2021【KS5U解析】绍兴高一下学期期末考试数学试卷含解析

这是一份2021【KS5U解析】绍兴高一下学期期末考试数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分．）
1．i是虚数单位，复数z＝1﹣i在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是（　　）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
3．已知向量，，则（　　）
A．与同向 B．与反向 C． D．
4．袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，（　　）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若n⊥α，m⊂β，n⊥m，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，则m⊥γ
D．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
6．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值是（　　）

A．0 B． C． D．
7．若满足∠ACB＝30°，BC＝2的△ABC有且只有一个，则边AB的取值范围是（　　）
A．[1，2） B．{1}∪[2，+∞） C．（2，+∞） D．[2，+∞）
8．已知向量，满足，，，则在上的投影向量的模长为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分．）
9．已知i是虚数单位，复数z＝（1﹣i）i，则（　　）
A．z的实部为﹣1 B．z的共轭复数是1﹣i
C．|z|＝2 D．z2＝2i
10．如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，（　　）

A．若甲、乙射击成绩的平均数分别为，，则
B．若甲、乙射击成绩的方差分别为s12，s22，则s12＜s22
C．乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数
D．乙比甲的射击成绩稳定
11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段B1C上动点，F是BD1的中点，则（　　）
A．AP∥平面A1DC1
B．AP⊥BD1
C．直线BB1与平面BPD1所成角可以是∠D1BB1
D．二面角C1﹣BD1﹣C的平面角是∠C1FC
12．在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，且BC＝6，AD＝2，则（　　）
A．△ABC面积最大值是12 B．
C．不可能是5 D．
三、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是 　 　．
14．已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值是 　 　．
15．已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0～999之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在R软件的控制平台，输入“sample（0：999，20，replace＝F）”，按回车键，得到0～999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 　 　．

16．已知四面体ABCD的所有棱长均为4，点O满足OA＝OB＝OC＝OD，则以O为球心，为半径的球与四面体ABCD表面所得交线总长度为 　 　．
四、解答题（共6小题，共52分．）
17．已知向量，．
（Ⅰ）若m＝0，求；
（Ⅱ）若，求实数m的值．
18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，．
（Ⅰ）求长方体的表面积；
（Ⅱ）若E是棱AA1的中点，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．

19．甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．
（Ⅰ）求甲两次都没有击中目标的概率；
（Ⅱ）在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．
20．用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；
（Ⅱ）在区间[40，50）和[90，100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；
（Ⅲ）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．

21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣a＝2bcosA，b＝3．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积；
（Ⅲ）求的最大值．
22．如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面是矩形，EH＝DH＝1，AD＝2，AB＝4，AD⊥DH．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面DCG；
（Ⅱ）设平面DBG与平面ADHE的交线为l，求直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围．



参考答案
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．i是虚数单位，复数z＝1﹣i在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：复数z＝1﹣i在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
2．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是（　　）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
解：由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，
①（奇数，奇数），②（奇数，偶数），③（偶数，奇数），④（偶数，偶数），
事件A＝“第一枚出现奇数点”＝{①，②}，
事件B＝“第二枚出现偶数点”＝{②，④}，
两个事件不相等，排除D，
A∩B≠∅，所以不是互斥事件，排除A，B，
C选项，事件A＝“第一枚出现奇数点”，P（A）＝＝，
事件B＝“第二枚出现偶数点”，P（B）＝＝，
事件AB＝“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P（AB）＝＝，
满足P（AB）＝P（A）•P（B），
所以事件A和事件B是相互独立事件，
故选：C．
3．已知向量，，则（　　）
A．与同向 B．与反向 C． D．
解：∵向量，，∴＝2，
∴与 同向，
故选：A．
4．袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：设摸出的2个球颜色不同为事件A，
∵基本事件总数n＝5×5＝25，
事件A包含的基本事件数为＝12，
∴p（A）＝，
故选：D．
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，（　　）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若n⊥α，m⊂β，n⊥m，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，则m⊥γ
D．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
解：m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，
对于A，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故A错误；
对于B，若n⊥α，m⊂β，n⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；
对于C，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，则由面面垂直的性质、线面垂直的判断定理得m⊥γ，故C正确；
对于D，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故D错误．
故选：C．
6．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值是（　　）

A．0 B． C． D．
解：由题意可知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长相等，设棱长为1，
则cos＜，＞＝＝＝＝﹣．
∴异面直线AC1与A1B所成角的余弦值．
故选：B．
7．若满足∠ACB＝30°，BC＝2的△ABC有且只有一个，则边AB的取值范围是（　　）
A．[1，2） B．{1}∪[2，+∞） C．（2，+∞） D．[2，+∞）
解：∵满足∠ACB＝30°，BC＝2的△ABC有且只有一个，如图，AB⊥AC，或AB≥2，

∴AB＝1或AB≥2，
∴边AB的取值范围是{1}∪[2，+∞）．
故选：B．
8．已知向量，满足，，，则在上的投影向量的模长为（　　）
A． B． C． D．
解：因为|+|＝|﹣|，
所以|+|2＝（|﹣|）2，
所以2+2•+2＝2（2﹣2•+2），
所以2﹣6•+2＝0，
所以1﹣6•+22＝0，
所以•＝，
所以•（﹣）＝2﹣•＝12﹣＝，
所以|﹣|2＝2﹣2•+2＝1﹣2×+22＝，
所以在上的投影向量为＝＝，
故选：A．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）
9．已知i是虚数单位，复数z＝（1﹣i）i，则（　　）
A．z的实部为﹣1 B．z的共轭复数是1﹣i
C．|z|＝2 D．z2＝2i
解：因为z＝（1﹣i）i＝1+i，
所以z的实部为1，故A错误，
z的共轭复数为1﹣i，故B正确，
|z|＝，故C错误，
z2＝（1+i）2＝2i，故D正确，
故选：BD．
10．如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，（　　）

A．若甲、乙射击成绩的平均数分别为，，则
B．若甲、乙射击成绩的方差分别为s12，s22，则s12＜s22
C．乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数
D．乙比甲的射击成绩稳定
解：甲射击测试中6次命中环数为：6，7，8，9，9，10，
乙射击测试中6次命中环数为：5，5，6，7，7，7，
甲、乙射击成绩的平均数分别为，，甲、乙射击成绩的方差分别为s12，s22，
则，
＝，
所以，
故选项A错误；
由折线图可以看出，乙的射击成绩比甲的射击成绩波动较小，
所以s12＞s22，乙比甲的射击成绩稳定，
故选项错误，选项D正确；
甲射击成绩的中位数为，乙射击成绩的中位数为＝6.5，
故选项C正确．
故选：CD．
11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段B1C上动点，F是BD1的中点，则（　　）
A．AP∥平面A1DC1
B．AP⊥BD1
C．直线BB1与平面BPD1所成角可以是∠D1BB1
D．二面角C1﹣BD1﹣C的平面角是∠C1FC
解：以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），A1（1，0，1），C1（0，1，1），
对于A，设P（a，1，a），
则，，
设平面A1DC1的法向量为，
则，即，
令x＝1，则y＝1，z＝﹣1，
故，
则，
又AP⊄平面A1DC1，
所以AP//平面A1DC1，
故选项A正确；
对于B，因为B（1，1，0），D1（0，0，1），
所以，
所以，
则AP⊥BD1，
故选项B正确；
对于C，当点P为B1C的中点时，直线BB1与平面BPD1所成的角可以是∠D1BB1，
故选项C正确；
对于D，因为F为BD1的中点，所以C1F⊥BD1，
但CF不垂直于BD1，此时二面C1﹣BD1﹣C的平面角不可以是∠C1FC，
故选项D错误．
故选：ABC．

12．在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，且BC＝6，AD＝2，则（　　）
A．△ABC面积最大值是12 B．
C．不可能是5 D．
解：设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

对于A，
，当AD⊥BC时不等式等号成立，
所以△ABC面积最大值为6，故A错误；
对于B，
在△ABD中，，
当时，不等式等号成立，故B正确；
对于C，
因为，
所以，
解得，因为，所以，
故可能是5，故C错误；
对于，，
所以，
又，所以．
故选：BD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是 　17　．
解：该组数据从小到大排列为：
10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，
这组数据出现次数最多的是17，所以众数是17．
故答案为：17．
14．已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值是 　　．
解：∵向量，满足，，且，
∴（）•＝＝2×﹣3＝0，
∴cos＜＞＝＝．
∴与夹角的余弦值为．
故答案为：．
15．已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0～999之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在R软件的控制平台，输入“sample（0：999，20，replace＝F）”，按回车键，得到0～999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 　　．

解：在20个不重复的整数随机数中，
表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：
633，309，16，543，247，62，共6个，
∴据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：
P＝＝．
故答案为：．
16．已知四面体ABCD的所有棱长均为4，点O满足OA＝OB＝OC＝OD，则以O为球心，为半径的球与四面体ABCD表面所得交线总长度为 　　．
解：∵正四面体A﹣BCD的中心与球心O重合，正四面体的棱长为4，
取CD中点E，连结BE，AE，过A作AF⊥底面BCD，交BE于F，
则BE＝4sin60°＝2，BF＝＝，
∴AF＝＝，
又（AF﹣OF）2＝OF2+BF2，∴OF＝，
由球的半径知球被平面截得小圆半径为r＝＝．
而△ABC的内切圆半径为，
故球被正四面体一个平面截曲线为圆弧，
∴正四面体表面与球面的交线的总长度为：4×2＝．

故答案为：π．
四、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量，．
（Ⅰ）若m＝0，求；
（Ⅱ）若，求实数m的值．
解：（Ⅰ）因为m＝0，所以＝（﹣1，1），
所以＝﹣1×1+1×3＝2．
（Ⅱ）因为，，
所以＝，
所以m2+16＝25，所以m＝±3．
18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，．
（Ⅰ）求长方体的表面积；
（Ⅱ）若E是棱AA1的中点，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．

解：（Ⅰ）因为AB＝AD＝3，AC1＝，
又AC1＝＝＝，
所以AA1＝4，
所以，长方体的表面积为S＝2×（3×3+3×4+3×4）＝66．
（Ⅱ）因为AA1∥平面BB1C1C，E是棱AA1的中点，
所以点E到平面BB1C1C的距离等于A到平面BB1C1C的距离，
所以四棱锥E﹣BB1C1C的体积为
V＝•AB＝×3×4×3＝12．
19．甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．
（Ⅰ）求甲两次都没有击中目标的概率；
（Ⅱ）在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．
解：（Ⅰ）设甲两次都没有击中目标为事件A，
则p（A）＝（1﹣）（1﹣）＝．
（Ⅱ）设甲、乙恰好各击中一次目标为事件B，
∵甲恰好击中一次目标的概率为××（1﹣）＝，
乙恰好击中一次目标的概率为××（1﹣）＝，
∴甲、乙恰好各击中一次目标的概率为p（B）＝×＝．
20．用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；
（Ⅱ）在区间[40，50）和[90，100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；
（Ⅲ）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．

解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在[40，80）内的成绩占比为70%，在[40，90）内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于[80，90）内．
因为80+10×＝84，
所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84．
（Ⅱ）在区间[40，50）和[90，100]内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间Ω包含的样本点个数为
n（Ω）＝5+4+3+2+1＝15．
记事件A＝“调查对象来自不同分组”，
则事件A包含的样本点个数为n（A）＝4×2＝8，
所以P（A）＝＝．
（Ⅲ）设男生成绩样本数据为x1，x2，…，x40，其平均数为＝71，方差为＝187.75；
女生成绩样本数据为y1，y2，…，y60，其平均数为＝73.5，方差为＝119；
总样本的平均数为，方差为s2．
由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
得＝+＝72.5．
因为s2＝[（xi﹣）²+（yj﹣）²]＝[（xi﹣+﹣）²+（yj﹣+﹣）²]，
又2（xi﹣）（﹣）＝2（﹣）（（xi﹣））＝2（﹣）（xi﹣40）＝0，
同理2（yj﹣）（﹣）＝0，所以
s2＝[（xi﹣）²+（﹣）²+（yj﹣）²+（﹣）²]
＝{40[+（﹣）²]+60[+（﹣）²]}
＝{40[187.75+（71﹣72.5）²]+60[119+（73.5﹣72.5）²]}
＝148．
所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣a＝2bcosA，b＝3．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积；
（Ⅲ）求的最大值．
解：（Ⅰ）因为2c﹣a＝2bcosA，又，
所以2sinC﹣sinA＝2sinBcosA，
所以2sin（A+B）﹣sinA＝2sinBcos，
所以2sinAcosB﹣sinA＝0，
因为A∈（0，π），sinA≠0，
所以cosB＝，
可得B＝．
（Ⅱ）因为b2＝a2+c2﹣ac，所以c2﹣c﹣6＝0，
所以c＝2，
所以△ABC的面积为S＝acsinB＝．
（Ⅲ）由a2+c2﹣ac＝9，得（a+c）2＝9+3ac，
因为ac≤，所以（a+c）2≤9+（a+c）2，
所以3＜a+c≤6（当且仅当a＝c＝3时取等号）．
设t＝a+c，则t∈（3，6]，所以＝，
设f（t）＝＝（t﹣），
则f（t）在区间（3，6]上单调递增，所以f（t）的最大值为f（6）＝，
所以，的最大值为．
22．如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面是矩形，EH＝DH＝1，AD＝2，AB＝4，AD⊥DH．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面DCG；
（Ⅱ）设平面DBG与平面ADHE的交线为l，求直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围．

【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是矩形，∴AD⊥DC，
又AD⊥DH，且DC∩DH＝D，∴AD⊥平面DCG，
又∵AD∥BC，
∴BC⊥平面DCG；
（Ⅱ）解：在四棱台ABCD﹣EFGH中，
延长AE，BF，CG，DH交于S．
∵GH∥AB，GH＝AB，
∴直线BG，AH相交，设交点为P，连结DP，SP．
∵P∈AH，AH⊂平面ADHE，
又P∈BG，BG⊂平面DBG，且平面ADHE∩平面DBG＝l，
∴P∈l，又D∈l，
∴平面ADHE∩平面DBG＝DP．
过点D作DM⊥SC，垂足为M，连结PM．
∵BC⊥平面DCG，BC⊂平面BCG，
∴平面BCG⊥平面DCG，又平面BCG∩平面DCG＝SC，
∴DM⊥平面BCG，则直线l与平面BCG所成的角为∠MPD．
当M与S重合时，DM＝SD＝2；
当M与S不重合时，在Rt△DMS中，0＜DM＜SD．
∴0＜DM≤2，
又∵DP＝SA＝2，∴在Rt△MPD中，有sin∈（0，]．
∴直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围是（0，]．