2022年天津中考数学模拟试卷1（含答案解析）

这是一份2022年天津中考数学模拟试卷1（含答案解析），共34页。

2022年天津中考数学模拟试卷1
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2019秋•横县期中）计算：2×（﹣3）的结果是（　　）
A．5 B．﹣1 C．6 D．﹣6
2．（3分）（2018秋•沧州期末）已知∠A为锐角，且cosA＞，则∠A的度数（　　）
A．小于45° B．大于45° C．大于30° D．小于30°
3．（3分）（2021•平谷区二模）2022年冬奥会张家口主场馆的设计方案日前正式对外公布，场馆主题为“活力冰雪，激情四射”，占地面积50公顷，规划总建筑面积为270000平方米．将270000用科学记数法表示为（　　）
A．27×105 B．2.7×105 C．27×104 D．0.27×106
4．（3分）（2021•宝安区模拟）下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2021秋•朝阳区校级期末）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）（2021秋•龙口市期末）设m＝，则m的取值范围为（　　）
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．0＜m＜1
7．（3分）（2021春•青山区期末）方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）（2018秋•宁晋县期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，O为坐标原点，若点A的坐标为（﹣3，﹣4），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，4） C．（3﹣，4） D．（3，4）
9．（3分）（2019秋•汉阳区期末）已知a，b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝+，N＝+．
①若ab＝1时，M＝N
②若ab＞1时，M＞N
③若ab＜1时，M＜N
④若a+b＝0，则M•N≤0
则上述四个结论正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）（2020秋•莱州市期中）点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣2，﹣1） D．（，2）
11．（3分）（2019春•江岸区校级月考）如图，P在等边△ABC内且∠APC＝120°，则的最小值是（　　）

A． B． C． D．
12．（3分）（2021•黑龙江模拟）对称轴为x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，与y轴的交点在（0，）与（0，）之间（不含端点），，下列五个结论：①abc＞0；②若点（﹣，y1）Q（﹣，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；③（a+c）2＞b2；④方程ax2+bx+c+＝0没有实数根；⑤﹣＜a＜﹣，其中结论正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021秋•如皋市期中）合并同类项：3a2+5a2﹣a2＝　 　．
14．（3分）（2019春•东湖区校级月考）计算＝　 　．
15．（3分）（2021•宁波）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 　 　．
16．（3分）（2021春•仓山区校级期中）直线y＝﹣2x﹣3向上平移2个单位后的解析式为　 　．
17．（3分）（2021春•邗江区期中）如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为 　 　．

18．（3分）如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，连接BD，若∠D＝30°，BD＝2，则弦CD的长为 　 　．

三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2019春•衡阳期中）解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上．
20．（8分）（2021春•黄石港区期末）某学校通过初评决定最后从甲、乙、丙三个班中推荐一个班为区级先进班集体，下表是这三个班的五项素质考评得分表：
五项素质考评得分表（单位：分）
班级
行为规范
学习成绩
校运动会
艺术获奖
劳动卫生
甲班
10
10
7
10
6
乙班
10
8
8
9
8
丙班
9
10
9
6
9
根据统计表中的信息解答下列问题：
（1）请你补全五项成绩考评分析表中的数据：
五项成绩考评分析表
班级
平均分
中位数
众数
甲班
8.6
10
　 　
乙班
8.6
　 　
8
丙班
　 　
9
9
（2）如果学校把行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生五项考评成绩按照3：2：1：1：3的比确定，学生处的李老师根据这个平均成绩，绘制一幅不完整的条形统计图，请将这个统计图补充完整，依照这个成绩，应推荐哪个班为区级先进班集体？

21．（10分）（2021秋•通州区期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD＝6，求线段AE的长．

22．（10分）（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）

23．（10分）（2021•雁塔区校级模拟）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计）．小明与家的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．
（1）求小明在公交车上时，s与t之间的函数表达式；
（2）小明上课是否迟到？请说明理由．

24．（10分）（2021春•渝中区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点A、B和点C（﹣4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，若点P在线段AB上方的抛物线上移动，过点P作PQ∥BC交AB于Q点，求4PQ+BQ的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将该抛物线沿射线CB的方向平移5个单位长度得到新抛物线，平移后的新抛物线与原抛物线交于点R，M点在新抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N，使得以点A、R、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）（2020秋•江岸区期中）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点为（0，0）．
（1）求b，c的值；
（2）如图1，若a＝1，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线PN⊥x轴交x轴于点N，交直线：y＝x+2于M点，设P点的横坐标为m，当2PM＝PN时，求m的值；
（3）如图2，点P（0，y0）为y轴正半轴上一定点，点A，B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若∠APO＝∠BPy，求证：直线AB经过一个定点．


2022年天津中考数学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2019秋•横县期中）计算：2×（﹣3）的结果是（　　）
A．5 B．﹣1 C．6 D．﹣6
【考点】有理数的乘法．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【分析】先确定符号，然后把绝对值相乘．
【解答】解：2×（﹣3）＝﹣2×3＝﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查有理数的乘法，理解两个有理数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘是解题关键．
2．（3分）（2018秋•沧州期末）已知∠A为锐角，且cosA＞，则∠A的度数（　　）
A．小于45° B．大于45° C．大于30° D．小于30°
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】实数；符号意识．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数增减性得出答案．
【解答】解：当cosA＝时，∠A＝45°，
∵∠A为锐角，且cosA＞，
∴∠A的度数小于45°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数增减性，正确掌握余弦函数的增减性是解题关键．
3．（3分）（2021•平谷区二模）2022年冬奥会张家口主场馆的设计方案日前正式对外公布，场馆主题为“活力冰雪，激情四射”，占地面积50公顷，规划总建筑面积为270000平方米．将270000用科学记数法表示为（　　）
A．27×105 B．2.7×105 C．27×104 D．0.27×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：270000＝2.7×105，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2021•宝安区模拟）下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
5．（3分）（2021秋•朝阳区校级期末）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
【解答】解：从正面看有两层，底层三个正方形，上层左边一个正方形，左齐．
故选：D．
【点评】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
6．（3分）（2021秋•龙口市期末）设m＝，则m的取值范围为（　　）
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．0＜m＜1
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【分析】估算出的值即可判断．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴＜﹣1＜1，
∴设m＝，则m的取值范围为：0＜m＜1，
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
7．（3分）（2021春•青山区期末）方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】用加减消元法解二元一次方程组．
【解答】解：，
①+②，得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得：2+y＝1，
解得：y＝﹣1，
∴方程组的解为，
故选：B．
【点评】本题考查消元法解二元一次方程组，掌握解方程组的步骤是解题关键．
8．（3分）（2018秋•宁晋县期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，O为坐标原点，若点A的坐标为（﹣3，﹣4），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，4） C．（3﹣，4） D．（3，4）
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可知点A、C关于点O对称，再根据关于原点中心对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于坐标原点O，
∴点A、C关于原点O对称，
∵点A的坐标为（﹣3，﹣4），
∴点C的坐标为（3，4）．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的对角线互相平分的性质，关于原点对称的点的坐标特征，比较简单．
9．（3分）（2019秋•汉阳区期末）已知a，b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝+，N＝+．
①若ab＝1时，M＝N
②若ab＞1时，M＞N
③若ab＜1时，M＜N
④若a+b＝0，则M•N≤0
则上述四个结论正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力；推理能力．
【分析】①根据分式的加法法则计算即可得结论；
②根据分式的加法法则计算即可得结论；
③根据分式的加法法则计算即可得结论；
④根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论．
【解答】解：∵M＝+，N＝+，
∴M﹣N＝+﹣（+）＝+＝＝，
①当ab＝1时，M﹣N＝0，
∴M＝N，故①正确；
②当ab＞1时，2ab＞2，
∴2ab﹣2＞0，
当a＜0时，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，
∴M﹣N＞0或M﹣N＜0，
∴M＞N或M＜N，故②错误；
③当ab＜1时，a和b可能同号，也可能异号，
∴（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，而2ab﹣2＜0，
∴M＞N或M＜N，故③错误；
④M•N＝（+）•（+）
＝++，
∵a+b＝0，
∴原式＝+＝＝，
∵a≠﹣1，b≠﹣1，
∴（a+1）2（b+1）2＞0，
∵a+b＝0
∴ab≤0，M•N≤0，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用．
10．（3分）（2020秋•莱州市期中）点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣，1） C．（﹣2，﹣1） D．（，2）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】将点（﹣1，2）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．
【解答】解：∵点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣1×2＝﹣2，四个选项中只有A符合．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
11．（3分）（2019春•江岸区校级月考）如图，P在等边△ABC内且∠APC＝120°，则的最小值是（　　）

A． B． C． D．
【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】将△APC旋转60°到△ADB，连接DP，则△ADP的等边三角形，∠ADB＝∠APC＝120°，根据垂线段最短，解决问题即可．
【解答】解：将△APC旋转60°到△ADB，连接DP，则△ADP的等边三角形，∠ADB＝∠APC＝120°，
∴PD＝PA，∠PDB＝60°，过点P作PE⊥BD于E，则PE＝PD＝PA，
∴PB≥PE＝PA，即≥．

故选：D．
【点评】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中压轴题．
12．（3分）（2021•黑龙江模拟）对称轴为x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，与y轴的交点在（0，）与（0，）之间（不含端点），，下列五个结论：①abc＞0；②若点（﹣，y1）Q（﹣，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；③（a+c）2＞b2；④方程ax2+bx+c+＝0没有实数根；⑤﹣＜a＜﹣，其中结论正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】根据二次函数图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在（0，）与（0，）之间（不含端点），
∴＜c＜．
∴abc＞0，
∴①正确．
∵（﹣，y1）到对称轴的距离为：﹣﹣（﹣1）＝，
（﹣，y2）到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣）＝，
抛物线开口向下，
∴y1＞y2．
∴②正确．
∵x＝1时，y＜0，x＝﹣1时，y＞0，
∴a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
∴（a+c）2＜b2．
∴③错误．
∵＝﹣2，对称轴x＝﹣1，
∴抛物线的顶点（﹣1，2）．
∴抛物线与直线y＝﹣有两个交点．
∴方程ax2+bx+c+＝0有两个实数根．
∴④错误．
∵抛物线的顶点为（﹣1，2）．
∴a﹣b+c＝2，
∴a﹣2a+c＝2．
∴a＝c﹣2．
∵＜c＜．
∴﹣＜a＜﹣．
故⑤正确．
∴①②⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，抓住二次函数的顶点，对称轴，最值是求解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021秋•如皋市期中）合并同类项：3a2+5a2﹣a2＝　7a2　．
【考点】合并同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据合并同类项的法则即可求出答案．
【解答】解：3a2+5a2﹣a2＝（3+5﹣1）a2＝7a2．
故答案为：7a2．
【点评】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练运用合并同类项的法则，本题属于基础题型．
14．（3分）（2019春•东湖区校级月考）计算＝　2　．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（）2﹣22
＝6﹣4
＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．（3分）（2021•宁波）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 　　．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】先求出球的总个数，再根据概率公式即可得出摸出一个球是红球的概率．
【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，
∴共有8个球，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）（2021春•仓山区校级期中）直线y＝﹣2x﹣3向上平移2个单位后的解析式为　y＝﹣2x﹣1　．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】根据上加下减法则可得出答案．
【解答】解：将直线y＝﹣2x﹣3向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为：y＝﹣2x﹣3+2，
即y＝﹣2x﹣1，
故答案为y＝﹣2x﹣1．
【点评】本题考查一次函数的图象变换，规律是上加下减，左加右减．
17．（3分）（2021春•邗江区期中）如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为 　　．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】连接HM并延长至点P，使MP＝MH，作PQ⊥CD于点Q，连接PC、FH、PD，由△FHM≌△CPM，求出PC＝FH＝，根据等腰直角三角形的性质求出PQ＝CQ＝2，再运用勾股定理求出PD，根据三角形中位线性质定理可求出MN的长．
【解答】解：连接HM并延长至点P，使MP＝MH，作PQ⊥CD于点Q，连接PC、FH、PD，
∵M是线段CF的中点，
∴MF＝MC，
在△FHM和△CPM中，
，
∴△FHM≌△CPM（SAS），
∴FH＝PC，∠HFM＝∠PCM，
∵EF＝EH＝2，
∴FH＝PC＝2，
∵FG∥BC，
∴∠GFM＝∠BCM，
∴∠HFG＝∠PCB＝45°，
∴∠PCQ＝45°，
∴PQ＝QC＝2，
∴DQ＝CD+CQ＝8，
∴PD＝2，
∵线段HP的中点为M，DH的中点为N，
∴MN＝PD＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及三角形中位线性质定理的综合运用，通过辅助线构造全等三角形和三角形中位线是解决问题的关键．
18．（3分）如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，连接BD，若∠D＝30°，BD＝2，则弦CD的长为 　2　．

【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】由垂径定理可知AB⊥CD，解直角三角形求出DE，可得结论．
【解答】解：∵CD不是直径，DE＝EC，AB是直径，
∴AB⊥CD，
在Rt△DBE中，∠DEB＝90°，∠BDE＝30°，BD＝2，
∴DE＝BD•cos30°＝2×＝，
∴CD＝2DE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2019春•衡阳期中）解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）（2021春•黄石港区期末）某学校通过初评决定最后从甲、乙、丙三个班中推荐一个班为区级先进班集体，下表是这三个班的五项素质考评得分表：
五项素质考评得分表（单位：分）
班级
行为规范
学习成绩
校运动会
艺术获奖
劳动卫生
甲班
10
10
7
10
6
乙班
10
8
8
9
8
丙班
9
10
9
6
9
根据统计表中的信息解答下列问题：
（1）请你补全五项成绩考评分析表中的数据：
五项成绩考评分析表
班级
平均分
中位数
众数
甲班
8.6
10
　10　
乙班
8.6
　8　
8
丙班
　8.6　
9
9
（2）如果学校把行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生五项考评成绩按照3：2：1：1：3的比确定，学生处的李老师根据这个平均成绩，绘制一幅不完整的条形统计图，请将这个统计图补充完整，依照这个成绩，应推荐哪个班为区级先进班集体？

【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的意义和计算方法即可得出答案；
（2）求出丙班的平均成绩，即可补全统计图，并得出优胜班级；
【解答】解：（1）甲班五项成绩出现次数最多的是10分，因此众数是10，
将乙班五项成绩从小到大排列处在中间位置的一个数是8分，因此中位数是8，
丙班五项成绩的平均数为＝8.6（分），
故答案为：10，8，8.6；
（2）丙班的平均分为＝＝8.9（分），
补全统计图如下：

由于8.9＞8.7＞8.5，
所以丙班的成绩较好．
【点评】本题考查条形统计图，加权平均数，中位数、众数，理解加权平均数、中位数、众数的意义和计算方法是解决问题的关键．
21．（10分）（2021秋•通州区期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD＝6，求线段AE的长．

【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，根据圆周角定理得到∠AOC＝90°，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，根据正方形的性质求出AF＝3，根据正弦的定义计算即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵，∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，
∴AD∥EC；
（2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F，

∵∠AOC＝90°，OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠OAC＝75°﹣45°＝30°，
∵AD∥EC，
∴∠E＝∠BAD＝30°，
∵∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴AF＝OA，
∵AD＝6，
∴AF＝AD＝3，
在Rt△AFE中，
∴sinE＝，
∴AE＝＝6．
【点评】本题考查的是切线的性质，正方形的性质，锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解此题的关键．
22．（10分）（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；模型思想．
【分析】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，在Rt△ACD中，可求出CD、AD，根据外角的性质可求出∠B的度数，在Rt△BCD中求出BC即可；
（2）计算AC+BC和AB的长，计算可得答案．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，
∴CD＝AC＝300（m），
AD＝AC＝300（m），
∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，
∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，
∴CD＝BD＝300（m），
BC＝CD＝300（m），
答：景点B和C处之间的距离为300m；
（2）由题意得．
AC+BC＝（600+300）m，
AB＝AD+BD＝（300+300）m，
AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）
≈204.6
≈205（m），
答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
23．（10分）（2021•雁塔区校级模拟）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计）．小明与家的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．
（1）求小明在公交车上时，s与t之间的函数表达式；
（2）小明上课是否迟到？请说明理由．

【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可得小明坐公交车时间是多少和下车到学校所用的时间．
【解答】解：（1）如图，设线段AB所在直线的解析式为s＝kt+b，

由题意和图知，点（7，1200），B（12，3200）在线段AB上，
即，
解得，
所以小明在公交车上时，s与t之间的函数表达式为s＝400t﹣1600；
（2）公交车的速度为（3200﹣1200）÷（12﹣7）＝400（米/分钟），
坐公交车时间是：（3200﹣400）÷400＝7（分钟），
下车到学校所用的时间：10﹣7＝3，
因为4＞3，
故小明上课没有迟到．
【点评】本题考查一次函数的应用，正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键．
24．（10分）（2021春•渝中区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点A、B和点C（﹣4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，若点P在线段AB上方的抛物线上移动，过点P作PQ∥BC交AB于Q点，求4PQ+BQ的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将该抛物线沿射线CB的方向平移5个单位长度得到新抛物线，平移后的新抛物线与原抛物线交于点R，M点在新抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N，使得以点A、R、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；分类讨论；方程思想；函数的综合应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；应用意识．
【分析】（1）根据分别求出A（6，0），B（0，3），再把点A、B、C坐标代入y＝ax2+bx+c，求出抛物线解析式即可；
（2）设P（x0，y0），则0＜x0＜6，推出Q点坐标，用含x0的代数式表示出BQ，从而用含x0的代数式表示出，根据二次函数性质即可求出最大值以及对应的P点坐标；
（3）由沿射线CB方向平移5个单位，即将A，B，C三点沿此x轴向右方向平移4个单位，向上平移3个单位，得到A′（10，3），B′（4，6），C′（0，3），求出平移后的抛物线解析式为，从而求得R坐标，设M（5，t），N（a，b），则AR2＝45，MR2＝25+（t﹣3）2，AM2＝t2+1，以点A、R、M、N为顶点的四边形为矩形则需要分类讨论：①以AR为对角线时，t2+1+25+（t﹣3）2＝45，且，可解得N坐标；同理可求出②以AR、RM为边时，③以AR、AM为边时，N的坐标．
【解答】解：（1）由题意直线，
令y＝0，x＝6，令x＝0，y＝3，
∴A（6，0），B（0，3），
把A（6，0），B（0，3），C（﹣4，0）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）延长PQ交x轴于M，过P作y轴的平行线，过Q作x轴的平行线交于N，如图：

设P（x1，y1），则0＜x1＜6，
∵点Q在AB上，
∴Q，
∴BQ＝，
∵PQ∥BC，
∴∠BCO＝∠PMA，
∵QN∥x轴，
∴∠PQN＝∠PMA，
∴∠BCO＝∠PQN，
Rt△BOC中，cos∠BCO＝＝，tan∠BCO＝＝，
∴cos∠PQN＝，即＝，
而QN＝x1﹣x0，
∴PQ＝（x1﹣x0），
∴4PQ+BQ＝5（x1﹣x0）+x0＝5x1﹣4x0，
∵tan∠PQN＝tan∠BCO＝，
∴＝，
即＝
∴﹣，即x0＝
∴4PQ+BQ＝5x1﹣4x0＝5x1﹣﹣＝﹣（x1﹣）2+，
∴当x1＝时，4PQ+BQ有最大值，
此时P（，）；
（3）存在A、R、M、N为顶点的四边形为矩形，理由如下：
由沿射线CB方向平移5个单位，即将A，B，C三点沿此x轴向右方向平移4个单位，向上平移3个单位，
∴A′（10，3），B′（4，6），C′（0，3），
设，
把A′（10，3），B′（4，6），C′（0，3）代入上式得，
解得，
∴，
∴抛物线对称轴为x＝5，
联立和，
解得，
∴R（0，3），
设M（5，t），N（a，b），而A（6，0），
∴AR2＝（6﹣0）2+（0﹣3）2＝45，MR2＝25+（t﹣3）2，AM2＝t2+1，
①以AR为对角线时，如图：

四边形AMRN是矩形，需满足AR、MN互相平分且∠AMR＝90°，
∴AM2+RM2＝AB2，即t2+1+25+（t﹣3）2＝45，
解得t＝或t＝，
当t＝时，M（5，），
∵AR、MN互相平分，即AR中点是MN中点，
∴，
∴，即N（1，），
当t＝时，M（5，），
同理可得N（1，）；
②以AR、RM为边时，如图：

四边形ANMR是矩形，需满足AM、RN互相平分且∠ARM＝90°，
∴AR2+RM2＝AM2，即45+25+（t﹣3）2＝t2+1，
解得t＝13，
∴M（5，13），
∵AM、RN互相平分，即AM中点是RN中点，
∴，
解得，
∴N（11，10）；
③以AR、AM为边，如图：

四边形AMNR是矩形，需满足AN、RM互相平分且∠MAR＝90°，
∴AM2+AR2＝MR2，即t2+1+45＝25+（t﹣3）2，
解得t＝﹣2，
∴M（5，﹣2），
∵AN、RM互相平分，
∴，
解得，
∴N（﹣1，1），
综上所述，N（1，）或N（1，）或N（﹣1，1）或N（11，10）．
【点评】本题主要是考察了二次函数综合应用，涉及二次函数解析式、二次函数图象上点坐标特征、矩形性质及判定等知识，设点的坐标，用含字母的代数式表示相关线段的长度是解决此问题的关键．
25．（10分）（2020秋•江岸区期中）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点为（0，0）．
（1）求b，c的值；
（2）如图1，若a＝1，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线PN⊥x轴交x轴于点N，交直线：y＝x+2于M点，设P点的横坐标为m，当2PM＝PN时，求m的值；
（3）如图2，点P（0，y0）为y轴正半轴上一定点，点A，B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若∠APO＝∠BPy，求证：直线AB经过一个定点．

【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；数形结合；数据分析观念．
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k＝ax2，即可求解；
（2）PM＝PN，则|m+2﹣m2|＝m2，即可求解；
（3）抛物线关于y轴对称，故点M在抛物线上，连接MP，∠MPO＝∠OPA＝∠BPy，故M、P、B三点共线，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k＝ax2①，
故b＝0，c＝0；

（2）a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2，

设点P的坐标为P（m，m2），则点M（m，m+2），
∵2PM＝PN，则|m+2﹣m2|＝m2，
解得m＝（舍去）或或 或﹣1（舍去），
故m＝或 ；

（3）作点A关于y轴的对称轴M，

∵抛物线关于y轴对称，故点M在抛物线上，连接MP，
∵∠MPO＝∠OPA＝∠BPy，故M、P、B三点共线，
设点A（p，ap2），则点M（﹣p，ap2），
设直线PM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线PM的表达式为y＝+y0②，
联立①②并整理得：ax2﹣x﹣y0＝0，
则xB+xM＝﹣，
即xB﹣p＝﹣，则xB＝，
将xB的值代入y＝ax2得，y＝，故点B的坐标为（，），
由点B、A的坐标得，直线AB的表达式为y＝x﹣y0，
当x＝0时，y＝﹣y0，
故直线AB恒过点（0，﹣y0）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．