2022年天津中考数学模拟试卷3（含答案解析）

这是一份2022年天津中考数学模拟试卷3（含答案解析），共29页。

2022年天津中考数学模拟试卷3
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•绥棱县期末）已知a的等于b的（a、b均不为0），那么（　　）
A．a＝b B．a＞b C．b＞a D．无法判断
2．（3分）（2022•中宁县模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则∠B的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．（3分）（2022•郫都区模拟）根据世卫组织最新实时统计数据，全球累计新冠肺炎确诊病例超过400000000．将数据400000000用科学记数法表示应（　　）
A．0.4×109 B．4×108 C．40×107 D．4×107
4．（3分）（2021秋•宁波期末）下列汽车标志不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022•舟山一模）如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体A放到小正方体B的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（　　）

A．主视图不变 B．俯视图改变
C．左视图不变 D．以上三种视图都改变
6．（3分）（2021秋•高青县期末）已知a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是（　　）
A．3﹣ B．4﹣ C． D．2
7．（3分）（2022春•唐河县月考）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（　　）
A．①×2+② B．①×（﹣2）﹣② C．①×3+② D．①×（﹣3）+②
8．（3分）（2021秋•任城区期末）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①OE＝OF；②AE＝BF；③∠DOC＝∠OCD；④∠CFE＝∠DEF，其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）（2021秋•南开区期末）下列计算结果不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）（2021秋•金牛区期末）已知点（﹣3，y1）和（﹣2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
11．（3分）（2018•即墨区自主招生）如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（　　）

A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0
C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0
12．（3分）（2021秋•揭阳期末）点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则有（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021秋•福田区校级期末）若关于x、y的多项式x2﹣2kxy+y2+6xy﹣6中不含xy项，则k＝　 　．
14．（3分）（2022•全椒县一模）计算：+（﹣tan30°）0＝　 　．
15．（3分）（2021秋•黄埔区期末）把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于5的概率是　 　．
16．（3分）（2021秋•玄武区校级期末）将函数y＝2x+4的图象向下平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数表达式是 　 　．
17．（3分）（2018春•开福区校级期中）定义：对于实数a，b，c，若a＞b＞c，则min{a，b，c}＝c．例如min{﹣1，1，﹣7}＝﹣7．已知直线y1＝x，y2＝x+1，y3＝﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y＝min{y1，y2，y3}，则y的最大值为　 　．

18．（3分）（2018•碑林区校级一模）已知反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）在第一象限的图象如图所示，从原点O任引两条射线交反比例函数图象于A、B、C、D四点，则＝　 　．

三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2021春•清苑区期末）对于非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n，例如：＜0＞＝0；＜0.64＞＝＜1.49＞＝1；＜3.5＞＝＜4.28＞＝4；…
试解决下列问题：
（1）填空：＜π＞＝　 　；＜＞＝　 　；
（2）若＜2x﹣1＞＝3，求实数x的取值范围；
（3）直接写出满足＜x＞＝x的所有非负数x的值．
20．（8分）（2016•湘潭模拟）某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，如图是根据这组数据绘制的统计图，图1中从左到右各长方形A、B、C、D、E高度之比为3：4：5：6：2，已知此次调查中捐10元和15元的人数共27人．
（1）他们一共抽查了多少人？这组数据的众数、中位数各是多少？
（2）图2中，捐款数为20元的D部分所在的扇形的圆心角的度数是多少？
（3）若该校共有1000名学生，请求出D部分学生的人数及D部分学生的捐款总额．

21．（10分）已知圆的外切正方形的边长为a．求这个圆的内接正三角形的边长．
22．（10分）（2022•平度市校级开学）如图，一艘军舰以每小时72海里的速度向东北方向（北偏东45°）航行，在A处观测灯塔C在军舰的北偏东80°的方向，航行20分钟后到达B处，这时灯塔C恰好在军舰的正东方向．已知距离此灯塔55海里以外的海区为航行安全区域，这艘军舰是否可以继续沿东北方向航行？请说明理由．（参考数据：sin80°≈0.9，tan80°≈5.7，sin35°≈0.6，tan45°＝1，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）

23．（10分）（2021秋•毕节市期末）为巩固拓展脱贫攻坚成果，开启乡村振兴发展之门，某村村民组长组织村民加工板栗并进行销售．根据现有的原材料，预计加工规格相同的普通板栗、精品板栗共4000件．某天上午的销售件数和所卖金额统计如下表：

普通板栗（件）
精品板栗（件）
总金额（元）
甲购买情况
2
3
350
乙购买情况
4
1
300
（1）求普通板栗和精品板栗的单价分别是多少元．
（2）根据（1）中求出的单价，若普通板栗和精品板栗每件的成本分别为40元、60元，且加工普通板栗a件（1000≤a≤3000），则4000件板栗的销售总利润为w元．问普通板栗和精品板栗各加工多少件，所获总利润最多？最多总利润是多少？
24．（10分）（2022•山西模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式，并直接写出BC所在直线的表达式．
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接AP，BP，求四边形APBC面积的最大值及此时点P的坐标．
（3）设点D是BC所在直线上一点，且点D的横坐标为m．是否存在点D，使△ACD为等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

25．（10分）（2022•铁东区模拟）抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于A（8，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，点P是直线AC下方抛物线上一点，PD⊥x轴于点E，交线段AC于点D，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当∠ADO＝∠OBC时，求点D的坐标；
（3）当PD+DC的值最大时，
①请求出符合上述条件的点P的横坐标；
②若Q是平面内任意一点，将△ADE绕点Q逆时针方向旋转90°后得到△A'D'E′，若△A′D′E′的三个顶点中有两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A′的横坐标．


2022年天津中考数学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•绥棱县期末）已知a的等于b的（a、b均不为0），那么（　　）
A．a＝b B．a＞b C．b＞a D．无法判断
【考点】有理数的乘法．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据有理数的乘法运算法则进行判断即可．
【解答】解：由题意得：
a＝，
当a和b都为正数，
∵，
∴a＜b，
当a和b都为负数，
∵，
∴a＞b，
综上所述，a与b的大小无法判断，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．
2．（3分）（2022•中宁县模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则∠B的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵tan30°＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，熟记30°的正切值为是解题的关键．
3．（3分）（2022•郫都区模拟）根据世卫组织最新实时统计数据，全球累计新冠肺炎确诊病例超过400000000．将数据400000000用科学记数法表示应（　　）
A．0.4×109 B．4×108 C．40×107 D．4×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：400000000＝4×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2021秋•宁波期末）下列汽车标志不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
5．（3分）（2022•舟山一模）如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体A放到小正方体B的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（　　）

A．主视图不变 B．俯视图改变
C．左视图不变 D．以上三种视图都改变
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据三视图的定义求解即可．
【解答】解：根据图形可知，主视图发生变化，上层的小正方形由原来位于左边变为右边，俯视图和左视图都没有发生变化．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
6．（3分）（2021秋•高青县期末）已知a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是（　　）
A．3﹣ B．4﹣ C． D．2
【考点】估算无理数的大小．
【分析】根据3＜＜4，可得﹣的大小，根据6﹣，可得a、b 的值，根据实数的减法，可得答案．
【解答】解：3＜＜4，
﹣4＜﹣3，
6﹣4，
a＝2，
b＝6﹣﹣2＝4﹣，
2a﹣b＝2×2﹣（4﹣）＝，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，根据3＜＜4，可得﹣的大小是解题关键．
7．（3分）（2022春•唐河县月考）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（　　）
A．①×2+② B．①×（﹣2）﹣② C．①×3+② D．①×（﹣3）+②
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】逐一验证每个选项即可．
【解答】解：A．①×2+②得：4x﹣5y＝13，故选项A不符合题意；
B．①×（﹣2）﹣②得：﹣4x+5y＝﹣13，故选项B不符合题意；
C．①×3+②得：5x﹣6y＝18，故选项C不符合题意；
D．①×（﹣3）+②得：﹣x＝﹣12，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本步骤：消元．
8．（3分）（2021秋•任城区期末）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①OE＝OF；②AE＝BF；③∠DOC＝∠OCD；④∠CFE＝∠DEF，其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】证△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，进而得出结论．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，
又∵∠DOC＝∠BOA，
∴选项①成立，选项②，③，④不一定成立，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
9．（3分）（2021秋•南开区期末）下列计算结果不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】分式的加减法；分式的基本性质．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的加减法的运算法则计算即可判断．
【解答】解：A、，原式计算正确，不符合题意；
B、＝，原式计算正确，不符合题意；
C、＝＝2，原式计算正确，不符合题意；
D、＝＝﹣1，原式计算错误，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查的是分式的加减法及分式的基本性质，同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
10．（3分）（2021秋•金牛区期末）已知点（﹣3，y1）和（﹣2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数k＜0可得在每个象限内，y随x增大而增大，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣中，﹣4＜0，
∴当﹣3＜﹣2＜0时，y随x增大而增大，
∴y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握k＞0时，在每个象限内y随x增大而减小，k＜0时在每个象限内y随x增大而增大．
11．（3分）（2018•即墨区自主招生）如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（　　）

A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0
C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0
【考点】根与系数的关系；全等三角形的判定与性质；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；几何直观．
【分析】先利用垂直的定义得到∠ABE＝∠DBC＝90°，利用勾股定理得到a2+b2＝c2，再证明∠EBC＝∠C得到CE＝BE＝a，则AC＝c+a，然后计算出AD+AC＝2c，AD×AC＝b2，最后根据根与系数的关系可对各选项进行判断．
【解答】解：∵AB⊥BE，BD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DBC＝90°，
在Rt△ABE中，a2+b2＝c2，
∵DE＝BE＝a，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD+∠EBC＝90°，∠EDB+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠C，
∴CE＝BE＝a，
∴AC＝AE+CE＝c+a，
∵AD+AC＝c﹣a+c+a＝2c，AD×AC＝（c﹣a）（c+a）＝c2﹣a2＝b2，
∴以AD和AC的长为根的一元二次方程可为x2﹣2cx+b2＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了等腰三角形的性质．
12．（3分）（2021秋•揭阳期末）点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则有（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】先判断出函数的增减性，再判断出各点所在的象限，根据每个象限内点的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵k＜0，
∴函数图象在二，四象限，由x1＜0＜x2＜x3可知，横坐标为x1的点在第二象限，横坐标为x2，x3的点在第四象限．
∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，
∴y1最大，在第二象限内，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021秋•福田区校级期末）若关于x、y的多项式x2﹣2kxy+y2+6xy﹣6中不含xy项，则k＝　3　．
【考点】合并同类项；多项式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接合并同类项，进而得出xy项的系数为零，进而得出答案．
【解答】解：x2﹣2kxy+y2+6xy﹣6
＝x2+（6﹣2k）xy+y2﹣6，
∵关于x，y的多项式x2﹣2kxy+y2+6xy﹣6中不含xy项，
∴6﹣2k＝0，
解得：k＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及多项式，正确合并同类项是解题关键．
14．（3分）（2022•全椒县一模）计算：+（﹣tan30°）0＝　5　．
【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的乘法和零指数幂可以计算出所求式子的值．
【解答】解：+（﹣tan30°）0
＝+1
＝4+1
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
15．（3分）（2021秋•黄埔区期末）把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于5的概率是　　．
【考点】概率公式．
【分析】抽出的牌的点数小于5有1，2，3，4共4个，总的样本数目为13，由此可以容易知道事件抽出的牌的点数小于5的概率．
【解答】解：∵抽出的牌的点数小于5有1，2，3，4共4个，总的样本数目为13，
∴从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于5的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）（2021秋•玄武区校级期末）将函数y＝2x+4的图象向下平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数表达式是 　y＝2x+2　．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】直接利用一次函数平移规律“上加下减”即可得到答案．
【解答】解：将函数y＝2x+4的图象向下平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数表达式是：y＝2x+4﹣2，即y＝2x+2．
故答案为：y＝2x+2．
【点评】本题主要考查了一次函数平移规律，掌握一次函数平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
17．（3分）（2018春•开福区校级期中）定义：对于实数a，b，c，若a＞b＞c，则min{a，b，c}＝c．例如min{﹣1，1，﹣7}＝﹣7．已知直线y1＝x，y2＝x+1，y3＝﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y＝min{y1，y2，y3}，则y的最大值为　2　．

【考点】正比例函数的性质；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】数形结合．
【分析】根据无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．
【解答】解：由于y总取y1、y2、y3中的最小值，所以x﹣y的图象如图所以，分别求出y1，y2，y3交点的坐标A（，）；B（，）；C（3，2）
当x＜时，y＝y1；
当≤x≤3时，y＝y2；
当x＞3时，y＝y3．
所以y最大值为2．
故答案是：2．

【点评】此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，要先画出函数的图象根据数形结合解题，锻炼了学生数形结合的思想方法．
18．（3分）（2018•碑林区校级一模）已知反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）在第一象限的图象如图所示，从原点O任引两条射线交反比例函数图象于A、B、C、D四点，则＝　　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理；反比例函数的图象；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】设直线OD、OC的解析式，求得交点坐标，推出＝＝，从而得到AB∥CD，即可求得结果．
【解答】解：如图所示，
设直线OA的解析式为y＝k1x，直线OB的解析式为y＝k2x，
则点A（，）、B（，）、C（，）、D（，），
∵＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴AB∥CD，
∴＝＝，
故答案为．

【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，证得AB∥CD为解题关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2021春•清苑区期末）对于非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n，例如：＜0＞＝0；＜0.64＞＝＜1.49＞＝1；＜3.5＞＝＜4.28＞＝4；…
试解决下列问题：
（1）填空：＜π＞＝　3　；＜＞＝　2　；
（2）若＜2x﹣1＞＝3，求实数x的取值范围；
（3）直接写出满足＜x＞＝x的所有非负数x的值．
【考点】估算无理数的大小；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；数感．
【分析】（1）根据四舍五入方法可得；
（2）根据取近似值的方法确定x的取值范围即可，反过来也可确定未知数的值；
（3）据取近似值的方法确定x的取值范围即可．
【解答】解：（1）＜π＞＝3；
＜＞＝2；
（2）∵＜2x﹣1＞＝3，
∴2.5≤2x﹣1＜3.5，
∴≤x＜；
（3）设x＝k（k为非负整数），则x＝k，
根据题意可得：k﹣≤＜k+，
即﹣2＜k≤2，
则k＝0，1，2，
∴x＝0，，．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是根据取近似值的方法确定x的取值范围．
20．（8分）（2016•湘潭模拟）某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，如图是根据这组数据绘制的统计图，图1中从左到右各长方形A、B、C、D、E高度之比为3：4：5：6：2，已知此次调查中捐10元和15元的人数共27人．
（1）他们一共抽查了多少人？这组数据的众数、中位数各是多少？
（2）图2中，捐款数为20元的D部分所在的扇形的圆心角的度数是多少？
（3）若该校共有1000名学生，请求出D部分学生的人数及D部分学生的捐款总额．

【考点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本估计总体．
【专题】图表型．
【分析】（1）根据A、B、C、D、E高度之比为3：4：5：6：2，求得B等和C等所占的百分比，再根据捐10元和15元的人数共27人求得总人数；根据中位数和众数的概念求解；
（2）各部分所占的圆心角即为百分比×360°；
（3）根据样本估计总体．
【解答】解：（1）总人数＝27÷＝60（人）；
众数：20（元）；中位数15（元）．

（2）捐款数为20元的D部分所在的扇形的圆心角的度数＝×360°＝108°；

（3）D部分的学生人数＝1000×＝300（人）；D部分学生的捐款总额＝300×20＝6000（元）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时也考查了中位数、众数、平均数的概念及根据样本估计总体．
21．（10分）已知圆的外切正方形的边长为a．求这个圆的内接正三角形的边长．
【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；正方形的性质．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【分析】首先根据圆内接正三角形的性质以及正方形的性质得出EC的长，进而得出圆的内接正三角形的边长．
【解答】解：如图所示：连接CO，过点O，作OE⊥CD于点E，

由题意知四边形AMNB是正方形，⊙O切AB于点C，△CFD是⊙O的内接正三角形，
∵圆的外切正方形的边长为a，
∴CO＝BC＝，∠OCE＝30°，
∴CE＝•cos30°＝，
∴这个圆的内接正三角形的边长为：2EC＝．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，熟练应用正三角形的性质得出是解题关键．
22．（10分）（2022•平度市校级开学）如图，一艘军舰以每小时72海里的速度向东北方向（北偏东45°）航行，在A处观测灯塔C在军舰的北偏东80°的方向，航行20分钟后到达B处，这时灯塔C恰好在军舰的正东方向．已知距离此灯塔55海里以外的海区为航行安全区域，这艘军舰是否可以继续沿东北方向航行？请说明理由．（参考数据：sin80°≈0.9，tan80°≈5.7，sin35°≈0.6，tan45°＝1，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，设CD＝x海里，则AB＝72×＝24（海里），解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：可以，理由如下：
过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
设CD＝x海里，则AB＝72×＝24（海里），
在直角△ACD中，AD＝x，
在直角△BCD中，BD＝x，
∵AB＝AD﹣BD，
∴x﹣x≈24，
∴x≈56，
∵56＞55，
∴可以继续沿东北方向航行．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意能借助于方向角构造直角三角形并解此直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
23．（10分）（2021秋•毕节市期末）为巩固拓展脱贫攻坚成果，开启乡村振兴发展之门，某村村民组长组织村民加工板栗并进行销售．根据现有的原材料，预计加工规格相同的普通板栗、精品板栗共4000件．某天上午的销售件数和所卖金额统计如下表：

普通板栗（件）
精品板栗（件）
总金额（元）
甲购买情况
2
3
350
乙购买情况
4
1
300
（1）求普通板栗和精品板栗的单价分别是多少元．
（2）根据（1）中求出的单价，若普通板栗和精品板栗每件的成本分别为40元、60元，且加工普通板栗a件（1000≤a≤3000），则4000件板栗的销售总利润为w元．问普通板栗和精品板栗各加工多少件，所获总利润最多？最多总利润是多少？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出w与a的函数关系式，然后根据一次函数的性质和a的取值范围，可以求得w的最大值．
【解答】解：（1）设普通板栗的单价为x元，精品板栗的单价为y元，
由题意得：，
解得，
答：普通板栗的单价为55元，精品板栗的单价为80元；
（2）由题意得：w＝（55﹣40）a+（80﹣60）（4000﹣a）＝﹣5a+80000，
∵﹣5＜0，
∴w随a的增大而减小，
∵1000≤a≤3000，
∴当a＝1000时，所获总利润w最多，此时w＝75000，4000﹣a＝3000，
答：普通板栗加工1000件，精品板栗加工3000件，所获总利润最多，最多总利润是75000元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
24．（10分）（2022•山西模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式，并直接写出BC所在直线的表达式．
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接AP，BP，求四边形APBC面积的最大值及此时点P的坐标．
（3）设点D是BC所在直线上一点，且点D的横坐标为m．是否存在点D，使△ACD为等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由于抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），解方程组即可得到抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3，把x＝0代入y＝x2﹣4x+3得，y＝3，求得C（0，3），设BC所在直线的表达式为y＝kx+m，解方程组求得BC所在直线的表达式为y＝﹣x+3；
（2）设点P的坐标（a，a2﹣4a+3），根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到AC＝＝，①AD＝CD，则点D在线段AC的垂直平分线上，解方程组得到D（，）；②当AC＝DC＝时，如图2，过D作DE⊥y轴于E，根据等腰直角三角形的性质得到；③当AD＝AC＝时，如图3，过D作DF⊥x轴于F，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3，
把x＝0代入y＝x2﹣4x+3得，y＝3，
∴C（0，3），
设BC所在直线的表达式为y＝kx+m，
∴，
∴，
∴BC所在直线的表达式为y＝﹣x+3；
（2）设点P的坐标（a，a2﹣4a+3），
∴四边形APBC面积＝S△ABC+S△ABP＝×2×3+×2（﹣a2+4a﹣3）＝﹣a2+4a＝﹣（a﹣2）2+4，
∴当a＝2时，四边形APBC面积的最大，
此时，P（2，﹣1）；
（3）存在，∵点D是BC所在直线上一点，点D的横坐标为m，
∴D（m，﹣m+3），
∵点A（1，0），C（0，3），
∴OA＝1，OC＝3，直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，
∴AC＝＝，
∵△ACD为等腰三角形，
①当AD＝CD时，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，

∴DQ⊥AC，CQ＝AQ，
∴Q（，），
∵直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，
∴设直线DQ的解析式为y＝x+n，
∴＝×+n，
∴n＝，
∴直线DQ的解析式为y＝x，
解得，
∴D（，）；
②当AC＝DC＝时，如图2，

过D作DE⊥y轴于E，
∵OC＝OB＝3，
∴∠OCB＝∠CBO＝45°，
∴∠ECD＝∠OCB＝45°，
∴△CED的等腰直角三角形，
∴DE＝CE＝PC＝，
∴D（﹣，3+）；
③当AD＝AC＝时，如图3，

过D作DF⊥x轴于F，
∵∠DBF＝∠OBC＝45°，
∴DF＝BF＝m﹣3，
∴AF＝2+m﹣3＝m﹣1，
∵AF2+DF2＝AD2，
∴（m﹣1）2+（m﹣3）2＝10，
解得：m＝4，m＝0（不合题意，舍去），


当CD＝AC＝时，如图4，
同理可得，m＝，
综上所述，存在点D，使△ACD为等腰三角形，m的值为或或﹣或4．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
25．（10分）（2022•铁东区模拟）抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于A（8，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，点P是直线AC下方抛物线上一点，PD⊥x轴于点E，交线段AC于点D，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当∠ADO＝∠OBC时，求点D的坐标；
（3）当PD+DC的值最大时，
①请求出符合上述条件的点P的横坐标；
②若Q是平面内任意一点，将△ADE绕点Q逆时针方向旋转90°后得到△A'D'E′，若△A′D′E′的三个顶点中有两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A′的横坐标．

【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数的应用；推理能力．
【分析】（1）根据待定系数法计算即可；
（2）先证明出△ADO∽△ABC，再由对应边成比例求出AD的长，再由△ADE∽△ACO的D的坐标；
（3）根据旋转的特点，设出A'，D'，E'的坐标，代入解析式中即可求出横坐标．
【解答】解：（1）把A（8，0），B（﹣1，0）代入到解析式中，
得：，
解得：，
∴y＝；
（2）若∠ADO＝∠OBC，
则△ADO∽△ABC，
∴，
∴AD＝，
又∵△ADE∽△ACO，
∴，
设D（x，y），
则：，
解得：x＝，，
∴D（，）；
（3）①过D作DF⊥y轴于F，

则△AOC∽△DFC，
∴，
∴CF＝，
设P（x，），则D（x，），
∴PD＝﹣（），
∴CF＝，
∴PD+DC＝PD+CF＝，
显然，当x＝，PD+DC取最大值，
∴点P的横坐标为；
②由①得A（8，0），D（，），E（，0），
设A'（n，m），则D'（n+，m﹣），E'（n，m﹣），
若A'，D'在抛物线上，则：
，
解得n＝，
∴A'的横坐标为，
若D'，E'在抛物线上，则：
，
解得n＝，
∴A'的横坐标为，
综上，A'的横坐标为或；
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，其中用待定系数法求解析式是基础，也是关键，相似三角形的判定和性质也是此题的考点，要牢记于心．