2022年南京中考数学模拟试卷1（含答案解析）

这是一份2022年南京中考数学模拟试卷1（含答案解析），共28页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。

2022年南京中考数学模拟试卷1
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021•南沙区一模）近年来，我国5G发展取得明显成效，截至2020年底，全国建设开通5G基站达71.8万个，将数据71.8万用科学记数法表示为（　　）
A．0.718×106 B．7.18×105 C．71.8×104 D．718×103
2．（2分）（2019春•盐湖区期中）下列运算中，正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．（ab）3＝a3b3 C．（2a）3＝6a3 D．3﹣2＝﹣9
3．（2分）（2021秋•红桥区期中）以下各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　）
A．8cm、5cm、3cm B．6cm、8cm、15cm
C．8cm、4cm、3cm D．4cm、6cm、5cm
4．（2分）（2021秋•建华区校级期中）小明的爸爸买了一种股票，每股10元，如表记录了该股票一周内的涨跌情况（用正数记股价比前一日的上涨数，用负数记股价比前一日的下跌数），该股票这五天中的最高价在（　　）
星期
一
二
三
四
五
股票跌涨（元）
0.2
0.45
﹣0.25
0.2
﹣0.3
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
5．（2分）（2020•普陀区二模）下列计算中，正确的是（　　）
A．﹣22＝4 B．16＝8 C．3﹣1＝﹣3 D．（）﹣2＝4
6．（2分）（2022春•小店区校级月考）如图，是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.6m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（　　）

A．0.64πm2 B．2.56πm2 C．1.44πm2 D．5.76πm2
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2020秋•新都区校级期末）﹣2的绝对值是 　 　，的相反数是 　 　．
8．（2分）（2021春•阜南县月考）若式子有意义，则x的取值范围是　 　．
9．（2分）（2021•道外区二模）计算：﹣＝　 　．
10．（2分）（2021秋•昌江区校级期中）设方程x2＝﹣x+1的两个根是x1，x2，则4x15+10x23的取值是 　 　．
11．（2分）（2021•泰兴市二模）平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），（﹣2，4），对于任意实数a，点P（a，）都不在△ABC内部，则m应满足的条件是 　 　．
12．（2分）如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB＝∠AOC，OD⊥AC与点D．AB＝8，则OD＝　 　．

13．（2分）（2021春•石狮市期末）将直线y＝﹣2x+3向下平移3个单位后所得到的直线与双曲线（k＜0）相交于A、B两点．若点A的坐标为（﹣2，4），则点B的坐标为 　 　．
14．（2分）（2012•通州区校级模拟）如图，已知AC，BC分别切⊙O于A、B，∠C＝76°，点D是优弧上任一点，则∠D＝　 　度．

15．（2分）（2021春•石城县月考）在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则∠ADO的度数是 　 　．

16．（2分）（2020春•泰州期末）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是　 　．

三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2019春•新抚区校级期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．1≥2+
18．（7分）（2021秋•永年区期中）解分式方程：
（1）；
（2）．
19．（7分）（2021•大连）计算：•﹣．
20．（8分）（2021•杭州三模）如图，D，E为△GCF中GF边上两点，过D作AB∥CF交CE的延长线于点A，AE＝CE．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若GB＝4，BC＝6，BD＝2，求AB的长．

21．（8分）（2021•云南）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．
（1）以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；
方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．
其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 　 　（填写“方案一”、“方案二”或“方案三”）；
（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）
样本容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
100
83.59
95%
40%
100
52

分数段
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
5
7
18
30
40
结合上述信息解答下列问题：
①样本数据的中位数所在分数段为 　 　；
②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有 　 　人．
22．（8分）（2021•长春）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．
23．（8分）（2021•颍州区模拟）如图，斜立于地面的木杆AB，从点C处折断后，上半部分BC倒在地上，杆的顶部B恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，杆的底部A与点D相距5米，求木杆AB的长度．（精确到0.1米；参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）

24．（8分）（2021秋•金水区校级期中）郴州市某学校组织学生到120km外的“半条被子”教育基地开展红色研学旅行，一班、二班学生分别乘坐甲、乙两辆汽车．已知甲车比乙车早出发15分钟，且以60km/h匀速行驶至终点，乙车出发后先以60km/h匀速行驶30分钟，然后提高速度，并以提高速度后的速度匀速行驶至终点，设汽车离学校的距离为y（km），甲车行驶时间为x（h），线段OA表示甲车行驶中y（km）与x（h）的函数关系，折线BCD表示乙车行驶中y（km）与x（h）的函数关系，根据图象解答下列问题：
（1）若设线段BC与CD的交点C（m，n），根据题意得：m＝　 　，n＝　 　；
（2）求线段CD所在直线的函数表达式；
（3）甲、乙两车，哪辆汽车先到达终点，早到多少小时？

25．（8分）（2020•雁塔区校级模拟）如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作⊙P，使它与l相切于点A（保留作图痕迹，不写作法）．

26．（10分）（2018秋•思明区校级期中）二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围；
（2）若m取满足条件的最小的整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤24，求n的值．
27．（9分）如图：⊙M经过O点，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程x2﹣17x+60＝0的两根．
（1）求线段OA、OB的长；
（2）求⊙M的半径；
（3）已知点C在劣弧OA上，连接BC交OA于D，OC2＝CD•CB时，求点C的坐标．


2022年南京中考数学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021•南沙区一模）近年来，我国5G发展取得明显成效，截至2020年底，全国建设开通5G基站达71.8万个，将数据71.8万用科学记数法表示为（　　）
A．0.718×106 B．7.18×105 C．71.8×104 D．718×103
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：71.8万＝718000＝7.18×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
2．（2分）（2019春•盐湖区期中）下列运算中，正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．（ab）3＝a3b3 C．（2a）3＝6a3 D．3﹣2＝﹣9
【考点】幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则以及负整数指数幂的运算法则逐一判断即可．
【解答】解：x2•x3＝x5，故选项A不合题意；
（ab）3＝a3b3，故选项B符合题意；
（2a）3＝8a6，故选项C不合题意；
，故选项D不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及负整数指数幂的计算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（2分）（2021秋•红桥区期中）以下各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　）
A．8cm、5cm、3cm B．6cm、8cm、15cm
C．8cm、4cm、3cm D．4cm、6cm、5cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、3+5＝8，不能组成三角形，不符合题意；
B、6+8＜15，不能够组成三角形，不符合题意；
C、3+4＜8，不能够组成三角形，不符合题意；
D、5+4＞6，能够组成三角形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
4．（2分）（2021秋•建华区校级期中）小明的爸爸买了一种股票，每股10元，如表记录了该股票一周内的涨跌情况（用正数记股价比前一日的上涨数，用负数记股价比前一日的下跌数），该股票这五天中的最高价在（　　）
星期
一
二
三
四
五
股票跌涨（元）
0.2
0.45
﹣0.25
0.2
﹣0.3
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
【考点】正数和负数．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据有理数的加法法则，可得每天的价格，根据有理数的大小比较法则，可得答案．
【解答】解：周一：10+0.2＝10.2（元），
周二：10.2+0.45＝10.65（元），
周三：10.65﹣0.25＝10.4（元），
周四：10.4+0.2＝10.6（元），
周五：10.6﹣0.3＝10.3（元），
10.65＞10.6＞10.4＞10.3＞10.2，
最高价格是10.65元，
故选：A．
【点评】此题考查了正数和负数以及有理数的加减混合运算，理清题目中的正数与负数的意义是解答本题的关键．
5．（2分）（2020•普陀区二模）下列计算中，正确的是（　　）
A．﹣22＝4 B．16＝8 C．3﹣1＝﹣3 D．（）﹣2＝4
【考点】分数指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据分数指数幂、负整数指数幂计算，判断即可．
【解答】解：A、﹣22＝﹣4，本选项计算错误；
B、16＝＝4，本选项计算错误；
C、3﹣1＝，本选项计算错误；
D、（）﹣2＝＝4，本选项计算正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是分数指数幂、负整数指数幂的运算，掌握a＝、a﹣p＝是解题的关键．
6．（2分）（2022春•小店区校级月考）如图，是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.6m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（　　）

A．0.64πm2 B．2.56πm2 C．1.44πm2 D．5.76πm2
【考点】中心投影．
【专题】投影与视图．
【分析】设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，依题意可以得到△OBC∽△OAD，然后由它们的对应边成比例可以求出地面影子的半径，这样可以求出阴影部分的面积．
【解答】解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD，
∴△OBC∽△OAD
∴＝，而OD＝3，CD＝1，
∴OC＝OD﹣CD＝3﹣1＝2，BC＝×1.6＝0.8，
∴＝，
∴AD＝1.2，
∴S⊙D＝π×1.22＝1.44πm2，
即地面上阴影部分的面积为1.44πm2．
故选：C．

【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例求出地面影子的半径，就可以求出阴影部分的面积．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2020秋•新都区校级期末）﹣2的绝对值是 　2　，的相反数是 　﹣　．
【考点】绝对值；相反数．
【专题】实数；符号意识．
【分析】根据绝对值和相反数的概念求解．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
丨﹣丨＝，
∴丨﹣丨的相反数是﹣，
故答案为：2；﹣．
【点评】本题考查绝对值和相反数概念，理解绝对值和相反数的概念是解题基础．
8．（2分）（2021春•阜南县月考）若式子有意义，则x的取值范围是　3≤x≤5　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出5﹣x≥0且x﹣3≥0，再求出组成的不等式组的解集即可．
【解答】解：要使+有意义，必须5﹣x≥0且x﹣3≥0，
解得：3≤x≤5，
即x的取值范围是3≤x≤5，
故答案为：3≤x≤5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和二次根式有意义的条件，注意：式子中x≥0．
9．（2分）（2021•道外区二模）计算：﹣＝　　．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣
＝4﹣
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解题关键．
10．（2分）（2021秋•昌江区校级期中）设方程x2＝﹣x+1的两个根是x1，x2，则4x15+10x23的取值是 　﹣42　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程的根的定义和根与系数的关系得到x12＝﹣x1+1，x22＝﹣x2+1，x1+x2＝﹣1，把4x15+10x23变形得到20（x1+x2）﹣22，代入即可求得结果．
【解答】解：∵方程x2＝﹣x+1的两个根是x1，x2，
∴x12＝﹣x1+1，x22＝﹣x2+1，x1+x2＝﹣1，
∴4x15＝4x1•x14
＝4x1（﹣x1+1）2
＝4x1（x12﹣2x1+1）
＝4x1（﹣x1+1﹣2x1+1）
＝4x1（﹣3x1+2）
＝﹣12x12+8x1
＝﹣12（﹣x1+1）+8x1
＝12x1﹣12+8x1
＝20x1﹣12；
10x23＝10x2（﹣x2+1）
＝﹣10x22+10x2
＝﹣10（﹣x2+1）+10x2
＝10x2﹣10+10x2
＝20x2﹣10；
则4x15+10x23＝20x1﹣12+20x2﹣10＝20（x1+x2）﹣22＝﹣20﹣22＝﹣42．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，根据方程的根将代数式化简是解题的关键．
11．（2分）（2021•泰兴市二模）平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），（﹣2，4），对于任意实数a，点P（a，）都不在△ABC内部，则m应满足的条件是 　m≥或m≤﹣　．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【分析】根据题意得P点在y＝上，顶点在y轴上，P不在△ABC内部，分两种情况讨论：①当y＝与BC有1个交点时，设BC所在直线解析式为：y＝kx+b（k≠0），求出△值，得到m的值；②当y＝过点A时，把A代入，得0＝×9+m，得到m的值，即可求出答案．
【解答】解：∵P（a，），
∴P点在y＝上，顶点在y轴上，
∵P不在△ABC内部，
∴有两种情况：
①当y＝与BC有1个交点时，设BC所在直线解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将B（2，0），C（﹣2，4）代入，得，
解得：，
∴BC所在直线解析式为：y＝﹣x+2，
∴x2+m＝﹣x+2，
即x2+x+（m﹣2）＝0，
∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4××（m﹣2）＝0，
解得：m＝；
②当y＝过点A时，把A代入，得0＝×9+m，
解得：m＝﹣，
∴m≥或m≤﹣．
故答案为：m≥或m≤﹣．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，分类讨论是解题的关键．
12．（2分）如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB＝∠AOC，OD⊥AC与点D．AB＝8，则OD＝　3　．

【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到AB＝AC＝8，再根据垂径定理得到AD＝CD＝4，然后根据勾股定理计算OD即可．
【解答】解：∵∠AOB＝∠AOC，
∴AB＝AC＝8，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD＝AC＝4，
在Rt△AOD中，∵AD＝4，OA＝5，
∴OD＝＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
13．（2分）（2021春•石狮市期末）将直线y＝﹣2x+3向下平移3个单位后所得到的直线与双曲线（k＜0）相交于A、B两点．若点A的坐标为（﹣2，4），则点B的坐标为 　（2，﹣4）　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力；应用意识．
【分析】将直线y＝﹣2x+3向下平移3个单位后得到直线y＝﹣2x，由正比例函数与反比例函数的对称性可得点B横坐标．
【解答】解：将直线y＝﹣2x+3向下平移3个单位后得到直线y＝﹣2x，
∵直线y＝﹣2x与双曲线 （k＜0）相交于A、B两点．
∴点A（﹣2，4）与B关于原点对称，
∴B点的坐标为（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）．
【点评】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数图象与经过原点的直线y＝mx若有两个交点，则这两个点一定关于原点对称．
14．（2分）（2012•通州区校级模拟）如图，已知AC，BC分别切⊙O于A、B，∠C＝76°，点D是优弧上任一点，则∠D＝　52　度．

【考点】切线的性质；多边形内角与外角；圆周角定理．
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质定理可以得∠OAD＝∠OBD＝90°；再根据四边形的内角和定理可以求出∠AOB，然后由圆周角定理求出∠D的度数．
【解答】解：如图，连接OA，OB；
∵AC，BC分别切⊙O于A、B，
∴∠OAD＝∠OBD＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣76°＝104°，
∴∠D＝52°．

【点评】此题综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理、圆周角定理解决问题．
15．（2分）（2021春•石城县月考）在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则∠ADO的度数是 　18°　．

【考点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由题意知点A、B、C、D为正五边形任意四个顶点，且O为正五边形中心得出∠AOB＝＝72°，继而得出∠AOD＝144°，根据OA＝OD可得答案．
【解答】解：由题意知点A、B、C、D为正五边形任意四个顶点，且O为正五边形中心，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝＝72°，
∴∠AOD＝360°﹣3∠AOB＝144°，
又∵OA＝OD，
∴∠ADO＝＝＝18°，
故答案为：18°．
【点评】本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，求出∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝72°是解题关键．
16．（2分）（2020春•泰州期末）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是　5+　．

【考点】旋转的性质；平行四边形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】计算题．
【分析】作AM⊥BC于M，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AM＝，再利用平行四边形的性质得到OA＝OC，AD∥CB，接着证明△AOE≌△COF得到AE＝CF，所以
四边形ABFE周长＝AB+BC+EF＝5+EF，利用垂线段最短可判断EF⊥BC，即EF的最小值为，四边形ABFE周长有最小值．
【解答】解：作AM⊥BC于M，如图，
∵∠ABC＝60°，
∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥CB，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
∴四边形ABFE周长＝AB+BF+EF+AE＝AB+BF+FC+EF＝AB+BC+EF＝5+EF，
当EF的值最小时，四边形ABFE周长有最小值，此时EF⊥BC，即EF的最小值为，
∴四边形ABFE周长的最小值是5+．
故答案为5+．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2019春•新抚区校级期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．1≥2+
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1求出不等式的解，再把解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：1≥2+，
去分母得6﹣3x≥12+2（x+7），
去括号得6﹣3x≥12+2x+14，
移项，合并同类项得﹣5x≥20，
系数化成1得x≤﹣4．
解集在数轴上表示出来为：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
18．（7分）（2021秋•永年区期中）解分式方程：
（1）；
（2）．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】（1）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案；
（2）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案．
【解答】解：（1）去分母：2（x+1）﹣3（x﹣1）＝x﹣3，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的解，
∴原方程的解为x＝4；
（2）去分母：x（x+2）﹣（x2﹣4）＝8，
解得：x＝2，
经检验：x＝2是增根，舍去，
∴原方程无解．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键．
19．（7分）（2021•大连）计算：•﹣．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】分式的混合运算，先算乘法，然后再算减法．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝1．
【点评】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则是解题基础．
20．（8分）（2021•杭州三模）如图，D，E为△GCF中GF边上两点，过D作AB∥CF交CE的延长线于点A，AE＝CE．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若GB＝4，BC＝6，BD＝2，求AB的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠A＝∠ECF，则可证明△ADE≌△CFE（ASA）；
（2）证明△GBD∽△GCF，由相似三角形的性质得出，求出CF＝5，由全等三角形的性质得出AD＝5，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥CF，
∴∠A＝∠ECF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA）；
（2）解：∵DB∥CF，
∴△GBD∽△GCF，
∴，
∵GB＝4，BC＝6，BD＝2，
∴GC＝GB+BC＝10，
∴，
∴CF＝5，
∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝5，
∴AB＝AD+BD＝5+2＝7．
【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）（2021•云南）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．
（1）以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；
方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．
其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 　方案三　（填写“方案一”、“方案二”或“方案三”）；
（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）
样本容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
100
83.59
95%
40%
100
52

分数段
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
5
7
18
30
40
结合上述信息解答下列问题：
①样本数据的中位数所在分数段为 　80≤x＜90　；
②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有 　626　人．
【考点】中位数；总体、个体、样本、样本容量；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；频数（率）分布表；算术平均数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；
（2）①根据中位数的定义，估计总体中位数所在的范围；
②样本中“优秀”人数占调查人数的，因此估计总体1565人的40%是“优秀”．
【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本进行调查分析，是最符合题意的．
故答案为：方案三；
（2）①样本总数为：5+7+18+30+40＝100（人），
成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在80≤x＜90，因此中位数在80≤x＜90组中；
②由题意得，1565×＝626（人），
故答案为：①80≤x＜90；②626．
【点评】本题考查抽样调查、中位数的意义，样本估计总体是统计中常用的方法．
22．（8分）（2021•长春）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明获胜的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有9种等可能的结果，小明获胜的结果有3种，
∴小明获胜的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）（2021•颍州区模拟）如图，斜立于地面的木杆AB，从点C处折断后，上半部分BC倒在地上，杆的顶部B恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，杆的底部A与点D相距5米，求木杆AB的长度．（精确到0.1米；参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）

【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．

在Rt△AED中，∠ADC＝37°，
∵cos37°＝＝≈0.8，
∴DE≈4，
∵sin37°＝＝≈0.6，
∴AE≈3，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝AE＝，
∴AC＝2CE＝2，
∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4≈9.2（米）．
答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．（8分）（2021秋•金水区校级期中）郴州市某学校组织学生到120km外的“半条被子”教育基地开展红色研学旅行，一班、二班学生分别乘坐甲、乙两辆汽车．已知甲车比乙车早出发15分钟，且以60km/h匀速行驶至终点，乙车出发后先以60km/h匀速行驶30分钟，然后提高速度，并以提高速度后的速度匀速行驶至终点，设汽车离学校的距离为y（km），甲车行驶时间为x（h），线段OA表示甲车行驶中y（km）与x（h）的函数关系，折线BCD表示乙车行驶中y（km）与x（h）的函数关系，根据图象解答下列问题：
（1）若设线段BC与CD的交点C（m，n），根据题意得：m＝　　，n＝　30　；
（2）求线段CD所在直线的函数表达式；
（3）甲、乙两车，哪辆汽车先到达终点，早到多少小时？

【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）由题意可得出m，n的值；
（2）由（1）求得的m，n的值可得C（，30），利用待定系数法即可得线段CD所在直线的函数表达式；
（3）由图象可知，乙车先到达终点，由（2）的结论可得点D的横坐标，进而得出乙车早到的时间．
【解答】解：（1）∵乙班比甲班晚出发15分钟，且乙车出发后先以60km/h匀速行驶30分钟，然后提高速度，
∴m＝，n＝，
故答案为：，30；
（2）设线段CD所在直线的函数表达式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
则线段CD所在直线的函数表达式为：y＝80x﹣30（0.75≤x≤1.875）；
（3）由图象可知，乙车先到达终点，
由（2）可得线段CD所在直线的函数表达式为y＝80x﹣30，
当y＝120时，80x﹣30＝120，
解得x＝1.875，
故乙车在甲车出发1.875小时后到达目的地，
2﹣1.875＝0.125（小时），
答：乙车先到达终点，早到0.125小时．
【点评】此题为一次函数的应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
25．（8分）（2020•雁塔区校级模拟）如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作⊙P，使它与l相切于点A（保留作图痕迹，不写作法）．

【考点】作图—复杂作图；切线的判定与性质．
【专题】作图题；尺规作图；几何直观．
【分析】利用基本作图，过P点作PA⊥l于A，再以PA为半径作圆，则l为此圆的切线．
【解答】解：如图，⊙P即为所求．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、切线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握基本作图．
26．（10分）（2018秋•思明区校级期中）二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围；
（2）若m取满足条件的最小的整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤24，求n的值．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点，可得出关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣5＝0有两个不相等的实数根，利用根的判别式Δ＞0结合二次项系数非零，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）取（1）中m的最小整数，代入y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣5中即可求得解析式，进而求得抛物线的对称轴为x＝，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤24，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点，
∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣5＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣且m≠0．

（2）∵m＞﹣且m≠0，m取其内的最小整数，
∴m＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4．
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
∵a＝1＞0，
∴当x≤时，y随x的增大而减小．
又∵n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤24，
∴n2﹣3n﹣4＝24，解得：n＝﹣4或n＝7（舍去），
故n的值为﹣4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用根的判别式Δ＞0以及二次项系数非零求出m的取值范围；（2）根据m的取值范围找出m的值，根据二次函数的单调性找出关于n的一元一次不等式．
27．（9分）如图：⊙M经过O点，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程x2﹣17x+60＝0的两根．
（1）求线段OA、OB的长；
（2）求⊙M的半径；
（3）已知点C在劣弧OA上，连接BC交OA于D，OC2＝CD•CB时，求点C的坐标．

【考点】圆的综合题．
【专题】综合题；一元二次方程及应用；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可得到OA＝12，OB＝5；
（2）由勾股定理可求出⊙M的半径；
（3）连接AB、AC、MC，MC与OA交于F，如图，由OC2＝CD•CB，∠OCD＝∠BCO，根据相似三角形的判定方法即可得到△COD∽△CBO，则∠OCA＝∠OAC，而根据圆周角定理有∠OBC＝∠OAC，所以∠CAO＝∠OAC，得到＝，根据垂径定理得MC⊥OA，OF＝AF＝OA＝6，然后根据圆周角定理由∠AOB＝90°得AB为⊙M的直径，则在Rt△AOB中，根据勾股定理可计算出AB＝13，得到MC＝，易得MF＝OB＝，则FC＝MC﹣MF＝4，于是得到C点坐标为（6，﹣4）．
【解答】解：（1）∵（x﹣12）（x﹣5）＝0，
∴x1＝12，x2＝5，
∴OA＝12，OB＝5；
（2）∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙M的直径，
在Rt△AOB中，OA＝12，OB＝5，
∴AB＝＝13，
∴MC＝，
即⊙M的半径为；
（3）如图，连接OC、AC、MC，MC与OA交于F，

∵OC2＝CD•CB，即OC：CD＝CB：OC，
而∠OCD＝∠BCO，
∴△COD∽△CBO，
∴∠OCA＝∠OBC，
∵∠OBC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴＝，
∴MC⊥OA，
∴OF＝AF＝OA＝6，
∵MF为△AOB的中位线，
∴MF＝OB＝，
∵MC＝，
∴FC＝MC﹣MF＝＝4，
∴C点坐标为（6，﹣4）．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和三角形相似的判定与性质；会解一元二次方程和利用勾股定理计算线段的长；理解坐标与图形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．