 外接圆的半径 R 的值；
（2）若 AD 是 ∠BAC 的内角平分线，当 △ABC 面积最大时，求 AD 的长．
21.如图1，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB=BC=5k ， AC=8k ， AA1=2k(k>0) ， D ， D1 分别为 AC ， A1C1 的中点，平面 BB1D1D 将三棱柱分成两个新的直三棱柱（如图2，3所示）．
（1）若两个新直三棱柱的表面积之和为72，求实数 k 的值；
（2）将图2和图3两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于132，求实数 k 的取值范围．
22.已知向量 m=(sin2x,cos2x) ， n=(32,12) ，函数 f(x)=m⋅n ．
（1）求函数 f(x) 的解析式和单调递增区间；
（2）若 a ， b ， c 分别为 △ABC 三个内角 A ， B ， C 的对边， f(A)=1 ， b=2 ， a∈[12,52] ，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
（3）若 x∈[-π6,2π6] 时，关于 x 的方程 f(x+π6)+(λ+1)sinx=λ 恰有三个不同的实根 x1 ， x2 ， x3 ，求实数 λ 的取值范围及 x1+x2+x3 的值．
答案解析部分
一、单选题
1.已知角 α 的终边经过点 P(3,-4) ，则 tanα= （ ）
A. -34 B. -43 C. -45 D. -54
【答案】 B
【考点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为角 α 的终边经过点 P(3,-4) ，
所以 tanα=yx=-43=-43 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正切函数的定义，从而求出角 α 的正切值。
2.在复平面内，若复数 z=3-2i （其中 i 是虚数单位），则复数 z 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】根据复数的几何意义，可得复数 z=3-2i 在复平面内对应的点为 (3,-2) ，位于第四象限。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数z的几何意义，从而求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限。
3.敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 y=Asinωt （其中 A>0 ， t 表示时间， y 表示纯音振动时音叉的位移）．图2是该函数在一个周期内的图像，根据图中数据可确定 A 和 ω 的值分别为（ ）
A. 1500 和 800π B. 1500 和 400π C. 11000 和 800π D. 11000 和 400π
【答案】 D
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【解答】解：由题意得A=11000 ， T4=1800
则T=1200
则ω=2πT=400π.
故答案为：D
【分析】根据函数y=Asinωx+φ的图象与性质求解即可.
4.若 a=sinπ12 ， b=log2(sinπ12) ， c=tanπ12 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（ ）
A. a
【考点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ∵a=sinπ12∈(0,1) ，则 b=log2(sinπ12)<0 ，
因为 cosπ12∈(0,1) ，故 c=tanπ12=sinπ12cosπ12>sinπ12=a ，故 b
【分析】利用正弦函数的图像、余弦函数的图像、同角三角函数基本关系式和对数函数的单调性，从而比较出a,b,c的大小。
5.已知水平放置的四边形 OABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 O'A'//B'C' ， ∠O'A'B'=90° ， O'A'=1 ， B'C'=2 ，则原四边形 OABC 的面积为（ ）
A. 322 B. 32 C. 42 D. 52
【答案】 B
【考点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】根据直观图知 SO'A'B'C'=12×(1+2)×1=32 ，
又因为 SOABCSO'A'B'C'=124 ，
所以 SOABC=SO'A'B'C'24=3224=32 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的方法，从而利用三角形的面积和直角梯形的面积的关系，从而求出原四边形 OABC 的面积。
6.设 α 为锐角，若 cos(α+π4)=12 ，则 tanα= （ ）
A. 6-2 B. 6+2 C. 2-3 D. 2+3
【答案】 C
【考点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为 0<α<π2 ，可得 π4<α+π4<3π4 ，
由 cos(α+π4)=12 ，所以 α+π4=π3 ，可得 α=π12 ，
所以 tanα=tanπ12=tan(π3-π4)=tanπ3-tanπ41+tanπ3tanπ4=3-11+3=2-3 。
故答案为：C.
【分析】因为 0<α<π2 ，可得 π4<α+π4<3π4 ，由 cos(α+π4)=12 ，可得 α=π12 ，再利用两角差的正切公式，从而求出tanα的值。
7.南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S=14[c2a2-(c2+a2-b22)2] ，其中 a 、 b 、 c 是 △ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边．若 ac=4 ， B=60∘ ，则 △ABC 的面积为（ ）
A. 3 B. 22 C. 4 D. 42
【答案】 A
【考点】余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】由余弦定理可得 cosB=c2+a2-b22ac ，所以， c2+a2-b2=2accosB ，
所以， S=14[c2a2-(c2+a2-b22)2]=12c2a2-(accosB)2=12acsinB=12×4×32=3 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合余弦定理得出c2+a2-b2=2accosB ， 再利用 计算三角形面积的“三斜求积术”， 从而求出三角形 △ABC 的面积 。
8.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 400 米，一艘船从河岸的 A 地出发，向河对岸航行．已知船的速度 v1 的大小为 |v1|=8km/h ，水流速度 v2 的大小为 |v2|=2km/h ，船的速度与水流速度的合速度为 v ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A. 船头方向与水流方向垂直 B. cos=-14
C. |v|=217km/h D. 该船到达对岸所需时间为 3 分钟
【答案】 B
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由题意可知， v=v1+v2 ，当船的航程最短时， v⊥v2 ，而船头的方向与 v1 同向，
由 v⋅v2=(v1+v2)⋅v2=v1⋅v2+v22=0 ，可得 v1⋅v2=-v22=-4 ， cos=v1⋅v2|v1|⋅|v2|=-14 ，A选项错误，B选项正确；
|v|=|v1+v2|=(v1+v2)2=v12+2v1⋅v2+v22=4-2×4+64=215(kmh) ，C选项错误；
该船到达对岸所需时间为 60×0.4215=4155 （分钟），D选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和数量积求向量夹角公式，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的定义，从而找出说法正确的选项。
二、多选题
9.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”．若复数 z=a+i （ a∈R ， i 为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（ ）
A. a=1 B. |z|=1 C. z=1-i D. 复数 (a-1)+(a2-1)i 是纯虚数
【答案】 A,C
【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数求模
【解析】【解答】因为复数 z=a+i （ a∈R ， i 为虚数单位）为“等部复数”，
根据“等部复数”的定义，可得 a=1 ，即 z=1+i ，所以 A符合题意；
由 |z|=12+12=2 ，所以B不正确；
由 z=1+i ，可得 z=1-i ，所以C符合题意；
由 (a-1)+(a2-1)i=(1-1)+(12-1)i=0 ，所以D不正确.
故答案为：AC.
【分析】利用 “等部复数” 的定义求出a的值；再利用复数求模公式求出复数的模；再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数；再结合复数为纯虚数的判断方法，从而选出说法正确的选项。
10.如图，若 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 为正六棱台，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 AB 与 C1D1 是异面直线
B. 直线 AB 与 D1E1 平行
C. 线段 BB1 与 FF1 的延长线相交于一点
D. 点 F1 到底面 ABCDEF 的距离大于点 B1 到底面 ABCDEF 的距离
【答案】 A,B,C
【考点】异面直线的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：若 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 为正六棱台，
对于A，由不共线的三点 A,B,C1 共面， D1 不在这个面内，故直线 AB 与 C1D1 是异面直线，正确；
对于B，因为直线 AB 与 DE 平行，直线 DE 与 D1E1 平行，则直线 AB 与 D1E1 平行，B符合题意；
对于C，因为 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 为正六棱台，则侧棱 BB1 与 FF1 的延长线相交于一点，正确；
对于D，点 F1 到底面 ABCDEF 的距离和点 B1 到底面 ABCDEF 的距离都等于棱台的高，故应该相等，D不符合题意；
故答案为：ABC.
【分析】利用正六棱台的结构特征结合已知条件，再利用异面直线的判断方法、两直线平行的判断方法、 点到平面的距离求解方法和比较法，从而找出说法正确的选项。
11.如图，已知点 G 是边长为1的等边 △ABC 内一点，满足 GA+GB+GC=0 ，过点 G 的直线 l 分别交 AB ， AC 于点 D ， E ．设 AD=λAB ， AE=μAC ，则下列说法正确的是（ ）
A. AG=13AB+14AC B. 点 G 为 △ABC 的重心 C. 1λ+1μ=2 D. |AG|=33
【答案】 B,D
【考点】向量的模，平面向量的基本定理及其意义，三点共线，三角形五心
【解析】【解答】解：取 AB 的中点 M ， BC 的中点 N ，
则 GA+GB=2GD ，
∵GA+GB+GC=0 ， ∴GC=-2GM ，
∴C ， M ， G 三点共线，
同理 A ， G ， N 三点共线，
∴G 是 ΔABC 的重心，
B符合题意；
∴AN=32AG ，
∴AB+AC=2AN=3AG ，即 AG=13AB+13AC ，
A不符合题意；
所以 |AG|=23|AN|=23×32=33 ，
D符合题意；
因为 AD=λAB ， AE=μAC ，
所以 AB=1λAD ， AC=1μAE ，
所以 AG=13AB+13AC=13λAD+13μAE ，
又因 D,G,E 三点共线，
所以 13λ+13μ=1 ，所以 1λ+1μ=3 ，
C不符合题意.
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合等边三角形的结构特征，再利用向量共线定理和平面向量基本定理，推出 AG=13AB+13AC ；再利用重心的定义推出点 G 为 △ABC 的重心 ；再结合三点共线的判断方法，从而推出1λ+1μ=3；再结合向量的模求解方法，从而求出|AG→|=33 ，进而找出说法正确的选项。
12.已知函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2) 满足 f(5π8-x)=f(5π8+x) ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 y=f(x) 的最小正周期为 π
B. 函数 f(x) 的图像向右平移 π6 个单位得到函数 g(x)=sin(2x-π12) 的图像
C. 若 ω>0 时，函数 f(ωx) 在区间 [π2,π] 上单调递减，则实数 ω 的取值范围是 (0,18]
D. 函数 y=f(x)+f(2x-π8) 的值域为 [-98,2]
【答案】 A,B,D
【考点】函数的值域，函数单调性的性质，三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意，函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2) 满足 f(5π8-x)=f(5π8+x) ，
即函数 f(x) 的图象关于 x=5π8 对称，可得 f(x)=sin(2×5π8+φ)=±1 ，
解得 5π4+φ=π2+kπ,k∈Z ，即 φ=-3π4+kπ,k∈Z ，
因为 |φ|<π2 ，可得 φ=π4 ，所以 f(x)=sin(2x+π4) ，
可得函数 f(x) 的最小正周期为 T=2π2=π ，所以A符合题意；
函数 f(x) 的图像向右平移 π6 个单位，可得函数 g(x)=sin[2(x-π6)+π4]=sin(2x-π12) ，所以B符合题意；
由 ω=18 时，可得函数 f(18x)=sin(14x+π4)
当 x∈[π2,π] 时，可得 14x∈[π8,π4] ，则 14x+π4∈[3π8,π2] ，
因为函数 f(18x)=sin(14x+π4) 在区间 [π2,π] 上单调递增，，所以C不符合题意；
由 y=f(x)+f(2x-π8)=sin(2x+π4)+sin[2×(2x-π8)+π4]=sin(2x+π4)+sin(4x)
=22(sin2x+cos2x)+2sin2xcos2x ，
令 t=sin2x+cos2x∈[-2,2] ，则 2sin2xcos2x=t2-1 ，
所以 y=t2+22t-1 ，表示开口向上，且对称轴为 t=-24 的抛物线，
当 t=-24 时，可得 ymin=-98 ；当 t=2 时，可得 ymax=2 ，
即函数 y=f(x)+f(2x-π8) 的值域为 [-98,2] 。
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合代入法，从而求出φ的值，进而求出正弦型函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出正弦型函数的最小正周期；再利用正弦型函数的图象变换得出函数 f(x) 的图像向右平移 π6 个单位得到函数 g(x)=sin(2x-π12) 的图像；再利用已知条件结合函数的单调性，从而利用已知条件函数 f(ωx) 在区间 [π2,π] 上单调递减，进而求出实数 ω 的取值范围；再利用函数求值域的方法求出函数 y=f(x)+f(2x-π8) 的值域为 [-98,2] ， 进而找出说法正确的选项。
三、填空题
13.已知 a=(1,m) ， b=(3,-2) ， a⊥b ，则 m= ________.
【答案】32
【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题 a=(1,m) ， b=(3,-2) ， a⊥b ，则 3-2m=0，∴m=32。
故答案为： 32。
【分析】利用已知条件结合向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出m的值。
14.能够说明“设 α∈(0,π) ， β∈(0,π) ，若 α>β ，则 sinα>sinβ ”是假命题的一组角 α ， β 的值依次为________．
【答案】56π ； π3 （答案不唯一）
【考点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：因为 α∈(0,π) ， β∈(0,π) ，且 α>β ，如 α=56π ； β=π3 ，满足 α>β ，但是 sinα=sin56π=12 ， sinβ=sinπ3=32 ，不满足 sinα>sinβ 。
故答案为： 56π ； π3 （答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合命题真假的判断方法，从而得出一组角 α ， β 的值。
15.如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C 与 D ．现测得 ∠BCD=75° ， ∠BDC=60° ， CD=102m ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角 θ 为 30° ，则塔高 AB 为________m．
【答案】 10
【考点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在 △BCD 中，因为 ∠BCD=75° ， ∠BDC=60° ，可得 ∠CBD=180∘-75∘-60∘=45∘ ，
由正弦定理，可得 BC=102sin60∘sin45∘=103 ，
在直角 Rt△ABC 中，可得 AB=BCtan∠ABC=103×33=10 ，
即塔高 AB 为 10(m) 。
故答案为：10。
【分析】利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质，从而求出∠CBD的值，再利用正弦定理求出BC的长，在直角 Rt△ABC 中结合正切函数的定义，从而求出塔高AB的长。
16.如图，已知圆锥 PO 的底面半径 OA 的长度为1，母线 PA 的长度为2，半径为 R1 的球 O1 与圆锥的侧面相切，并与底面相切于点 O ，则 R1= ________；若球 O2 与球 O1 、圆锥的底面和侧面均相切，则球 O2 的表面积为________．
【答案】33；427π
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积
【解析】【解答】解：该几何体的轴截面如图所示，
由题意可知 △PAB 为等边三角形，且边长为2，圆 O1 与三角形的三边都相切，圆 O1 的半径等于球 O1 的半径为 R1 ，则
12(2+2+2)R1=12×2×2sin60° ，解得 R1=33 ，
因为 ∠O1AO=30° ，
所以 AO2=2O2C=2R2,AO1=2OO1=2R1 ，
因为 AO1=AO2+O2O1 ，
所以 2R1=2R2+R2+R1 ，所以 R2=13R1=39 ，
所以球 O2 的表面积为 4πR22=4π(39)2=427π 。
故答案为： 33 ， 427π。
【分析】由题意可知三角形 △PAB 为等边三角形，且边长为2，圆 O1 与三角形的三边都相切，圆 O1 的半径等于球 O1 的半径为 R1 ，再利用两三角形面积相等结合三角形的面积公式，解得 R1=33 ，因为 ∠O1AO=30° ，所以 AO2=2O2C=2R2,AO1=2OO1=2R1 ，因为 AO1=AO2+O2O1 ，所以 2R1=2R2+R2+R1 ，所以 R2=13R1=39 ，再利用球的表面积公式，从而求出球 O2 的表面积 。
四、解答题
17.已知复数 z1=1+i ， z2=3+4i ．
（1）求 z1+z2 和 z1z2 的值；
（2）若 z1=1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 的一个根，求实数 m ， n 的值．
【答案】 （1）由题意，复数 z1=1+i ， z2=3+4i ．
所以 z1+z2=1+i+3+4i=4+5i ，
z1z2=(1+i)(3+4i)=3+4i+3i+4i2=-1+7i ．
（2）因为 z1=1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 的一个根，
所以 (1+i)2+m(1+i)+n=0 ，整理得 (m+n)+(m+2)i=0 ，
可得 {m+n=0m+2=0 ，解得 {m=-2n=2 ，所以 m=-2 ， n=2 ．
【考点】复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算，复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的加法和乘法运算法则，从而求出 z1+z2 和 z1z2 的值。
（2）利用 z1=1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 的一个根结合代入法和复数的混合运算法则，再利用复数相等的等价关系，从而求出m,n的值。
18.在 △ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，_______________，
从① (b+c)2-a2=3bc ，② asinB=bsin(A+π3) 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 b=4 ， △ABC 的面积 S=63 ，求 △ABC 的周长．
【答案】 （1）选①： ∵(b+c)2-a2=3bc ， ∴b2+c2-a2=bc ， ∴cosA=b2+c2-a22bc=12 ，
∵A∈(0,π) ， ∴A=π3 ；
选②：由正弦定理得： sinAsinB=sinBsin(A+π3) ，
在 △ABC 中， ∵0
∵A∈(0,π) ， ∴A=π3 ；
（2）由（1）知 A=π3 ， b=4 ， S△ABC=12bcsinA=3c=63 ， ∴c=6 ，
由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=16+36-2×4×6×12=28 ，则 a=27 ，
因此， △ABC 的周长为 a+b+c=10+27 ．
【考点】同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 从① (b+c)2-a2=3bc ，② asinB=bsin(A+π3) 这两个条件中任选一个，补充在问题中并作答。 选①：利用已知条件结合余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值。
选②：利用已知条件结合正弦定理得出sinAsinB=sinBsin(A+π3) ，在 △ABC 中，因为 0
19.某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 S-ABCD 的高是长方体 ABCD-A1B1C1D1 高的 12 ，且底面正方形 ABCD 的边长为4， AA1=2 ．
（1）求 AC1 的长及该长方体的外接球的体积；
（2）求正四棱锥的斜高和体积．
【答案】 （1）∵几何体 ABCD-A1B1C1D1 为长方体且 AB=BC=4 ， AA1=2 ，
∴ AC1=AB2+BC2+AA12=42+42+22=6 ，
记长方体外接球的半径为 R ，线段 AC1 就是其外接球直径，
则 2R=6 ，∴ R=3 ，∴外接球的体积为 V=43π×33=36π ．
（2）如图，设 AC ， BD 交于点 O ，连结 SO ，则 SO 为正四棱锥的高，
∵ S-ABCD 为正四棱锥，∴ SO 为正四棱锥的高，
又长方体的高为 AA1=2 ，∴ SO=12×2=1 ，
取 AB 的中点 E ，连结 OE 、 SE ，则 SE 为正四棱锥的斜高，
在 Rt△SOE 中， SO=1 ， OE=12AD=2 ，∴ SE=SO2+OE2=1+4=5 ，
∵ SABCD=4×4=16 ， SO=1 ，∴ VS-ABCD=13SABCD×SO=13×16×1=163 ，
∴正四棱锥的斜高为 5 ，体积为 163 ．
【考点】棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积
【解析】【分析】（1）因为几何体 ABCD-A1B1C1D1 为长方体且 AB=BC=4 ， AA1=2 ，再利用勾股定理求出长方体的体对角线的长，进而求出 AC1 的长；记长方体外接球的半径为 R ，线段 AC1 就是其外接球直径，从而求出外接球的直径，进而求出外接球的半径，再利用外接球的体积公式，从而求出该长方体的外接球的体积。
（2） 设 AC ， BD 交于点 O ，连结 SO ，则 SO 为正四棱锥的高，因为 S-ABCD 为正四棱锥，所以SO 为正四棱锥的高，又因为长方体的高为 AA1=2 ，所以利用中点的性质求出SO=12×2=1 ，取 AB 的中点 E ，连结 OE 、 SE ，则 SE 为正四棱锥的斜高，在 Rt△SOE 中， SO=1 ， OE=12AD=2 ，利用勾股定理求出SE 的长，再利用四边形的面积公式结合四棱锥的体积公式，从而求出正四棱锥的斜高为 5 ，体积为 163。
20.在 △ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边， b=26 ， 3sinB-2cos2B2=1 ．
（1）求角 B 的大小及 △ABC 外接圆的半径 R 的值；
（2）若 AD 是 ∠BAC 的内角平分线，当 △ABC 面积最大时，求 AD 的长．
【答案】 （1）由 3sinB-2cos2B2=1 ，得 3sinB-cosB=2 ，
∴ 2(32sinB-12cosB)=2 ，∴ sin(B-π6)=1 ，
∵ 0
（2）在 △ABC 中，由余弦定理得， b2=a2+c2-2accos2π3=a2+c2+ac=24 ，
∴ 24≥2ac+ac=3ac ，∴ ac≤8 ，当且仅当 a=c=22 时等号成立．
此时 S△ABC 最大，且 △ABC 为等腰三角形， ∠BAC=π6 ，∴ ∠BAD=π12 ， ∠ADB=π4 ，
在 △ABD 中，由正弦定理得： ADsin2π3=ABsinπ4 ，∴ AD=22sin2π3sinπ4=23 ．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，二倍角的余弦公式，正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简函数为正弦型函数，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值，再结合正弦定理的性质，从而求出三角形 △ABC 外接圆的半径 R 的值。
（2） 在 △ABC 中，由余弦定理和均值不等式求最值的方法得出ac≤8 ，当且仅当 a=c=22 时等号成立，此时 S△ABC 最大，且 △ABC 为等腰三角形， ∠BAC=π6 ，所以∠BAD=π12 ， ∠ADB=π4 ，在 △ABD 中，由正弦定理求出AD的长。
21.如图1，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB=BC=5k ， AC=8k ， AA1=2k(k>0) ， D ， D1 分别为 AC ， A1C1 的中点，平面 BB1D1D 将三棱柱分成两个新的直三棱柱（如图2，3所示）．
（1）若两个新直三棱柱的表面积之和为72，求实数 k 的值；
（2）将图2和图3两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于132，求实数 k 的取值范围．
【答案】 （1）解：∵ AB=BC ， D 为 AC 的中点，∴ BD⊥AC ，
又 AB=BC=5k ， AC=8k ，∴ BD=3k ，
易知三棱柱被平面 BB1D1D 分割成两个相同的直三棱柱，
每个直三棱柱的表面积为： 12×3k×4k+(3k+4k+5k)×2k=12k2+24 ，
∴两个新直三棱柱的表面积之和 S=24k2+48=72 ，解得： k=1 ．
（2）由题可知：图2、图3的两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱时，共有4种可能的情形：
①当底面是边长为 3k ， 4k 的矩形，侧棱长为 2k 的直四棱柱时，
表面积 S1=2×3k×4k+(3k+4k)×2×2k=24k2+28 ，
②当底面是边长为 5k ， 4k 的平行四边形，侧棱长为 2k 的直四棱柱时，
表面积 S2=2×3k×4k+(5k+4k)×2×2k=24k2+36 ，
③当底面是边长为 5k ， 3k 的平行四边形，侧棱长为 2k 的直四棱柱时，
表面积 S3=2×3k×4k+(5k+3k)×2×2k=24k2+32 ，
④当底面是边长为 3k ， 4k 的四边形（非矩形），侧棱长为 2k 的直四棱柱时，
表面积 S4=2×3k×4k+(3k+4k)×2×2k=24k2+28 ，
由上可知：表面积的最大值为 24k2+36 ，由题意得： 24k2+36<132 ，解得： 0
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】（1） 因为 AB=BC ， D 为 AC 的中点，再利用等腰三角形三线合一推出线线垂直，所以 BD⊥AC ，又因为 AB=BC=5k ， AC=8k ，所以BD=3k ，易知三棱柱被平面 BB1D1D 分割成两个相同的直三棱柱，再利用直三棱柱的表面积公式结合求和法和已知条件，从而求出k的值。
（2） 由题可知，图2、图3的两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱时，共有4种可能的情形，再利用分类讨论的方法结合直四棱柱的表面积公式，从而得出表面积的最大值为 24k2+36 ，由题意得 24k2+36<132 ，再解一元二次不等式求出实数 k 的取值范围。
22.已知向量 m=(sin2x,cos2x) ， n=(32,12) ，函数 f(x)=m⋅n ．
（1）求函数 f(x) 的解析式和单调递增区间；
（2）若 a ， b ， c 分别为 △ABC 三个内角 A ， B ， C 的对边， f(A)=1 ， b=2 ， a∈[12,52] ，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
（3）若 x∈[-π6,2π6] 时，关于 x 的方程 f(x+π6)+(λ+1)sinx=λ 恰有三个不同的实根 x1 ， x2 ， x3 ，求实数 λ 的取值范围及 x1+x2+x3 的值．
【答案】 （1）解：由题意知， f(x)=m⋅n=(sin2x,cos2x)⋅(32,12)=32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6) ，
令 -π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ ，解得： -π3+kπ≤x≤π6+kπ ，
∴ f(x) 的单调递增区间为 [-π3+kπ,π6+kπ](k∈Z) ．
（2）∵ f(A)=sin(2A+π6)=1 ，∴ 2A+π6=π2+2kπ ， k∈Z ，即 A=π6+kπ ， k∈Z ，
又∵ A∈(0,π) ，∴ A=π6 ．
假设三角形存在，由正弦定理可得， asinA=bsinB ，∴ sinB=bsinAa ，
①当 a∈[12,1) 时， sinB=1a>1 ，∵ sinB∈(0,1] ，∴三角形无解．
②当 a=1 时， sinB=1a=1 ，∴ B=π2 ，三角形有唯一解．
③当 a∈(1,2) 时， sinB=1a∈(12,1) ，此时 bsinA
④当 a∈[2,52] 时， a≥b ，∴ A≥B ，故三角形有唯一解．
综上所述，当 a∈[12,1) 时，三角形无解；当 a=1 或 a∈[2,52] 时，三角形有唯一解；
当 a∈(1,2) 时，三角形有两解．
（3）∵ f(x)=sin(2x+π6) ，
∴方程 f(x+π6)+(λ+1)sinx=λ 可化为 sin(2(x+π6)+π6)+(λ+1)sinx=λ ，
即 cos2x+(λ+1)sinx=λ ，
化简得： 2sin2x-(λ+1)sinx+λ-1=0 （*），即 (2sinx-(λ-1))(sinx-1)=0 ，
∴ sinx=1 或 sinx=λ-12 ，
又 x∈[-π6,2π3] 时，方程（*）有三个不同的实根，且当 sinx=1 时， x1=π2 ，
∴ sinx=λ-12 在 [-π6,2π3] 上有两个不同的实根为 x2 ， x3 ，
又∵ x∈[-π6,2π3] ，∴ sinx∈[32,1) ，∴ 32≤λ-12<1 ，解得： 3+1≤λ<3 ，
易知 x2 ， x3 关于 x=π2 对称，∴ x2+x32=π2 ，即 x2+x3=π ，∴ x1+x2+x3=π2+π=3π2 ．
综上所述， λ 的取值范围为 3+1≤λ<3 ， x1+x2+x3 的值为 3π2 ．
【考点】函数的单调性及单调区间，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的坐标表示和辅助角公式，从而化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图像判断出正弦型函数的单调性，进而求出正弦型函数的单调递增区间。
（2）利用已知条件结合正弦定理和分类讨论的方法，从而得出当 a∈[12,1) 时，三角形无解；当 a=1 或 a∈[2,52] 时，三角形有唯一解；当 a∈(1,2) 时，三角形有两解。
（3）因为 f(x)=sin(2x+π6) ，所以方程 f(x+π6)+(λ+1)sinx=λ 可化为 sin(2(x+π6)+π6)+(λ+1)sinx=λ ，所以sinx=1 或 sinx=λ-12 ，又因为 x∈[-π6,2π3] 时，方程（*）有三个不同的实根，且当 sinx=1 时， x1=π2 ，所以 sinx=λ-12 在 [-π6,2π3] 上有两个不同的实根为 x2 ， x3 ，又因为 x∈[-π6,2π3] ，所以sinx∈[32,1) ，∴所以 3+1≤λ<3 ，易知 x2 ， x3 关于 x=π2 对称，再利用图形的对称性，所以 x2+x3=π ，所以 x1+x2+x3=3π2 。
山东省潍坊市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)
1.已知角 α 的终边经过点 P(3,-4) ，则 tanα= （ ）
A. -34 B. -43 C. -45 D. -54
2.在复平面内，若复数 z=3-2i （其中 i 是虚数单位），则复数 z 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 y=Asinωt （其中 A>0 ， t 表示时间， y 表示纯音振动时音叉的位移）．图2是该函数在一个周期内的图像，根据图中数据可确定 A 和 ω 的值分别为（ ）
A. 1500 和 800π B. 1500 和 400π C. 11000 和 800π D. 11000 和 400π
4.若 a=sinπ12 ， b=log2(sinπ12) ， c=tanπ12 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（ ）
A. a
A. 322 B. 32 C. 42 D. 52
6.设 α 为锐角，若 cos(α+π4)=12 ，则 tanα= （ ）
A. 6-2 B. 6+2 C. 2-3 D. 2+3
7.南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S=14[c2a2-(c2+a2-b22)2] ，其中 a 、 b 、 c 是 △ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边．若 ac=4 ， B=60∘ ，则 △ABC 的面积为（ ）
A. 3 B. 22 C. 4 D. 42
8.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 400 米，一艘船从河岸的 A 地出发，向河对岸航行．已知船的速度 v1 的大小为 |v1|=8km/h ，水流速度 v2 的大小为 |v2|=2km/h ，船的速度与水流速度的合速度为 v ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A. 船头方向与水流方向垂直 B. cos
C. |v|=217km/h D. 该船到达对岸所需时间为 3 分钟
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”．若复数 z=a+i （ a∈R ， i 为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（ ）
A. a=1 B. |z|=1 C. z=1-i D. 复数 (a-1)+(a2-1)i 是纯虚数
10.如图，若 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 为正六棱台，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 AB 与 C1D1 是异面直线
B. 直线 AB 与 D1E1 平行
C. 线段 BB1 与 FF1 的延长线相交于一点
D. 点 F1 到底面 ABCDEF 的距离大于点 B1 到底面 ABCDEF 的距离
11.如图，已知点 G 是边长为1的等边 △ABC 内一点，满足 GA+GB+GC=0 ，过点 G 的直线 l 分别交 AB ， AC 于点 D ， E ．设 AD=λAB ， AE=μAC ，则下列说法正确的是（ ）
A. AG=13AB+14AC B. 点 G 为 △ABC 的重心 C. 1λ+1μ=2 D. |AG|=33
12.已知函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2) 满足 f(5π8-x)=f(5π8+x) ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 y=f(x) 的最小正周期为 π
B. 函数 f(x) 的图像向右平移 π6 个单位得到函数 g(x)=sin(2x-π12) 的图像
C. 若 ω>0 时，函数 f(ωx) 在区间 [π2,π] 上单调递减，则实数 ω 的取值范围是 (0,18]
D. 函数 y=f(x)+f(2x-π8) 的值域为 [-98,2]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知 a=(1,m) ， b=(3,-2) ， a⊥b ，则 m= ________.
14.能够说明“设 α∈(0,π) ， β∈(0,π) ，若 α>β ，则 sinα>sinβ ”是假命题的一组角 α ， β 的值依次为________．
15.如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C 与 D ．现测得 ∠BCD=75° ， ∠BDC=60° ， CD=102m ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角 θ 为 30° ，则塔高 AB 为________m．
16.如图，已知圆锥 PO 的底面半径 OA 的长度为1，母线 PA 的长度为2，半径为 R1 的球 O1 与圆锥的侧面相切，并与底面相切于点 O ，则 R1= ________；若球 O2 与球 O1 、圆锥的底面和侧面均相切，则球 O2 的表面积为________．
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.已知复数 z1=1+i ， z2=3+4i ．
（1）求 z1+z2 和 z1z2 的值；
（2）若 z1=1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 的一个根，求实数 m ， n 的值．
18.在 △ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，_______________，
从① (b+c)2-a2=3bc ，② asinB=bsin(A+π3) 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 b=4 ， △ABC 的面积 S=63 ，求 △ABC 的周长．
19.某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 S-ABCD 的高是长方体 ABCD-A1B1C1D1 高的 12 ，且底面正方形 ABCD 的边长为4， AA1=2 ．
（1）求 AC1 的长及该长方体的外接球的体积；
（2）求正四棱锥的斜高和体积．
20.在 △ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边， b=26 ， 3sinB-2cos2B2=1 ．
（1）求角 B 的大小及 △ABC 外接圆的半径 R 的值；
（2）若 AD 是 ∠BAC 的内角平分线，当 △ABC 面积最大时，求 AD 的长．
21.如图1，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB=BC=5k ， AC=8k ， AA1=2k(k>0) ， D ， D1 分别为 AC ， A1C1 的中点，平面 BB1D1D 将三棱柱分成两个新的直三棱柱（如图2，3所示）．
（1）若两个新直三棱柱的表面积之和为72，求实数 k 的值；
（2）将图2和图3两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于132，求实数 k 的取值范围．
22.已知向量 m=(sin2x,cos2x) ， n=(32,12) ，函数 f(x)=m⋅n ．
（1）求函数 f(x) 的解析式和单调递增区间；
（2）若 a ， b ， c 分别为 △ABC 三个内角 A ， B ， C 的对边， f(A)=1 ， b=2 ， a∈[12,52] ，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
（3）若 x∈[-π6,2π6] 时，关于 x 的方程 f(x+π6)+(λ+1)sinx=λ 恰有三个不同的实根 x1 ， x2 ， x3 ，求实数 λ 的取值范围及 x1+x2+x3 的值．
答案解析部分
一、单选题
1.已知角 α 的终边经过点 P(3,-4) ，则 tanα= （ ）
A. -34 B. -43 C. -45 D. -54
【答案】 B
【考点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为角 α 的终边经过点 P(3,-4) ，
所以 tanα=yx=-43=-43 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正切函数的定义，从而求出角 α 的正切值。
2.在复平面内，若复数 z=3-2i （其中 i 是虚数单位），则复数 z 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】根据复数的几何意义，可得复数 z=3-2i 在复平面内对应的点为 (3,-2) ，位于第四象限。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数z的几何意义，从而求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限。
3.敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 y=Asinωt （其中 A>0 ， t 表示时间， y 表示纯音振动时音叉的位移）．图2是该函数在一个周期内的图像，根据图中数据可确定 A 和 ω 的值分别为（ ）
A. 1500 和 800π B. 1500 和 400π C. 11000 和 800π D. 11000 和 400π
【答案】 D
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【解答】解：由题意得A=11000 ， T4=1800
则T=1200
则ω=2πT=400π.
故答案为：D
【分析】根据函数y=Asinωx+φ的图象与性质求解即可.
4.若 a=sinπ12 ， b=log2(sinπ12) ， c=tanπ12 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（ ）
A. a
【考点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ∵a=sinπ12∈(0,1) ，则 b=log2(sinπ12)<0 ，
因为 cosπ12∈(0,1) ，故 c=tanπ12=sinπ12cosπ12>sinπ12=a ，故 b
【分析】利用正弦函数的图像、余弦函数的图像、同角三角函数基本关系式和对数函数的单调性，从而比较出a,b,c的大小。
5.已知水平放置的四边形 OABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 O'A'//B'C' ， ∠O'A'B'=90° ， O'A'=1 ， B'C'=2 ，则原四边形 OABC 的面积为（ ）
A. 322 B. 32 C. 42 D. 52
【答案】 B
【考点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】根据直观图知 SO'A'B'C'=12×(1+2)×1=32 ，
又因为 SOABCSO'A'B'C'=124 ，
所以 SOABC=SO'A'B'C'24=3224=32 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的方法，从而利用三角形的面积和直角梯形的面积的关系，从而求出原四边形 OABC 的面积。
6.设 α 为锐角，若 cos(α+π4)=12 ，则 tanα= （ ）
A. 6-2 B. 6+2 C. 2-3 D. 2+3
【答案】 C
【考点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为 0<α<π2 ，可得 π4<α+π4<3π4 ，
由 cos(α+π4)=12 ，所以 α+π4=π3 ，可得 α=π12 ，
所以 tanα=tanπ12=tan(π3-π4)=tanπ3-tanπ41+tanπ3tanπ4=3-11+3=2-3 。
故答案为：C.
【分析】因为 0<α<π2 ，可得 π4<α+π4<3π4 ，由 cos(α+π4)=12 ，可得 α=π12 ，再利用两角差的正切公式，从而求出tanα的值。
7.南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S=14[c2a2-(c2+a2-b22)2] ，其中 a 、 b 、 c 是 △ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边．若 ac=4 ， B=60∘ ，则 △ABC 的面积为（ ）
A. 3 B. 22 C. 4 D. 42
【答案】 A
【考点】余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】由余弦定理可得 cosB=c2+a2-b22ac ，所以， c2+a2-b2=2accosB ，
所以， S=14[c2a2-(c2+a2-b22)2]=12c2a2-(accosB)2=12acsinB=12×4×32=3 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合余弦定理得出c2+a2-b2=2accosB ， 再利用 计算三角形面积的“三斜求积术”， 从而求出三角形 △ABC 的面积 。
8.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 400 米，一艘船从河岸的 A 地出发，向河对岸航行．已知船的速度 v1 的大小为 |v1|=8km/h ，水流速度 v2 的大小为 |v2|=2km/h ，船的速度与水流速度的合速度为 v ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A. 船头方向与水流方向垂直 B. cos
C. |v|=217km/h D. 该船到达对岸所需时间为 3 分钟
【答案】 B
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由题意可知， v=v1+v2 ，当船的航程最短时， v⊥v2 ，而船头的方向与 v1 同向，
由 v⋅v2=(v1+v2)⋅v2=v1⋅v2+v22=0 ，可得 v1⋅v2=-v22=-4 ， cos
|v|=|v1+v2|=(v1+v2)2=v12+2v1⋅v2+v22=4-2×4+64=215(kmh) ，C选项错误；
该船到达对岸所需时间为 60×0.4215=4155 （分钟），D选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和数量积求向量夹角公式，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的定义，从而找出说法正确的选项。
二、多选题
9.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”．若复数 z=a+i （ a∈R ， i 为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（ ）
A. a=1 B. |z|=1 C. z=1-i D. 复数 (a-1)+(a2-1)i 是纯虚数
【答案】 A,C
【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数求模
【解析】【解答】因为复数 z=a+i （ a∈R ， i 为虚数单位）为“等部复数”，
根据“等部复数”的定义，可得 a=1 ，即 z=1+i ，所以 A符合题意；
由 |z|=12+12=2 ，所以B不正确；
由 z=1+i ，可得 z=1-i ，所以C符合题意；
由 (a-1)+(a2-1)i=(1-1)+(12-1)i=0 ，所以D不正确.
故答案为：AC.
【分析】利用 “等部复数” 的定义求出a的值；再利用复数求模公式求出复数的模；再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数；再结合复数为纯虚数的判断方法，从而选出说法正确的选项。
10.如图，若 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 为正六棱台，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 AB 与 C1D1 是异面直线
B. 直线 AB 与 D1E1 平行
C. 线段 BB1 与 FF1 的延长线相交于一点
D. 点 F1 到底面 ABCDEF 的距离大于点 B1 到底面 ABCDEF 的距离
【答案】 A,B,C
【考点】异面直线的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：若 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 为正六棱台，
对于A，由不共线的三点 A,B,C1 共面， D1 不在这个面内，故直线 AB 与 C1D1 是异面直线，正确；
对于B，因为直线 AB 与 DE 平行，直线 DE 与 D1E1 平行，则直线 AB 与 D1E1 平行，B符合题意；
对于C，因为 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 为正六棱台，则侧棱 BB1 与 FF1 的延长线相交于一点，正确；
对于D，点 F1 到底面 ABCDEF 的距离和点 B1 到底面 ABCDEF 的距离都等于棱台的高，故应该相等，D不符合题意；
故答案为：ABC.
【分析】利用正六棱台的结构特征结合已知条件，再利用异面直线的判断方法、两直线平行的判断方法、 点到平面的距离求解方法和比较法，从而找出说法正确的选项。
11.如图，已知点 G 是边长为1的等边 △ABC 内一点，满足 GA+GB+GC=0 ，过点 G 的直线 l 分别交 AB ， AC 于点 D ， E ．设 AD=λAB ， AE=μAC ，则下列说法正确的是（ ）
A. AG=13AB+14AC B. 点 G 为 △ABC 的重心 C. 1λ+1μ=2 D. |AG|=33
【答案】 B,D
【考点】向量的模，平面向量的基本定理及其意义，三点共线，三角形五心
【解析】【解答】解：取 AB 的中点 M ， BC 的中点 N ，
则 GA+GB=2GD ，
∵GA+GB+GC=0 ， ∴GC=-2GM ，
∴C ， M ， G 三点共线，
同理 A ， G ， N 三点共线，
∴G 是 ΔABC 的重心，
B符合题意；
∴AN=32AG ，
∴AB+AC=2AN=3AG ，即 AG=13AB+13AC ，
A不符合题意；
所以 |AG|=23|AN|=23×32=33 ，
D符合题意；
因为 AD=λAB ， AE=μAC ，
所以 AB=1λAD ， AC=1μAE ，
所以 AG=13AB+13AC=13λAD+13μAE ，
又因 D,G,E 三点共线，
所以 13λ+13μ=1 ，所以 1λ+1μ=3 ，
C不符合题意.
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合等边三角形的结构特征，再利用向量共线定理和平面向量基本定理，推出 AG=13AB+13AC ；再利用重心的定义推出点 G 为 △ABC 的重心 ；再结合三点共线的判断方法，从而推出1λ+1μ=3；再结合向量的模求解方法，从而求出|AG→|=33 ，进而找出说法正确的选项。
12.已知函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2) 满足 f(5π8-x)=f(5π8+x) ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 y=f(x) 的最小正周期为 π
B. 函数 f(x) 的图像向右平移 π6 个单位得到函数 g(x)=sin(2x-π12) 的图像
C. 若 ω>0 时，函数 f(ωx) 在区间 [π2,π] 上单调递减，则实数 ω 的取值范围是 (0,18]
D. 函数 y=f(x)+f(2x-π8) 的值域为 [-98,2]
【答案】 A,B,D
【考点】函数的值域，函数单调性的性质，三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意，函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2) 满足 f(5π8-x)=f(5π8+x) ，
即函数 f(x) 的图象关于 x=5π8 对称，可得 f(x)=sin(2×5π8+φ)=±1 ，
解得 5π4+φ=π2+kπ,k∈Z ，即 φ=-3π4+kπ,k∈Z ，
因为 |φ|<π2 ，可得 φ=π4 ，所以 f(x)=sin(2x+π4) ，
可得函数 f(x) 的最小正周期为 T=2π2=π ，所以A符合题意；
函数 f(x) 的图像向右平移 π6 个单位，可得函数 g(x)=sin[2(x-π6)+π4]=sin(2x-π12) ，所以B符合题意；
由 ω=18 时，可得函数 f(18x)=sin(14x+π4)
当 x∈[π2,π] 时，可得 14x∈[π8,π4] ，则 14x+π4∈[3π8,π2] ，
因为函数 f(18x)=sin(14x+π4) 在区间 [π2,π] 上单调递增，，所以C不符合题意；
由 y=f(x)+f(2x-π8)=sin(2x+π4)+sin[2×(2x-π8)+π4]=sin(2x+π4)+sin(4x)
=22(sin2x+cos2x)+2sin2xcos2x ，
令 t=sin2x+cos2x∈[-2,2] ，则 2sin2xcos2x=t2-1 ，
所以 y=t2+22t-1 ，表示开口向上，且对称轴为 t=-24 的抛物线，
当 t=-24 时，可得 ymin=-98 ；当 t=2 时，可得 ymax=2 ，
即函数 y=f(x)+f(2x-π8) 的值域为 [-98,2] 。
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合代入法，从而求出φ的值，进而求出正弦型函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出正弦型函数的最小正周期；再利用正弦型函数的图象变换得出函数 f(x) 的图像向右平移 π6 个单位得到函数 g(x)=sin(2x-π12) 的图像；再利用已知条件结合函数的单调性，从而利用已知条件函数 f(ωx) 在区间 [π2,π] 上单调递减，进而求出实数 ω 的取值范围；再利用函数求值域的方法求出函数 y=f(x)+f(2x-π8) 的值域为 [-98,2] ， 进而找出说法正确的选项。
三、填空题
13.已知 a=(1,m) ， b=(3,-2) ， a⊥b ，则 m= ________.
【答案】32
【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题 a=(1,m) ， b=(3,-2) ， a⊥b ，则 3-2m=0，∴m=32。
故答案为： 32。
【分析】利用已知条件结合向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出m的值。
14.能够说明“设 α∈(0,π) ， β∈(0,π) ，若 α>β ，则 sinα>sinβ ”是假命题的一组角 α ， β 的值依次为________．
【答案】56π ； π3 （答案不唯一）
【考点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：因为 α∈(0,π) ， β∈(0,π) ，且 α>β ，如 α=56π ； β=π3 ，满足 α>β ，但是 sinα=sin56π=12 ， sinβ=sinπ3=32 ，不满足 sinα>sinβ 。
故答案为： 56π ； π3 （答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合命题真假的判断方法，从而得出一组角 α ， β 的值。
15.如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C 与 D ．现测得 ∠BCD=75° ， ∠BDC=60° ， CD=102m ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角 θ 为 30° ，则塔高 AB 为________m．
【答案】 10
【考点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在 △BCD 中，因为 ∠BCD=75° ， ∠BDC=60° ，可得 ∠CBD=180∘-75∘-60∘=45∘ ，
由正弦定理，可得 BC=102sin60∘sin45∘=103 ，
在直角 Rt△ABC 中，可得 AB=BCtan∠ABC=103×33=10 ，
即塔高 AB 为 10(m) 。
故答案为：10。
【分析】利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质，从而求出∠CBD的值，再利用正弦定理求出BC的长，在直角 Rt△ABC 中结合正切函数的定义，从而求出塔高AB的长。
16.如图，已知圆锥 PO 的底面半径 OA 的长度为1，母线 PA 的长度为2，半径为 R1 的球 O1 与圆锥的侧面相切，并与底面相切于点 O ，则 R1= ________；若球 O2 与球 O1 、圆锥的底面和侧面均相切，则球 O2 的表面积为________．
【答案】33；427π
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积
【解析】【解答】解：该几何体的轴截面如图所示，
由题意可知 △PAB 为等边三角形，且边长为2，圆 O1 与三角形的三边都相切，圆 O1 的半径等于球 O1 的半径为 R1 ，则
12(2+2+2)R1=12×2×2sin60° ，解得 R1=33 ，
因为 ∠O1AO=30° ，
所以 AO2=2O2C=2R2,AO1=2OO1=2R1 ，
因为 AO1=AO2+O2O1 ，
所以 2R1=2R2+R2+R1 ，所以 R2=13R1=39 ，
所以球 O2 的表面积为 4πR22=4π(39)2=427π 。
故答案为： 33 ， 427π。
【分析】由题意可知三角形 △PAB 为等边三角形，且边长为2，圆 O1 与三角形的三边都相切，圆 O1 的半径等于球 O1 的半径为 R1 ，再利用两三角形面积相等结合三角形的面积公式，解得 R1=33 ，因为 ∠O1AO=30° ，所以 AO2=2O2C=2R2,AO1=2OO1=2R1 ，因为 AO1=AO2+O2O1 ，所以 2R1=2R2+R2+R1 ，所以 R2=13R1=39 ，再利用球的表面积公式，从而求出球 O2 的表面积 。
四、解答题
17.已知复数 z1=1+i ， z2=3+4i ．
（1）求 z1+z2 和 z1z2 的值；
（2）若 z1=1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 的一个根，求实数 m ， n 的值．
【答案】 （1）由题意，复数 z1=1+i ， z2=3+4i ．
所以 z1+z2=1+i+3+4i=4+5i ，
z1z2=(1+i)(3+4i)=3+4i+3i+4i2=-1+7i ．
（2）因为 z1=1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 的一个根，
所以 (1+i)2+m(1+i)+n=0 ，整理得 (m+n)+(m+2)i=0 ，
可得 {m+n=0m+2=0 ，解得 {m=-2n=2 ，所以 m=-2 ， n=2 ．
【考点】复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算，复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的加法和乘法运算法则，从而求出 z1+z2 和 z1z2 的值。
（2）利用 z1=1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 的一个根结合代入法和复数的混合运算法则，再利用复数相等的等价关系，从而求出m,n的值。
18.在 △ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，_______________，
从① (b+c)2-a2=3bc ，② asinB=bsin(A+π3) 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 b=4 ， △ABC 的面积 S=63 ，求 △ABC 的周长．
【答案】 （1）选①： ∵(b+c)2-a2=3bc ， ∴b2+c2-a2=bc ， ∴cosA=b2+c2-a22bc=12 ，
∵A∈(0,π) ， ∴A=π3 ；
选②：由正弦定理得： sinAsinB=sinBsin(A+π3) ，
在 △ABC 中， ∵0
∵A∈(0,π) ， ∴A=π3 ；
（2）由（1）知 A=π3 ， b=4 ， S△ABC=12bcsinA=3c=63 ， ∴c=6 ，
由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=16+36-2×4×6×12=28 ，则 a=27 ，
因此， △ABC 的周长为 a+b+c=10+27 ．
【考点】同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 从① (b+c)2-a2=3bc ，② asinB=bsin(A+π3) 这两个条件中任选一个，补充在问题中并作答。 选①：利用已知条件结合余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值。
选②：利用已知条件结合正弦定理得出sinAsinB=sinBsin(A+π3) ，在 △ABC 中，因为 0
19.某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 S-ABCD 的高是长方体 ABCD-A1B1C1D1 高的 12 ，且底面正方形 ABCD 的边长为4， AA1=2 ．
（1）求 AC1 的长及该长方体的外接球的体积；
（2）求正四棱锥的斜高和体积．
【答案】 （1）∵几何体 ABCD-A1B1C1D1 为长方体且 AB=BC=4 ， AA1=2 ，
∴ AC1=AB2+BC2+AA12=42+42+22=6 ，
记长方体外接球的半径为 R ，线段 AC1 就是其外接球直径，
则 2R=6 ，∴ R=3 ，∴外接球的体积为 V=43π×33=36π ．
（2）如图，设 AC ， BD 交于点 O ，连结 SO ，则 SO 为正四棱锥的高，
∵ S-ABCD 为正四棱锥，∴ SO 为正四棱锥的高，
又长方体的高为 AA1=2 ，∴ SO=12×2=1 ，
取 AB 的中点 E ，连结 OE 、 SE ，则 SE 为正四棱锥的斜高，
在 Rt△SOE 中， SO=1 ， OE=12AD=2 ，∴ SE=SO2+OE2=1+4=5 ，
∵ SABCD=4×4=16 ， SO=1 ，∴ VS-ABCD=13SABCD×SO=13×16×1=163 ，
∴正四棱锥的斜高为 5 ，体积为 163 ．
【考点】棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积
【解析】【分析】（1）因为几何体 ABCD-A1B1C1D1 为长方体且 AB=BC=4 ， AA1=2 ，再利用勾股定理求出长方体的体对角线的长，进而求出 AC1 的长；记长方体外接球的半径为 R ，线段 AC1 就是其外接球直径，从而求出外接球的直径，进而求出外接球的半径，再利用外接球的体积公式，从而求出该长方体的外接球的体积。
（2） 设 AC ， BD 交于点 O ，连结 SO ，则 SO 为正四棱锥的高，因为 S-ABCD 为正四棱锥，所以SO 为正四棱锥的高，又因为长方体的高为 AA1=2 ，所以利用中点的性质求出SO=12×2=1 ，取 AB 的中点 E ，连结 OE 、 SE ，则 SE 为正四棱锥的斜高，在 Rt△SOE 中， SO=1 ， OE=12AD=2 ，利用勾股定理求出SE 的长，再利用四边形的面积公式结合四棱锥的体积公式，从而求出正四棱锥的斜高为 5 ，体积为 163。
20.在 △ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边， b=26 ， 3sinB-2cos2B2=1 ．
（1）求角 B 的大小及 △ABC 外接圆的半径 R 的值；
（2）若 AD 是 ∠BAC 的内角平分线，当 △ABC 面积最大时，求 AD 的长．
【答案】 （1）由 3sinB-2cos2B2=1 ，得 3sinB-cosB=2 ，
∴ 2(32sinB-12cosB)=2 ，∴ sin(B-π6)=1 ，
∵ 0
（2）在 △ABC 中，由余弦定理得， b2=a2+c2-2accos2π3=a2+c2+ac=24 ，
∴ 24≥2ac+ac=3ac ，∴ ac≤8 ，当且仅当 a=c=22 时等号成立．
此时 S△ABC 最大，且 △ABC 为等腰三角形， ∠BAC=π6 ，∴ ∠BAD=π12 ， ∠ADB=π4 ，
在 △ABD 中，由正弦定理得： ADsin2π3=ABsinπ4 ，∴ AD=22sin2π3sinπ4=23 ．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，二倍角的余弦公式，正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简函数为正弦型函数，再利用三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值，再结合正弦定理的性质，从而求出三角形 △ABC 外接圆的半径 R 的值。
（2） 在 △ABC 中，由余弦定理和均值不等式求最值的方法得出ac≤8 ，当且仅当 a=c=22 时等号成立，此时 S△ABC 最大，且 △ABC 为等腰三角形， ∠BAC=π6 ，所以∠BAD=π12 ， ∠ADB=π4 ，在 △ABD 中，由正弦定理求出AD的长。
21.如图1，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB=BC=5k ， AC=8k ， AA1=2k(k>0) ， D ， D1 分别为 AC ， A1C1 的中点，平面 BB1D1D 将三棱柱分成两个新的直三棱柱（如图2，3所示）．
（1）若两个新直三棱柱的表面积之和为72，求实数 k 的值；
（2）将图2和图3两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于132，求实数 k 的取值范围．
【答案】 （1）解：∵ AB=BC ， D 为 AC 的中点，∴ BD⊥AC ，
又 AB=BC=5k ， AC=8k ，∴ BD=3k ，
易知三棱柱被平面 BB1D1D 分割成两个相同的直三棱柱，
每个直三棱柱的表面积为： 12×3k×4k+(3k+4k+5k)×2k=12k2+24 ，
∴两个新直三棱柱的表面积之和 S=24k2+48=72 ，解得： k=1 ．
（2）由题可知：图2、图3的两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱时，共有4种可能的情形：
①当底面是边长为 3k ， 4k 的矩形，侧棱长为 2k 的直四棱柱时，
表面积 S1=2×3k×4k+(3k+4k)×2×2k=24k2+28 ，
②当底面是边长为 5k ， 4k 的平行四边形，侧棱长为 2k 的直四棱柱时，
表面积 S2=2×3k×4k+(5k+4k)×2×2k=24k2+36 ，
③当底面是边长为 5k ， 3k 的平行四边形，侧棱长为 2k 的直四棱柱时，
表面积 S3=2×3k×4k+(5k+3k)×2×2k=24k2+32 ，
④当底面是边长为 3k ， 4k 的四边形（非矩形），侧棱长为 2k 的直四棱柱时，
表面积 S4=2×3k×4k+(3k+4k)×2×2k=24k2+28 ，
由上可知：表面积的最大值为 24k2+36 ，由题意得： 24k2+36<132 ，解得： 0
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【分析】（1） 因为 AB=BC ， D 为 AC 的中点，再利用等腰三角形三线合一推出线线垂直，所以 BD⊥AC ，又因为 AB=BC=5k ， AC=8k ，所以BD=3k ，易知三棱柱被平面 BB1D1D 分割成两个相同的直三棱柱，再利用直三棱柱的表面积公式结合求和法和已知条件，从而求出k的值。
（2） 由题可知，图2、图3的两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱时，共有4种可能的情形，再利用分类讨论的方法结合直四棱柱的表面积公式，从而得出表面积的最大值为 24k2+36 ，由题意得 24k2+36<132 ，再解一元二次不等式求出实数 k 的取值范围。
22.已知向量 m=(sin2x,cos2x) ， n=(32,12) ，函数 f(x)=m⋅n ．
（1）求函数 f(x) 的解析式和单调递增区间；
（2）若 a ， b ， c 分别为 △ABC 三个内角 A ， B ， C 的对边， f(A)=1 ， b=2 ， a∈[12,52] ，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
（3）若 x∈[-π6,2π6] 时，关于 x 的方程 f(x+π6)+(λ+1)sinx=λ 恰有三个不同的实根 x1 ， x2 ， x3 ，求实数 λ 的取值范围及 x1+x2+x3 的值．
【答案】 （1）解：由题意知， f(x)=m⋅n=(sin2x,cos2x)⋅(32,12)=32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6) ，
令 -π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ ，解得： -π3+kπ≤x≤π6+kπ ，
∴ f(x) 的单调递增区间为 [-π3+kπ,π6+kπ](k∈Z) ．
（2）∵ f(A)=sin(2A+π6)=1 ，∴ 2A+π6=π2+2kπ ， k∈Z ，即 A=π6+kπ ， k∈Z ，
又∵ A∈(0,π) ，∴ A=π6 ．
假设三角形存在，由正弦定理可得， asinA=bsinB ，∴ sinB=bsinAa ，
①当 a∈[12,1) 时， sinB=1a>1 ，∵ sinB∈(0,1] ，∴三角形无解．
②当 a=1 时， sinB=1a=1 ，∴ B=π2 ，三角形有唯一解．
③当 a∈(1,2) 时， sinB=1a∈(12,1) ，此时 bsinA
④当 a∈[2,52] 时， a≥b ，∴ A≥B ，故三角形有唯一解．
综上所述，当 a∈[12,1) 时，三角形无解；当 a=1 或 a∈[2,52] 时，三角形有唯一解；
当 a∈(1,2) 时，三角形有两解．
（3）∵ f(x)=sin(2x+π6) ，
∴方程 f(x+π6)+(λ+1)sinx=λ 可化为 sin(2(x+π6)+π6)+(λ+1)sinx=λ ，
即 cos2x+(λ+1)sinx=λ ，
化简得： 2sin2x-(λ+1)sinx+λ-1=0 （*），即 (2sinx-(λ-1))(sinx-1)=0 ，
∴ sinx=1 或 sinx=λ-12 ，
又 x∈[-π6,2π3] 时，方程（*）有三个不同的实根，且当 sinx=1 时， x1=π2 ，
∴ sinx=λ-12 在 [-π6,2π3] 上有两个不同的实根为 x2 ， x3 ，
又∵ x∈[-π6,2π3] ，∴ sinx∈[32,1) ，∴ 32≤λ-12<1 ，解得： 3+1≤λ<3 ，
易知 x2 ， x3 关于 x=π2 对称，∴ x2+x32=π2 ，即 x2+x3=π ，∴ x1+x2+x3=π2+π=3π2 ．
综上所述， λ 的取值范围为 3+1≤λ<3 ， x1+x2+x3 的值为 3π2 ．
【考点】函数的单调性及单调区间，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的坐标表示和辅助角公式，从而化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图像判断出正弦型函数的单调性，进而求出正弦型函数的单调递增区间。
（2）利用已知条件结合正弦定理和分类讨论的方法，从而得出当 a∈[12,1) 时，三角形无解；当 a=1 或 a∈[2,52] 时，三角形有唯一解；当 a∈(1,2) 时，三角形有两解。
（3）因为 f(x)=sin(2x+π6) ，所以方程 f(x+π6)+(λ+1)sinx=λ 可化为 sin(2(x+π6)+π6)+(λ+1)sinx=λ ，所以sinx=1 或 sinx=λ-12 ，又因为 x∈[-π6,2π3] 时，方程（*）有三个不同的实根，且当 sinx=1 时， x1=π2 ，所以 sinx=λ-12 在 [-π6,2π3] 上有两个不同的实根为 x2 ， x3 ，又因为 x∈[-π6,2π3] ，所以sinx∈[32,1) ，∴所以 3+1≤λ<3 ，易知 x2 ， x3 关于 x=π2 对称，再利用图形的对称性，所以 x2+x3=π ，所以 x1+x2+x3=3π2 。
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