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人教版 (2019)必修 第一册5 共点力的平衡导学案
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这是一份人教版 (2019)必修 第一册5 共点力的平衡导学案，共11页。
知识点一 共点力
[情境导学]
图甲、乙、丙、丁分别画出了重力为G的木棒在力F1和F2的共同作用下处于静止状态。
观察四个图中的作用力的作用点的特点，找出它们的区别，总结什么是共点力。
提示：图丁中，三个力共同作用在同一点上；图甲中，三个力虽然不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，具有以上两个特点的力叫作共点力。
图乙、丙中的力不但没有作用在同一点上，它们的延长线也不能交于一点，所以不是共点力。
[知识梳理]
1．定义：如果一个物体受到两个或更多个力的作用，这些力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，这样的一组力叫作共点力。
2．力的合成的平行四边形定则只适用于共点力。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)共点力一定作用于物体上的同一点。(×)
(2)共点力一定作用于同一物体上。(√)
(3)作用于同一物体上的所有力都是共点力。(×)
(4)作用于不同物体上的两个力，只要作用线交于一点，就可以进行力的合成。(×)
2．[多选]关于共点力，下列说法中正确的是( )
A．作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，那么这两个力是共点力
B．作用在一个物体上的两个力，如果是一对平衡力，那么这两个力是共点力
C．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用点不在同一点上，那么这几个力也可能是共点力
D．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用线可以汇交于一点，那么这几个力是共点力
解析：选BCD 作用在一个物体上的几个力，如果作用在物体的同一点或者虽不作用在物体的同一点，但力的作用线交汇于一点，那么这几个力是共点力，所以选项C、D正确；大小相等、方向相反的力不一定作用在同一点，但一对平衡力必作用于同一物体的同一直线上，是共点力，所以选项A错误，选项B正确。
知识点二 共点力平衡的条件
[情境导学]
如图所示，斧子、酒瓶处于静止状态，它们的加速度是多少？所受合力是多少？
提示：加速度为零；所受合力为零。
[知识梳理]
1．平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动状态。
2．平衡条件：合力为0。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)竖直上抛的物体上升至最高点时v＝0，是平衡状态。(×)
(2)物体的a＝0，则物体一定处于静止状态。(×)
(3)物体的速度很大，则F合可能很大。(√)
(4)在高空高速匀速飞行的飞机上，乘客所受合力为零。(√)
2．[多选]下列实例中的物体处于平衡状态的是( )
A．“神舟”号飞船匀速落到地面的过程
B．汽车在水平路面上启动或刹车的过程
C．汽车停在斜坡上不动
D．竖直上抛的物体在到达最高点的那一瞬间
解析：选AC 物体处于平衡状态，从运动状态上来说，物体保持静止或匀速直线运动；从受力情况上来说，其所受合力为0。“神舟”号飞船匀速落到地面的过程中，飞船处于平衡状态，A正确；汽车在水平路面上启动或刹车过程中，汽车的速度在增大或减小，其加速度不为0，其所受合力不为0，所以汽车不是处于平衡状态，B错误；汽车停在斜坡上不动，速度和加速度均为0，其所受合力为0，保持静止状态不变，汽车处于平衡状态，C正确；竖直上抛的物体在到达最高点时，只是速度为0而加速度为g，物体不是处于平衡状态，D错误。
[问题探究]
如图所示，甲图中的鸟在几个力的作用下处于静止状态；乙图中的飞机在水平方向上做匀速直线运动；丙图中的照相机静止在三脚架上。
上述三个物体均在多个共点力作用下处于平衡状态，它们各自所受的作用力应满足什么条件？
提示：物体所受的合力为零，物体将保持平衡状态。
[要点归纳]
1．共点力的平衡条件：F合＝0⇒正交法表示eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Fx＝0，,Fy＝0。))
其中Fx和Fy分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
2．平衡条件的推论
(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。
(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向⇒表示三个力的有向线段首尾相接一定组成闭合的三角形，如图所示。
(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外(n－1)个力的合力等大、反向。
[例题1] 重力为G的体操运动员在进行自由体操比赛时，有如图所示的比赛动作，当运动员竖直倒立保持静止状态时，两手臂对称支撑，夹角为θ，则( )
A．当θ＝60°时，运动员单手对地面的压力大小为eq \f(G,2)
B．当θ＝120°时，运动员单手对地面的压力大小为G
C．当θ不同时，运动员受到的合力不同
D．当θ不同时，运动员与地面之间的相互作用力不相等
[解析] 运动员受力模型如图所示，地面对手的支持力F1＋F2＝G，则F1＝F2＝eq \f(G,2)，即运动员单手对地面的压力大小为eq \f(G,2)，与夹角θ无关，选项A正确，选项B错误；不管夹角如何，运动员处于静止状态，受到的合力为零，与地面之间的相互作用力总是等大，选项C、D错误。
[答案] A
[针对训练]
1．如图所示，在水平天花板上用绳AC、BC和CD吊起一个物体，使其处于静止状态，结点为C，绳子的长度分别为AC＝4 dm，BC＝3 dm，悬点A、B间距为5 dm。则AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为( )
A．40∶30∶24
B．4∶3∶5
C．3∶4∶5
D．因CD绳长未知，故无法确定
解析：选C 对三条绳的结点C进行受力分析，如图所示，由共点力平衡的条件知，AC、BC绳上拉力的合力与CD绳上的拉力等大反向。由几何关系知，AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为3∶4∶5，所以C正确。
2．节日里悬挂灯笼的一种方式如图所示，A、B两点等高，O为结点，轻绳AO、BO长度相等，拉力分别为FA、FB，灯笼受到的重力为G。下列表述正确的是( )
A．FA一定小于G
B．FA与FB大小相等
C．FA与FB大小不相等
D．FA与FB大小之和等于G
解析：选B 由A、B两点等高且轻绳AO、BO长度相等，可知FA与FB大小相等，B正确，C错误；绳子与竖直方向夹角不确定，所以拉力与重力的大小无法确定，A错误；FA与FB矢量之和等于G，不是大小之和等于G，D错误。
[问题探究]
悬挂式广告挂牌如图所示，挂牌的重力为G，两侧绳与竖直方向的夹角都为θ，挂牌保持静止，有哪些方法能确定两侧绳的拉力大小？说说你的想法。
提示：方法1：利用合成法。根据共点力平衡的条件可知，挂牌所受三个共点力的
合力为零，即任意两个力的合力与第三个力等大反向，这样就可以利用解三角形的知识，确定绳的拉力大小。
方法2：正交分解法。因为挂牌所受三个共点力的合力为零，所以将各力沿两个互相垂直的方向正交分解后，有Fx＝0，Fy＝0，由方程即可确定绳的拉力大小。
方法3：利用分解法。挂牌保持静止时，其重力有两个效果，就是沿绳使挂牌向两侧拉绳。将重力沿两侧绳的方向分解，利用解三角形的知识，也可确定绳的拉力大小。
[要点归纳]
[例题2] “风力仪”可直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力。求风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间的关系(重力加速度为g)。
[解析] 选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示。金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零。可用以下三种方法求解。
方法一：合成法
如图乙所示，风力F和拉力FT的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtan θ。
方法二：分解法
重力有两个作用效果：使金属球抵抗风的吹力和使金属丝拉紧，所以可以将重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解，如图丙所示，由几何关系可得F＝F′＝mgtan θ。
方法三：正交分解法
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图丁所示。由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即
Fx合＝FTsin θ－F＝0
Fy合＝FTcs θ－mg＝0
解得F＝mgtan θ。
[答案] F＝mgtan θ
解答共点力平衡问题的一般步骤
(1)选取研究对象，对于有相互作用的两个或两个以上的物体构成的系统，应明确所选研究对象是系统整体还是系统中的某一个物体(整体法或隔离法)。
(2)对所选研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。
(3)将力合成(适用于三个力作用下的平衡)或进行正交分解(适用于三力或多力作用下的平衡)。
(4)列平衡方程进行求解。
[针对训练]
1．如图所示，在倾角为53°的斜面上，用沿斜面向上的5 N的力拉着重4 N的木块向上做匀速运动，则斜面对木块的总作用力的方向是( )
A．垂直斜面向上 B．水平向左
C．沿斜面向下 D．竖直向上
解析：选B 由于木块匀速运动，其所受合力为0，可知斜面对木块的作用力与拉力、重力二者的合力等值反向。因拉力在竖直方向上的分力为Fsin 53°＝4 N，恰好与木块的重力平衡，可知斜面对木块的作用力一定与拉力在水平方向的分力平衡，由于拉力在水平方向上的分力向右，故斜面对木块的作用力方向一定水平向左，B正确。
2．如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ，下列关系正确的是( )
A．F＝eq \f(mg,tan θ) B．F＝mgtan θ
C．FN＝eq \f(mg,tan θ) D．FN＝mgtan θ
解析：选A 方法一：合成法
滑块受力如图所示，由平衡条件知F＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝eq \f(mg,sin θ)。
方法二：正交分解法
将小滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图所示。
则有mg＝FNsin θ，
F＝FNcs θ，
联立解得F＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝eq \f(mg,sin θ)。
“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
1．“活结”与“死结”模型
(1)“活结”：一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。
(2)“死结”：两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
2．“活杆”与“死杆”模型
(1)“活杆”：轻杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
(2)“死杆”：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂质量为m的重物。滑轮对绳子的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即死杆弹力的方向不沿杆的方向。
[示例1] 在如图所示的四幅图中，AB、BC均为轻质杆，各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链相连接。下列说法正确的是( )
A．图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、乙
B．图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、丙、丁
C．图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丙
D．图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丁
[解析] 轻绳只能产生拉力，而杆可产生拉力也可产生推力，故绳能代替杆的情况只有当杆中产生的是拉力时。题图甲、丁中AB杆中是拉力、BC杆中是推力；题图乙中两杆均是推力；题图丙两杆均是拉力，只有B正确。
[答案] B
[示例2] 如图所示，杆BC的B端用铰链连接在竖直墙上，另一端C为一滑轮。重物M上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡。若将绳的A端沿墙缓慢向下移(BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计)，则下列说法正确的是( )
A．绳的拉力增大，BC杆受绳的压力增大
B．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力增大
C．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力减小
D．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力不变
[解析] 由于绳通过滑轮连接到重物M上，属于“活结”模型，绳上各处的张力相等且大小等于重物的重力G，故绳的拉力不随绳的A端的下移而变化；根据平行四边形定则，合力在角平分线上，由于两拉力的夹角减小，故两拉力的合力不断变大，即BC杆受到绳的压力不断变大，选项B正确。
[答案] B
[示例3] 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG的一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
[解析] 题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图1、2所示，根据平衡规律可求解。
(1)图1中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g
图2中由FTEGsin 30°＝M2g，得FTEG＝2M2g。
所以eq \f(FTAC,FTEG)＝eq \f(M1,2M2)。
(2)图1中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方。
(3)图2中，根据平衡规律有FTEGsin 30°＝M2g，FTEGcs 30°＝FNG，所以FNG＝eq \f(M2g,tan 30°)＝eq \r(3)M2g，方向水平向右。
[答案] (1)eq \f(M1,2M2) (2)M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方 (3) eq \r(3)M2g，方向水平向右
1．若某一物体受共点力作用处于平衡状态，则该物体( )
A．一定是静止的
B．一定做匀速直线运动
C．所受各共点力的合力可能不为零
D．所受各共点力的合力为零
解析：选D 物体处于平衡状态时，物体可能静止或做匀速直线运动，A、B错误；物体处于平衡状态时，所受各共点力的合力一定为零，C错误，D正确。
2．如图所示，水平面上一物体在与水平面成θ角斜向右上方的拉力F作用下处于静止状态。以Ff、FN分别表示物体受到的水平面摩擦力、支持力，G表示物体受到的重力，则下列判断正确的是( )
A．F和G的合力的方向可能水平向右
B．F和Ff的合力方向竖直向上
C．FN可能为零
D．F和Ff的合力可能大于G
解析：选B 由水平方向受力平衡可知，物体一定受到水平向左的静摩擦力Ff的作用，故FN一定不为零，C选项错误；物体受四个力的作用处于平衡，则F和G的合力的方向与FN、Ff的合力方向相反，一定是斜向右下方，A选项错误；由于FN、G的合力方向竖直向下，故F和Ff的合力与FN、G的合力方向相反，一定竖直向上，且一定小于G，B选项正确，D选项错误。
3．如图所示，一只气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右。细绳与竖直方向的夹角为α，绳的拉力为FT，则风对气球作用力的大小为( )
A．eq \f(FT,sin α) B．eq \f(FT,cs α)
C．FTsin α D．FTcs α
解析：选C 气球在风中处于静止状态，受力平衡，所受合力为零，对气球受力分析得，气球受到重力、浮力、绳的拉力和水平方向上风的作用力，如图所示，由水平方向上受力平衡得F风＝FTsin α，A、B、D错误，C正确。
4．如图，在倾角为37°的斜面上，一质量为10 kg的物块恰好沿斜面匀速下滑，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0．6，求：
(1)物块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)若用力拉着物块沿斜面匀速上滑，求拉力F的大小。
解析：(1)把重力正交分解，如图所示，由平衡条件知
mgsin 37°＝Ff
FN＝mgcs 37°
Ff＝μFN
联立以上三式解得μ＝tan 37°＝0．75。
(2)由平衡条件知F＝mgsin 37°＋Ff＝mgsin 37°＋μmgcs 37°＝120 N。
答案：(1)0．75 (2)120 N
物理
观念
通过阅读课本，知道什么是共点力，理解共点力平衡的条件。
科学
思维
(1)能利用合成法、分解法、图解法解决三力平衡及动态平衡问题。
(2)能利用正交分解法处理多力平衡及动态平衡问题。
对平衡条件的理解及应用
解决共点力平衡的三种常用方法
合成法
物体在三个共点力作用下处于平衡时，将其中的任意两个力合成，其合力一定与第三个力平衡，从而把三力平衡问题转化为二力平衡问题
分解法
物体在三个共点力作用下处于平衡时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，则每个方向上的一对力大小相等，方向相反，从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题
正交分解法
物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡时，将物体所受的各个力均向两个互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列平衡方程。此时平衡条件可表示为：Fx合＝0，Fy合＝0
知识点一 共点力
[情境导学]
图甲、乙、丙、丁分别画出了重力为G的木棒在力F1和F2的共同作用下处于静止状态。
观察四个图中的作用力的作用点的特点，找出它们的区别，总结什么是共点力。
提示：图丁中，三个力共同作用在同一点上；图甲中，三个力虽然不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，具有以上两个特点的力叫作共点力。
图乙、丙中的力不但没有作用在同一点上，它们的延长线也不能交于一点，所以不是共点力。
[知识梳理]
1．定义：如果一个物体受到两个或更多个力的作用，这些力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，这样的一组力叫作共点力。
2．力的合成的平行四边形定则只适用于共点力。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)共点力一定作用于物体上的同一点。(×)
(2)共点力一定作用于同一物体上。(√)
(3)作用于同一物体上的所有力都是共点力。(×)
(4)作用于不同物体上的两个力，只要作用线交于一点，就可以进行力的合成。(×)
2．[多选]关于共点力，下列说法中正确的是( )
A．作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，那么这两个力是共点力
B．作用在一个物体上的两个力，如果是一对平衡力，那么这两个力是共点力
C．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用点不在同一点上，那么这几个力也可能是共点力
D．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用线可以汇交于一点，那么这几个力是共点力
解析：选BCD 作用在一个物体上的几个力，如果作用在物体的同一点或者虽不作用在物体的同一点，但力的作用线交汇于一点，那么这几个力是共点力，所以选项C、D正确；大小相等、方向相反的力不一定作用在同一点，但一对平衡力必作用于同一物体的同一直线上，是共点力，所以选项A错误，选项B正确。
知识点二 共点力平衡的条件
[情境导学]
如图所示，斧子、酒瓶处于静止状态，它们的加速度是多少？所受合力是多少？
提示：加速度为零；所受合力为零。
[知识梳理]
1．平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动状态。
2．平衡条件：合力为0。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)竖直上抛的物体上升至最高点时v＝0，是平衡状态。(×)
(2)物体的a＝0，则物体一定处于静止状态。(×)
(3)物体的速度很大，则F合可能很大。(√)
(4)在高空高速匀速飞行的飞机上，乘客所受合力为零。(√)
2．[多选]下列实例中的物体处于平衡状态的是( )
A．“神舟”号飞船匀速落到地面的过程
B．汽车在水平路面上启动或刹车的过程
C．汽车停在斜坡上不动
D．竖直上抛的物体在到达最高点的那一瞬间
解析：选AC 物体处于平衡状态，从运动状态上来说，物体保持静止或匀速直线运动；从受力情况上来说，其所受合力为0。“神舟”号飞船匀速落到地面的过程中，飞船处于平衡状态，A正确；汽车在水平路面上启动或刹车过程中，汽车的速度在增大或减小，其加速度不为0，其所受合力不为0，所以汽车不是处于平衡状态，B错误；汽车停在斜坡上不动，速度和加速度均为0，其所受合力为0，保持静止状态不变，汽车处于平衡状态，C正确；竖直上抛的物体在到达最高点时，只是速度为0而加速度为g，物体不是处于平衡状态，D错误。
[问题探究]
如图所示，甲图中的鸟在几个力的作用下处于静止状态；乙图中的飞机在水平方向上做匀速直线运动；丙图中的照相机静止在三脚架上。
上述三个物体均在多个共点力作用下处于平衡状态，它们各自所受的作用力应满足什么条件？
提示：物体所受的合力为零，物体将保持平衡状态。
[要点归纳]
1．共点力的平衡条件：F合＝0⇒正交法表示eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Fx＝0，,Fy＝0。))
其中Fx和Fy分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
2．平衡条件的推论
(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。
(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向⇒表示三个力的有向线段首尾相接一定组成闭合的三角形，如图所示。
(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外(n－1)个力的合力等大、反向。
[例题1] 重力为G的体操运动员在进行自由体操比赛时，有如图所示的比赛动作，当运动员竖直倒立保持静止状态时，两手臂对称支撑，夹角为θ，则( )
A．当θ＝60°时，运动员单手对地面的压力大小为eq \f(G,2)
B．当θ＝120°时，运动员单手对地面的压力大小为G
C．当θ不同时，运动员受到的合力不同
D．当θ不同时，运动员与地面之间的相互作用力不相等
[解析] 运动员受力模型如图所示，地面对手的支持力F1＋F2＝G，则F1＝F2＝eq \f(G,2)，即运动员单手对地面的压力大小为eq \f(G,2)，与夹角θ无关，选项A正确，选项B错误；不管夹角如何，运动员处于静止状态，受到的合力为零，与地面之间的相互作用力总是等大，选项C、D错误。
[答案] A
[针对训练]
1．如图所示，在水平天花板上用绳AC、BC和CD吊起一个物体，使其处于静止状态，结点为C，绳子的长度分别为AC＝4 dm，BC＝3 dm，悬点A、B间距为5 dm。则AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为( )
A．40∶30∶24
B．4∶3∶5
C．3∶4∶5
D．因CD绳长未知，故无法确定
解析：选C 对三条绳的结点C进行受力分析，如图所示，由共点力平衡的条件知，AC、BC绳上拉力的合力与CD绳上的拉力等大反向。由几何关系知，AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为3∶4∶5，所以C正确。
2．节日里悬挂灯笼的一种方式如图所示，A、B两点等高，O为结点，轻绳AO、BO长度相等，拉力分别为FA、FB，灯笼受到的重力为G。下列表述正确的是( )
A．FA一定小于G
B．FA与FB大小相等
C．FA与FB大小不相等
D．FA与FB大小之和等于G
解析：选B 由A、B两点等高且轻绳AO、BO长度相等，可知FA与FB大小相等，B正确，C错误；绳子与竖直方向夹角不确定，所以拉力与重力的大小无法确定，A错误；FA与FB矢量之和等于G，不是大小之和等于G，D错误。
[问题探究]
悬挂式广告挂牌如图所示，挂牌的重力为G，两侧绳与竖直方向的夹角都为θ，挂牌保持静止，有哪些方法能确定两侧绳的拉力大小？说说你的想法。
提示：方法1：利用合成法。根据共点力平衡的条件可知，挂牌所受三个共点力的
合力为零，即任意两个力的合力与第三个力等大反向，这样就可以利用解三角形的知识，确定绳的拉力大小。
方法2：正交分解法。因为挂牌所受三个共点力的合力为零，所以将各力沿两个互相垂直的方向正交分解后，有Fx＝0，Fy＝0，由方程即可确定绳的拉力大小。
方法3：利用分解法。挂牌保持静止时，其重力有两个效果，就是沿绳使挂牌向两侧拉绳。将重力沿两侧绳的方向分解，利用解三角形的知识，也可确定绳的拉力大小。
[要点归纳]
[例题2] “风力仪”可直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力。求风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间的关系(重力加速度为g)。
[解析] 选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示。金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零。可用以下三种方法求解。
方法一：合成法
如图乙所示，风力F和拉力FT的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtan θ。
方法二：分解法
重力有两个作用效果：使金属球抵抗风的吹力和使金属丝拉紧，所以可以将重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解，如图丙所示，由几何关系可得F＝F′＝mgtan θ。
方法三：正交分解法
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图丁所示。由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即
Fx合＝FTsin θ－F＝0
Fy合＝FTcs θ－mg＝0
解得F＝mgtan θ。
[答案] F＝mgtan θ
解答共点力平衡问题的一般步骤
(1)选取研究对象，对于有相互作用的两个或两个以上的物体构成的系统，应明确所选研究对象是系统整体还是系统中的某一个物体(整体法或隔离法)。
(2)对所选研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。
(3)将力合成(适用于三个力作用下的平衡)或进行正交分解(适用于三力或多力作用下的平衡)。
(4)列平衡方程进行求解。
[针对训练]
1．如图所示，在倾角为53°的斜面上，用沿斜面向上的5 N的力拉着重4 N的木块向上做匀速运动，则斜面对木块的总作用力的方向是( )
A．垂直斜面向上 B．水平向左
C．沿斜面向下 D．竖直向上
解析：选B 由于木块匀速运动，其所受合力为0，可知斜面对木块的作用力与拉力、重力二者的合力等值反向。因拉力在竖直方向上的分力为Fsin 53°＝4 N，恰好与木块的重力平衡，可知斜面对木块的作用力一定与拉力在水平方向的分力平衡，由于拉力在水平方向上的分力向右，故斜面对木块的作用力方向一定水平向左，B正确。
2．如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ，下列关系正确的是( )
A．F＝eq \f(mg,tan θ) B．F＝mgtan θ
C．FN＝eq \f(mg,tan θ) D．FN＝mgtan θ
解析：选A 方法一：合成法
滑块受力如图所示，由平衡条件知F＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝eq \f(mg,sin θ)。
方法二：正交分解法
将小滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图所示。
则有mg＝FNsin θ，
F＝FNcs θ，
联立解得F＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝eq \f(mg,sin θ)。
“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
1．“活结”与“死结”模型
(1)“活结”：一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。
(2)“死结”：两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
2．“活杆”与“死杆”模型
(1)“活杆”：轻杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
(2)“死杆”：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂质量为m的重物。滑轮对绳子的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即死杆弹力的方向不沿杆的方向。
[示例1] 在如图所示的四幅图中，AB、BC均为轻质杆，各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链相连接。下列说法正确的是( )
A．图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、乙
B．图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、丙、丁
C．图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丙
D．图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丁
[解析] 轻绳只能产生拉力，而杆可产生拉力也可产生推力，故绳能代替杆的情况只有当杆中产生的是拉力时。题图甲、丁中AB杆中是拉力、BC杆中是推力；题图乙中两杆均是推力；题图丙两杆均是拉力，只有B正确。
[答案] B
[示例2] 如图所示，杆BC的B端用铰链连接在竖直墙上，另一端C为一滑轮。重物M上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡。若将绳的A端沿墙缓慢向下移(BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计)，则下列说法正确的是( )
A．绳的拉力增大，BC杆受绳的压力增大
B．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力增大
C．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力减小
D．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力不变
[解析] 由于绳通过滑轮连接到重物M上，属于“活结”模型，绳上各处的张力相等且大小等于重物的重力G，故绳的拉力不随绳的A端的下移而变化；根据平行四边形定则，合力在角平分线上，由于两拉力的夹角减小，故两拉力的合力不断变大，即BC杆受到绳的压力不断变大，选项B正确。
[答案] B
[示例3] 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG的一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
[解析] 题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图1、2所示，根据平衡规律可求解。
(1)图1中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g
图2中由FTEGsin 30°＝M2g，得FTEG＝2M2g。
所以eq \f(FTAC,FTEG)＝eq \f(M1,2M2)。
(2)图1中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方。
(3)图2中，根据平衡规律有FTEGsin 30°＝M2g，FTEGcs 30°＝FNG，所以FNG＝eq \f(M2g,tan 30°)＝eq \r(3)M2g，方向水平向右。
[答案] (1)eq \f(M1,2M2) (2)M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方 (3) eq \r(3)M2g，方向水平向右
1．若某一物体受共点力作用处于平衡状态，则该物体( )
A．一定是静止的
B．一定做匀速直线运动
C．所受各共点力的合力可能不为零
D．所受各共点力的合力为零
解析：选D 物体处于平衡状态时，物体可能静止或做匀速直线运动，A、B错误；物体处于平衡状态时，所受各共点力的合力一定为零，C错误，D正确。
2．如图所示，水平面上一物体在与水平面成θ角斜向右上方的拉力F作用下处于静止状态。以Ff、FN分别表示物体受到的水平面摩擦力、支持力，G表示物体受到的重力，则下列判断正确的是( )
A．F和G的合力的方向可能水平向右
B．F和Ff的合力方向竖直向上
C．FN可能为零
D．F和Ff的合力可能大于G
解析：选B 由水平方向受力平衡可知，物体一定受到水平向左的静摩擦力Ff的作用，故FN一定不为零，C选项错误；物体受四个力的作用处于平衡，则F和G的合力的方向与FN、Ff的合力方向相反，一定是斜向右下方，A选项错误；由于FN、G的合力方向竖直向下，故F和Ff的合力与FN、G的合力方向相反，一定竖直向上，且一定小于G，B选项正确，D选项错误。
3．如图所示，一只气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右。细绳与竖直方向的夹角为α，绳的拉力为FT，则风对气球作用力的大小为( )
A．eq \f(FT,sin α) B．eq \f(FT,cs α)
C．FTsin α D．FTcs α
解析：选C 气球在风中处于静止状态，受力平衡，所受合力为零，对气球受力分析得，气球受到重力、浮力、绳的拉力和水平方向上风的作用力，如图所示，由水平方向上受力平衡得F风＝FTsin α，A、B、D错误，C正确。
4．如图，在倾角为37°的斜面上，一质量为10 kg的物块恰好沿斜面匀速下滑，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0．6，求：
(1)物块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)若用力拉着物块沿斜面匀速上滑，求拉力F的大小。
解析：(1)把重力正交分解，如图所示，由平衡条件知
mgsin 37°＝Ff
FN＝mgcs 37°
Ff＝μFN
联立以上三式解得μ＝tan 37°＝0．75。
(2)由平衡条件知F＝mgsin 37°＋Ff＝mgsin 37°＋μmgcs 37°＝120 N。
答案：(1)0．75 (2)120 N
物理
观念
通过阅读课本，知道什么是共点力，理解共点力平衡的条件。
科学
思维
(1)能利用合成法、分解法、图解法解决三力平衡及动态平衡问题。
(2)能利用正交分解法处理多力平衡及动态平衡问题。
对平衡条件的理解及应用
解决共点力平衡的三种常用方法
合成法
物体在三个共点力作用下处于平衡时，将其中的任意两个力合成，其合力一定与第三个力平衡，从而把三力平衡问题转化为二力平衡问题
分解法
物体在三个共点力作用下处于平衡时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，则每个方向上的一对力大小相等，方向相反，从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题
正交分解法
物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡时，将物体所受的各个力均向两个互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列平衡方程。此时平衡条件可表示为：Fx合＝0，Fy合＝0
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