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人教版 (2019)必修 第一册第三章 相互作用——力5 共点力的平衡导学案
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这是一份人教版 (2019)必修 第一册第三章 相互作用——力5 共点力的平衡导学案，文件包含35共点力的平衡原卷版docx、35共点力的平衡解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共32页， 欢迎下载使用。
第5节 共点力的平衡
一、知识点归纳
知识点一 对平衡状态的理解
(1)两种平衡状态：共点力作用下的平衡状态包括静止状态和匀速直线运动状态．
(2)“静止”和“v＝0”的区别与联系
v＝0eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0时，是静止，是平衡状态,a≠0时，不是平衡状态))
总之，平衡状态是指a＝0的状态．
（3）．共点力平衡的条件
表达式：F合＝0．
知识点二 解决平衡问题常用方法
1．处理静态平衡问题的常用方法
2.解决共点力作用下物体平衡问题的一般思路
知识点三 动态平衡问题
1．动态平衡：“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡．
2．分析动态平衡问题的方法
二、题型分析
题型一 对共点力平衡条件的理解
【例1】(2019-2020学年·昆明高一检测)物体受共点力作用，下列说法正确的是( )
A．物体的速度等于零，物体就一定处于平衡状态
B．物体相对另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态
C．物体所受合力为零时，就一定处于平衡状态
D．物体做匀加速运动时，物体处于平衡状态
【答案】C
【解析】处于平衡状态的物体，从运动形式上看是处于静止或匀速直线运动状态，从受力上来看，物体所受合外力为零．速度为零的物体，受力不一定为零，故不一定处于平衡状态，选项A错；物体相对于另一物体静止时，该物体相对地面不一定静止，如当另一物体做变速运动时，该物体也做变速运动，此物体处于非平衡状态，故选项B错；选项C符合平衡条件，为正确选项；物体做匀加速运动，所受合力不为零，故不是平衡状态，选项D错．
【变式】(2019-2020学年·成都高一期末)(多选)关于共点力，下列说法中正确的有( )
A．作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，那么这两个力是共点力
B．作用在一个物体上的两个力，如果是一对平衡力，那么这两个力是共点力
C．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用点不在同一点上，那么这几个力也可能是共点力
D．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用线可以汇交于一点，那么这几个力是共点力
【答案】BCD.
【解析】：作用在一个物体上的几个力，如果作用在物体的同一点或者虽不作用在物体的同一点，但力的作用线交汇于一点，那么这几个力是共点力，所以选项C、D正确；大小相等、方向相反的力不一定作用在同一点，但一对平衡力必作用于同一物体的同一直线上，是共点力，所以选项A错误，选项B正确．
题型二 求解平衡问题常用方法
【例2】(2019-2020学年·宜昌高一检测)如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心．一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ.下列关系正确的是( )
A．F＝eq \f(mg,tan θ)B．F＝mgtan θ
C．FN＝eq \f(mg,tan θ)D．FN＝mgtan θ
【答案】A.
【解析】：法一：合成法
滑块受力如图甲，由平衡条件知：eq \f(mg,F)＝tan θ，eq \f(mg,FN)＝sin θ⇒F＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝eq \f(mg,sin θ).
法二：效果分解法
将重力按产生的效果分解，如图乙所示，F＝G2＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝G1＝eq \f(mg,sin θ).
法三：正交分解法
将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，mg＝FNsin θ，F＝FNcs θ，联立解得：F＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝eq \f(mg,sin θ).
法四：封闭三角形法
如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得：F＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝eq \f(mg,sin θ).
【变式】在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示．仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球．无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度．风力越大，偏角越大．通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力．那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？
【答案】F＝mgtan θ
【解析】选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示．金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零．可用以下四种方法求解．
法一：力的合成法
如图乙所示，风力F和拉力FT的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtan θ.
法二：效果分解法
重力有两个作用效果：使金属球抵抗风的吹力和使金属丝拉紧，所以可以将重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解，如图丙所示，由几何关系可得F＝F′＝mgtan θ.
法三：正交分解法
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图丁所示．由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即
Fx合＝FTsin θ－F＝0
Fy合＝FTcs θ－mg＝0
解得F＝mgtan θ.
法四：三角形法
三个力的示意图首尾相连构成一个直角三角形，如图戊所示，由三角函数可求得F＝mgtan θ.
由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关．因此，偏角θ的大小就可以指示出风力的大小．
题型三 动态平衡问题
【例3】(2019-2020学年·湖南衡阳高一月考)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态．如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变 B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小 D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
【答案】AB
【解析】如图所示
两个绳子是对称的，与竖直方向夹角是相等的．假设绳子的长度为x，两竖直杆间的距离为L，则xcs θ＝L，绳子一端在上下移动的时候，绳子的长度不变，两杆之间的距离不变，则θ角度不变；两个绳子的合力向上，大小等于衣服的重力，由于夹角不变，所以绳子的拉力不变，A正确，C错误；当杆向右移动后，根据xcs θ＝L，即L变大，绳长不变，所以θ角度减小，绳子与竖直方向的夹角变大，绳子的拉力变大，B正确；绳长和两杆距离不变的情况下，θ不变，所以挂的衣服质量变化，不会影响悬挂点的移动，D错误．
【例4】如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是( )
A．FN保持不变，FT不断增大 B．FN不断增大，FT不断减小
C．FN保持不变，FT先增大后减小 D．FN不断增大，FT先减小后增大
【答案】D
【解析】如图所示，先对小球进行受力分析，重力mg、支持力FN、拉力FT组成一个闭合的矢量三角形，由于重力不变、支持力FN方向不变，斜面向左移动的过程中，拉力FT与水平方向的夹角β减小，当FT⊥FN时，细绳的拉力FT最小，由图可知，随β的减小，斜面的支持力FN不断增大，FT先减小后增大，故选项D正确，A、B、C错误．
【例5】光滑半球面上的小球被一通过定滑轮的力F由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析绳的拉力F及半球面对小球的支持力FN的变化情况(如图所示)．
【答案】F减小 FN不变
【解析】如图所示作出小球的受力示意图
注意弹力FN总与球面垂直，从图中可得到相似三角形．
设球体半径为R，定滑轮到球面最高点的距离为h，定滑轮与小球间绳长为L，根据三角形相似得
eq \f(F,L)＝eq \f(mg,h＋R)，
eq \f(FN,R)＝eq \f(mg,h＋R)
由以上两式得绳中的张力F＝mgeq \f(L,h＋R)
球面的弹力FN＝mgeq \f(R,h＋R)
由于在拉动过程中h、R不变，L变小，故F减小，FN不变．
【方法总结】动态平衡问题的常见解题思路：适用于三力平衡问题
(1)若已知一个力不变，另一个力F1方向不变大小变，则用三角形法(或图解法)处理问题，另一个力F2有最小值的条件为F1⊥F2.
(2)若已知一个力不变，另一个力大小不变方向变，则用画图法处理问题．
(3)若已知一个力不变，另一个力大小、方向都变，则采用相似三角形法处理问题．解决问题时，要寻找一个力的三角形和一个边的三角形，根据对应边比例相等求解．
三、课堂检测
1.(2019-2020学年·集宁高一校级月考)如图所示，人站在自动扶梯的水平踏板上，随扶梯斜向上匀速运动，不计空气阻力，以下说法正确的是( )
A．人受到重力和支持力的作用 B．人受到重力、支持力和摩擦力的作用
C．人的重力和人对踏板的压力是一对平衡力 D．人对踏板的压力就是人的重力
【答案】A.
【解析】：人站在自动扶梯上，人受到竖直向下的重力作用和竖直向上的支持力作用，人相对于扶梯是静止的，没有运动也没有运动趋势，人不受摩擦力作用，故A正确，B错误；重力和支持力是一对平衡力，人的重力和人对踏板的压力不是平衡力，C错误；人对踏板的压力属于弹力，人的重力是万有引力，二者是不同性质的力，故D错误．
2．(多选)(2019-2020学年·湖北八校联考)如图所示，A、B两球质量均为m，固定在轻弹簧的两端，分别用细绳悬于O点，其中球A处在光滑竖直墙面和光滑水平墙面的交界处，已知两球均处于平衡状态，OAB恰好构成一个正三角形，则下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．球A可能受到四个力的作用 B．弹簧对球A的弹力大于对球B的弹力
C．绳OB对球B的拉力大小一定等于mg D．绳OA对球A的拉力大小等于或小于1.5mg
【答案】ACD.
【解析】：对球B受力分析，据共点力平衡可知弹簧和绳对球B的作用力大小均为mg，选项C正确；对同一弹簧而言，产生的弹力处处相等，故弹簧对球A的弹力等于对球B的弹力，选项B错误；对球A分析可知，一定受重力、弹簧的弹力、墙面的支持力作用，可能受地面的支持力和绳的拉力，地面的支持力和绳的拉力也可能有一个为0，当地面对球A的支持力为0时，绳上的拉力最大，等于重力和弹簧竖直方向的分力之和，即1.5mg，故选项A、D正确．
3.如图所示，两根等长的绳子AB和BC在结点B吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC拉力的变化情况是( )
A．增大 B．先减小后增大
C．减小D．先增大后减小
【答案】B
【解析】：以结点B为研究对象，分析受力情况，根据三力平衡条件知
绳AB的拉力TAB与绳子BC的拉力TBC的合力与重力大小相等、方向相反．作出绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向过程中多个位置力的合成图，由几何知识得，绳子BC拉力先减小后增大．
4．如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物．现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前( )
A．BC绳中的拉力FT越来越大 B．BC绳中的拉力FT越来越小
C．AC杆中的支撑力FN越来越大 D．AC杆中的支撑力FN越来越小
【答案】B.
【解析】：作出C点的受力示意图，如图所示
由图可知力的矢量三角形与几何三角形ABC相似．根据相似三角形的性质得eq \f(FT,BC)＝eq \f(FN,AC)＝eq \f(G,AB)，解得BC绳中的拉力为FT＝Geq \f(BC,AB)，AC杆中的支撑力为FN＝Geq \f(AC,AB).由于重物P向上运动时，AB、AC不变，BC变小，故FT减小，FN不变．选项B正确．
5.如图所示，一条不可伸长的轻质细绳一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物，悬挂点为d，另一端与另一轻质细绳相连于c点，ac＝eq \f(l,2)，c点悬挂质量为m2的重物，平衡时ac正好水平，此时d点正好与ac在同一水平线上，且到b点的距离为l，到a点的距离为eq \f(5,4)l，则两重物的质量的比值eq \f(m1,m2)为( )
A.eq \f(5,2) B．2
C.eq \f(5,4) D.eq \f(3,5)
【答案】C.
【解析】：法一：合成法
因c点处于平衡状态，所以任意两个力的合力均与第三个力大小相等，方向相反，如图甲所示，根据平行四边形定则将力F与m1g合成，则sin θ＝eq \f(m2g,m1g)，而sin θ＝eq \f(l,\r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3l,4)))\s\up12(2)))＝eq \f(4,5)，所以eq \f(m1,m2)＝eq \f(5,4)，选项C正确．
法二：分解法
因c点处于平衡状态，所以可在F、m1g方向上分解m2g，如图乙所示，则同样有sin θ＝eq \f(m2g,m1g)，所以eq \f(m1,m2)＝eq \f(5,4)，选项C正确．
法三：正交分解法
将倾斜绳拉力m1g沿竖直方向和水平方向分解，如图丙所示，则m1g·sin θ＝m2g，同样可得eq \f(m1,m2)＝eq \f(5,4)，选项C正确．
四、课后提升作业
一、选择题
1.(2019-2020学年·绥化高一联考)L形木板P(上表面光滑)放在固定斜面上，轻质弹簧一端固定在木板上，另一端与置于木板上表面的滑块Q相连，如图所示．若P、Q一起沿斜面匀速下滑，不计空气阻力．则木板P的受力个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C.
【解析】：P、Q一起沿斜面匀速下滑时，木板P的上表面光滑，整体分析，受力平衡，受重力、斜面支持力、斜面的摩擦力；隔离滑块Q分析受力，受到三个力：重力、P对Q的支持力、弹簧对Q沿斜面向上的弹力；再隔离木板P分析受力：P的重力、Q对P的压力、弹簧对P沿斜面向下的弹力、斜面对P的支持力、斜面对P的摩擦力，故选项C正确．
2．(2019-2020学年·四川彭州中学月考)如图所示，a、b两个质量相同的球用线连接，a球用线挂在天花板上，b球放在光滑斜面上，系统保持静止，以下图示哪个是正确的( )
【答案】B.
【解析】：对b球受力分析，受重力、垂直斜面向上的支持力和细线的拉力，由于三力平衡时三个力中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故细线拉力向右上方，故A图错误；再对a、b两个球整体受力分析，受总重力、垂直斜面向上的支持力和上面细线的拉力，再次根据共点力平衡条件判断，上面的细线的拉力方向斜向右上方，故C、D图均错误．
3.倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上．下列结论正确的是( )
A．木块受到的摩擦力大小是mgcs α B．木块对斜面体的压力大小是mgsin α
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsin αcs α D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
【答案】D.
【解析】：以木块为研究对象，如图甲所示，有Ff＝mgsin α，FN＝mgcs α，故选项A、B均错误；以木块与斜面体所组成的整体为研究对象，如图乙所示，有Ff桌＝0，FN桌＝(M＋m)g，故选项C错误，D正确．
4．（多选）如图所示，一木板B放在水平面上，木块A放在木板B的上面，A的右端通过一不可伸长的轻绳固定在直立墙壁上．用力F向左拉动木板B，使它以速度v做匀速直线运动，这时轻绳的张力为FT.下列说法中正确的是( )
A．木板B受到的滑动摩擦力大小等于F B．水平面受到的滑动摩擦力大小等于FT
C．木块A受到的滑动摩擦力大小等于FT D．若木板B以2v的速度匀速运动，则拉力等于2F
【答案】AC.
【解析】：由于木板B匀速向左运动，所以木板B受到木块A及地面的滑动摩擦力的合力大小等于F；水平面受到的滑动摩擦力大小等于F－FT，对木块A受力分析知，木块A受到的滑动摩擦力大小等于FT；若木板B以2v的速度匀速运动，则拉力仍等于F，故选项A、C正确．
5.（多选）有一堆砂子在水平面上堆成圆锥形，稳定时底角为α，如图所示．如果视每粒砂子完全相同，砂子与砂子之间，砂子与地面之间的动摩擦因数均为μ，砂子之间的最大静摩擦力可近似认为与滑动摩擦力相等，以下说法正确的是( )
A．砂子稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零
B．砂子稳定时，只有形成严格规则的圆锥底面受到地面的摩擦力才为零
C．砂子稳定形成的圆锥底角最大时，tan α＝μ
D．砂子稳定形成的圆锥底角最大时，sin α＝μ
【答案】AC.
【解析】：把所有砂子看成一个整体，对整体受力分析，由水平方向合力为零可得，砂子稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零，与形状无关，故A正确，B错误；取斜面上的一粒质量为m的砂子为研究对象，若砂子恰好平衡，则倾角α最大，砂子受力平衡，根据平衡条件得：mgsin α＝μmgcs α，得tan α＝μ，故C正确，D错误．
6.(2019-2020学年·哈三中期中)如图所示，两段等长细线分别连接着两个质量相等的小球a、b，悬挂于O点．现在两个小球上分别加上水平方向的外力，其中作用在b球上的力大小为F、作用在a球上的力大小为2F，则此装置平衡时的位置可能是下列哪幅图( )
【答案】B.
【解析】：设每个球的质量为m，Oa与ab和竖直方向的夹角分别为α、β.
以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力情况，如图1，根据平衡条件可知，Oa绳的方向不可能沿竖直方向，否则整体的合力不为零，不能保持平衡．由平衡条件得：tan α＝eq \f(F,2mg)，以b球为研究对象，分析受力情况，如图2，由平衡条件得：tan β＝eq \f(F,mg)，则α＜β，故B正确．
7.如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为( )
A.eq \r(3)∶4 B．4∶eq \r(3)
C．1∶2D．2∶1
【答案】D.
【解析】：将两小球及弹簧B视为整体进行受力分析有
FC＝FAsin 30°
FC＝kxC
FA＝kxA
eq \f(FA,FC)＝eq \f(1,sin 30°)＝2∶1
eq \f(xA,xC)＝2∶1
故D正确，A、B、C错误．
8.（多选）一根长为L的易断的均匀细绳，两端固定在天花板上的A、B两点．若在细绳的C处悬一重物，已知AC>CB，如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．增加重物的重力，BC段先断 B．增加重物的重力，AC段先断
C．将A端往左移时绳子容易断 D．将A端往右移时绳子容易断
【答案】AC.
【解析】：研究C点，C点受重物的拉力，其大小FT＝G.将重物对C点的拉力分解为对AC和BC两段绳的拉力，其力的平行四边形如图所示．
在△ABC中，因为AC>BC，所以α>β，因此FBC>FAC.当增加重力G时，FBC、FAC按比例增加，FBC增大得较多，所以BC段绳先断，因此选项A正确，B错误；将A端往左移时，FBC与FAC两力夹角变大，合力FT一定，则两分力FBC与FAC均增大，将A端往右移时两分力夹角减小，两分力也减小，由此可知选项C正确，D错误．
9.（多选）(2019-2020学年·效实中学高一期末)在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态．现对B加一竖直向下的力F, F的作用线通过球心，设B对墙的作用力为F1，B对A的作用力为F2，地面对A的摩擦力为F3，地面对A的支持力为F4.若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，则在此过程中 ( )
A．F1保持不变，F4保持不变 B．F1缓慢增大，F4缓慢增大
C．F2缓慢增大，F3缓慢增大 D．F2缓慢增大，F3保持不变
【答案】BC.
【解析】：以B球为研究对象，将F与B的重力GB的合力按效果进行分解，如图，设BA连线与竖直方向夹角为α，由平衡条件得：B对墙的作用力：F1＝(F＋GB)tan α，当F增大时，F1缓慢增大；B对A的作用力：F2＝eq \f(F1,sin α)，F1缓慢增大，则F2缓慢增大；再以整体为研究对象，根据平衡条件，则有：地面对A的支持力F4＝GA＋GB＋F，F增大则F4缓慢增大；地面对A的摩擦力F3＝F1，由前面分析F1增大则F3缓慢增大．
10．如图所示，内壁及碗口光滑的半球形碗固定在水平面上，碗口保持水平．A球、C球与B球分别用两根轻质细线连接，当系统保持静止时，B球对碗壁刚好无压力，图中θ＝30°，则A球、C球的质量之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶eq \r(3) D.eq \r(3)∶1
【答案】C.
【解析】：
设A球、C球的质量分别mA、mC.由几何知识可知，两细线相互垂直．由A、C两球平衡得T1＝mAg，T2＝mCg.以B球为研究对象，分析受力情况：受重力G、两细线的拉力T1、T2.由平衡条件得T1＝T2tan θ 得eq \f(T1,T2)＝tan θ＝eq \f(1,\r(3))，则得eq \f(mA,mC)＝eq \f(T1,T2)＝eq \f(1,\r(3)) .
11.(2019-2020学年·长沙模拟)如图所示，质量不等的盒子A和物体B用细绳相连，跨过光滑的定滑轮，A置于倾角为θ的斜面上，与斜面间的动摩擦因数μ＝tan θ，B悬于斜面之外而处于静止状态．现向A中缓慢加入砂子，下列说法正确的是( )
A．绳子拉力逐渐减小
B．A对斜面的压力逐渐增大
C．A所受的摩擦力一定逐渐增大
D．A可能沿斜面下滑
【答案】B.
【解析】：当mAgsin θ＞mBg时，对A受力分析，由平衡条件有：mAgsin θ＝Ff＋mBg，随mA的增大，摩擦力不断增大；当mAgsin θ＜mBg时，由平衡条件有：mAgsin θ＋Ff＝mBg，随mA的增大，摩擦力不断减小，C项错；在垂直斜面方向上，始终有：FN＝mAgcs θ，因此随着不断加入砂子，A对斜面的压力不断增大，B项对；由μ＝tan θ，可知最大静摩擦力Ffmax＝μmAgcs θ＝mAgsin θ，故增加的重力的分力与增加的摩擦力大小相等，方向相反，故A不会滑动，保持静止，D项错；绳子所受拉力等于B的重力，故拉力保持不变，A项错．
12.(2019-2020学年·河北高一模拟)如图，一不可伸长的光滑轻绳，其左端固定于O点，右端跨过位于O′点的固定光滑轴悬挂一质量为M的物体；OO′段水平，长度为L；绳子上套一可沿绳滑动的轻环．现在轻环上悬挂一钩码，平衡后，物体上升L，则钩码的质量为( )
A.eq \f(\r(2),2)M B.eq \f(\r(3),2)M
C.eq \r(2)M D.eq \r(3)M
【答案】D.
【解析】：重新平衡后，绳子形状如图
由几何关系知：绳子与竖直方向夹角为30°，则环两边绳子的夹角为60°，根据平行四边形定则，环两边绳子拉力的合力为eq \r(3) Mg，根据平衡条件，则钩码的质量为eq \r(3)M，故选项D正确．
二、非选择题
13.如图所示，在水平粗糙横杆上，有一质量为m的小圆环A，用一细线悬吊一个质量为m的球B.现用一水平拉力缓慢地拉起球B，使细线与竖直方向成37°角，此时环A仍保持静止．求：
(1)此时水平拉力F的大小；
(2)横杆对环的支持力大小；
(3)杆对环的摩擦力．
【答案】：(1)eq \f(3,4)mg (2)2mg (3)eq \f(3,4)mg 方向水平向
【解析】：(1)取小球为研究对象进行受力分析，由平衡条件得：FTsin 37°＝F
FTcs 37°＝mg
联立解得F＝eq \f(3,4)mg.
(2)取A、B组成的系统为研究对象
FN＝2mg，Ff＝F.
(3)环受到的摩擦力大小为eq \f(3,4)mg，方向水平向左．
14．如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态(已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)．求：
(1)轻绳OA、OB中的张力分别是多大？
(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若人的质量m2＝60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？
【答案】：(1)eq \f(5,4)m1g eq \f(3,4)m1g (2)eq \f(3,4)m1g 方向水平向左 (3)24 kg
【解析】：(1)以结点O为研究对象，受三段轻绳的拉力作用，且竖直绳上的拉力大小等于m1g，如图
根据共点力平衡条件有：
FOB－FOAsin θ＝0，
FOAcs θ－m1g＝0
联立以上两式解得：FOA＝eq \f(m1g,cs θ)＝eq \f(5,4)m1g
FOB＝m1gtan θ＝eq \f(3,4)m1g.
(2)人在水平方向仅受绳OB的拉力FOB和地面的摩擦力Ff作用，根据平衡条件有：
Ff＝FOB＝eq \f(3,4)m1g，方向水平向左．
(3)人在竖直方向上受重力m2g和地面的支持力FN作用，因此有：FN＝m2g
要使人不滑动，需满足：Ff≤Ffm＝μFN
联立以上各式解得：m1≤eq \f(4,3)μm2＝24 kg.
方法
内容
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
力的三角形法
对受三个力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
方法
步骤
解析法
(1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式
(2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法
(1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化
(2)确定未知量大小、方向的变化
相似三
角形法
(1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式
(2)确定未知量大小的变化情况
第5节 共点力的平衡
一、知识点归纳
知识点一 对平衡状态的理解
(1)两种平衡状态：共点力作用下的平衡状态包括静止状态和匀速直线运动状态．
(2)“静止”和“v＝0”的区别与联系
v＝0eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0时，是静止，是平衡状态,a≠0时，不是平衡状态))
总之，平衡状态是指a＝0的状态．
（3）．共点力平衡的条件
表达式：F合＝0．
知识点二 解决平衡问题常用方法
1．处理静态平衡问题的常用方法
2.解决共点力作用下物体平衡问题的一般思路
知识点三 动态平衡问题
1．动态平衡：“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡．
2．分析动态平衡问题的方法
二、题型分析
题型一 对共点力平衡条件的理解
【例1】(2019-2020学年·昆明高一检测)物体受共点力作用，下列说法正确的是( )
A．物体的速度等于零，物体就一定处于平衡状态
B．物体相对另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态
C．物体所受合力为零时，就一定处于平衡状态
D．物体做匀加速运动时，物体处于平衡状态
【答案】C
【解析】处于平衡状态的物体，从运动形式上看是处于静止或匀速直线运动状态，从受力上来看，物体所受合外力为零．速度为零的物体，受力不一定为零，故不一定处于平衡状态，选项A错；物体相对于另一物体静止时，该物体相对地面不一定静止，如当另一物体做变速运动时，该物体也做变速运动，此物体处于非平衡状态，故选项B错；选项C符合平衡条件，为正确选项；物体做匀加速运动，所受合力不为零，故不是平衡状态，选项D错．
【变式】(2019-2020学年·成都高一期末)(多选)关于共点力，下列说法中正确的有( )
A．作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，那么这两个力是共点力
B．作用在一个物体上的两个力，如果是一对平衡力，那么这两个力是共点力
C．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用点不在同一点上，那么这几个力也可能是共点力
D．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用线可以汇交于一点，那么这几个力是共点力
【答案】BCD.
【解析】：作用在一个物体上的几个力，如果作用在物体的同一点或者虽不作用在物体的同一点，但力的作用线交汇于一点，那么这几个力是共点力，所以选项C、D正确；大小相等、方向相反的力不一定作用在同一点，但一对平衡力必作用于同一物体的同一直线上，是共点力，所以选项A错误，选项B正确．
题型二 求解平衡问题常用方法
【例2】(2019-2020学年·宜昌高一检测)如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心．一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ.下列关系正确的是( )
A．F＝eq \f(mg,tan θ)B．F＝mgtan θ
C．FN＝eq \f(mg,tan θ)D．FN＝mgtan θ
【答案】A.
【解析】：法一：合成法
滑块受力如图甲，由平衡条件知：eq \f(mg,F)＝tan θ，eq \f(mg,FN)＝sin θ⇒F＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝eq \f(mg,sin θ).
法二：效果分解法
将重力按产生的效果分解，如图乙所示，F＝G2＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝G1＝eq \f(mg,sin θ).
法三：正交分解法
将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，mg＝FNsin θ，F＝FNcs θ，联立解得：F＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝eq \f(mg,sin θ).
法四：封闭三角形法
如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得：F＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝eq \f(mg,sin θ).
【变式】在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示．仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球．无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度．风力越大，偏角越大．通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力．那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？
【答案】F＝mgtan θ
【解析】选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示．金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零．可用以下四种方法求解．
法一：力的合成法
如图乙所示，风力F和拉力FT的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtan θ.
法二：效果分解法
重力有两个作用效果：使金属球抵抗风的吹力和使金属丝拉紧，所以可以将重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解，如图丙所示，由几何关系可得F＝F′＝mgtan θ.
法三：正交分解法
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图丁所示．由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即
Fx合＝FTsin θ－F＝0
Fy合＝FTcs θ－mg＝0
解得F＝mgtan θ.
法四：三角形法
三个力的示意图首尾相连构成一个直角三角形，如图戊所示，由三角函数可求得F＝mgtan θ.
由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关．因此，偏角θ的大小就可以指示出风力的大小．
题型三 动态平衡问题
【例3】(2019-2020学年·湖南衡阳高一月考)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态．如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变 B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小 D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
【答案】AB
【解析】如图所示
两个绳子是对称的，与竖直方向夹角是相等的．假设绳子的长度为x，两竖直杆间的距离为L，则xcs θ＝L，绳子一端在上下移动的时候，绳子的长度不变，两杆之间的距离不变，则θ角度不变；两个绳子的合力向上，大小等于衣服的重力，由于夹角不变，所以绳子的拉力不变，A正确，C错误；当杆向右移动后，根据xcs θ＝L，即L变大，绳长不变，所以θ角度减小，绳子与竖直方向的夹角变大，绳子的拉力变大，B正确；绳长和两杆距离不变的情况下，θ不变，所以挂的衣服质量变化，不会影响悬挂点的移动，D错误．
【例4】如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是( )
A．FN保持不变，FT不断增大 B．FN不断增大，FT不断减小
C．FN保持不变，FT先增大后减小 D．FN不断增大，FT先减小后增大
【答案】D
【解析】如图所示，先对小球进行受力分析，重力mg、支持力FN、拉力FT组成一个闭合的矢量三角形，由于重力不变、支持力FN方向不变，斜面向左移动的过程中，拉力FT与水平方向的夹角β减小，当FT⊥FN时，细绳的拉力FT最小，由图可知，随β的减小，斜面的支持力FN不断增大，FT先减小后增大，故选项D正确，A、B、C错误．
【例5】光滑半球面上的小球被一通过定滑轮的力F由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析绳的拉力F及半球面对小球的支持力FN的变化情况(如图所示)．
【答案】F减小 FN不变
【解析】如图所示作出小球的受力示意图
注意弹力FN总与球面垂直，从图中可得到相似三角形．
设球体半径为R，定滑轮到球面最高点的距离为h，定滑轮与小球间绳长为L，根据三角形相似得
eq \f(F,L)＝eq \f(mg,h＋R)，
eq \f(FN,R)＝eq \f(mg,h＋R)
由以上两式得绳中的张力F＝mgeq \f(L,h＋R)
球面的弹力FN＝mgeq \f(R,h＋R)
由于在拉动过程中h、R不变，L变小，故F减小，FN不变．
【方法总结】动态平衡问题的常见解题思路：适用于三力平衡问题
(1)若已知一个力不变，另一个力F1方向不变大小变，则用三角形法(或图解法)处理问题，另一个力F2有最小值的条件为F1⊥F2.
(2)若已知一个力不变，另一个力大小不变方向变，则用画图法处理问题．
(3)若已知一个力不变，另一个力大小、方向都变，则采用相似三角形法处理问题．解决问题时，要寻找一个力的三角形和一个边的三角形，根据对应边比例相等求解．
三、课堂检测
1.(2019-2020学年·集宁高一校级月考)如图所示，人站在自动扶梯的水平踏板上，随扶梯斜向上匀速运动，不计空气阻力，以下说法正确的是( )
A．人受到重力和支持力的作用 B．人受到重力、支持力和摩擦力的作用
C．人的重力和人对踏板的压力是一对平衡力 D．人对踏板的压力就是人的重力
【答案】A.
【解析】：人站在自动扶梯上，人受到竖直向下的重力作用和竖直向上的支持力作用，人相对于扶梯是静止的，没有运动也没有运动趋势，人不受摩擦力作用，故A正确，B错误；重力和支持力是一对平衡力，人的重力和人对踏板的压力不是平衡力，C错误；人对踏板的压力属于弹力，人的重力是万有引力，二者是不同性质的力，故D错误．
2．(多选)(2019-2020学年·湖北八校联考)如图所示，A、B两球质量均为m，固定在轻弹簧的两端，分别用细绳悬于O点，其中球A处在光滑竖直墙面和光滑水平墙面的交界处，已知两球均处于平衡状态，OAB恰好构成一个正三角形，则下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．球A可能受到四个力的作用 B．弹簧对球A的弹力大于对球B的弹力
C．绳OB对球B的拉力大小一定等于mg D．绳OA对球A的拉力大小等于或小于1.5mg
【答案】ACD.
【解析】：对球B受力分析，据共点力平衡可知弹簧和绳对球B的作用力大小均为mg，选项C正确；对同一弹簧而言，产生的弹力处处相等，故弹簧对球A的弹力等于对球B的弹力，选项B错误；对球A分析可知，一定受重力、弹簧的弹力、墙面的支持力作用，可能受地面的支持力和绳的拉力，地面的支持力和绳的拉力也可能有一个为0，当地面对球A的支持力为0时，绳上的拉力最大，等于重力和弹簧竖直方向的分力之和，即1.5mg，故选项A、D正确．
3.如图所示，两根等长的绳子AB和BC在结点B吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC拉力的变化情况是( )
A．增大 B．先减小后增大
C．减小D．先增大后减小
【答案】B
【解析】：以结点B为研究对象，分析受力情况，根据三力平衡条件知
绳AB的拉力TAB与绳子BC的拉力TBC的合力与重力大小相等、方向相反．作出绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向过程中多个位置力的合成图，由几何知识得，绳子BC拉力先减小后增大．
4．如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物．现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前( )
A．BC绳中的拉力FT越来越大 B．BC绳中的拉力FT越来越小
C．AC杆中的支撑力FN越来越大 D．AC杆中的支撑力FN越来越小
【答案】B.
【解析】：作出C点的受力示意图，如图所示
由图可知力的矢量三角形与几何三角形ABC相似．根据相似三角形的性质得eq \f(FT,BC)＝eq \f(FN,AC)＝eq \f(G,AB)，解得BC绳中的拉力为FT＝Geq \f(BC,AB)，AC杆中的支撑力为FN＝Geq \f(AC,AB).由于重物P向上运动时，AB、AC不变，BC变小，故FT减小，FN不变．选项B正确．
5.如图所示，一条不可伸长的轻质细绳一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物，悬挂点为d，另一端与另一轻质细绳相连于c点，ac＝eq \f(l,2)，c点悬挂质量为m2的重物，平衡时ac正好水平，此时d点正好与ac在同一水平线上，且到b点的距离为l，到a点的距离为eq \f(5,4)l，则两重物的质量的比值eq \f(m1,m2)为( )
A.eq \f(5,2) B．2
C.eq \f(5,4) D.eq \f(3,5)
【答案】C.
【解析】：法一：合成法
因c点处于平衡状态，所以任意两个力的合力均与第三个力大小相等，方向相反，如图甲所示，根据平行四边形定则将力F与m1g合成，则sin θ＝eq \f(m2g,m1g)，而sin θ＝eq \f(l,\r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3l,4)))\s\up12(2)))＝eq \f(4,5)，所以eq \f(m1,m2)＝eq \f(5,4)，选项C正确．
法二：分解法
因c点处于平衡状态，所以可在F、m1g方向上分解m2g，如图乙所示，则同样有sin θ＝eq \f(m2g,m1g)，所以eq \f(m1,m2)＝eq \f(5,4)，选项C正确．
法三：正交分解法
将倾斜绳拉力m1g沿竖直方向和水平方向分解，如图丙所示，则m1g·sin θ＝m2g，同样可得eq \f(m1,m2)＝eq \f(5,4)，选项C正确．
四、课后提升作业
一、选择题
1.(2019-2020学年·绥化高一联考)L形木板P(上表面光滑)放在固定斜面上，轻质弹簧一端固定在木板上，另一端与置于木板上表面的滑块Q相连，如图所示．若P、Q一起沿斜面匀速下滑，不计空气阻力．则木板P的受力个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C.
【解析】：P、Q一起沿斜面匀速下滑时，木板P的上表面光滑，整体分析，受力平衡，受重力、斜面支持力、斜面的摩擦力；隔离滑块Q分析受力，受到三个力：重力、P对Q的支持力、弹簧对Q沿斜面向上的弹力；再隔离木板P分析受力：P的重力、Q对P的压力、弹簧对P沿斜面向下的弹力、斜面对P的支持力、斜面对P的摩擦力，故选项C正确．
2．(2019-2020学年·四川彭州中学月考)如图所示，a、b两个质量相同的球用线连接，a球用线挂在天花板上，b球放在光滑斜面上，系统保持静止，以下图示哪个是正确的( )
【答案】B.
【解析】：对b球受力分析，受重力、垂直斜面向上的支持力和细线的拉力，由于三力平衡时三个力中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故细线拉力向右上方，故A图错误；再对a、b两个球整体受力分析，受总重力、垂直斜面向上的支持力和上面细线的拉力，再次根据共点力平衡条件判断，上面的细线的拉力方向斜向右上方，故C、D图均错误．
3.倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上．下列结论正确的是( )
A．木块受到的摩擦力大小是mgcs α B．木块对斜面体的压力大小是mgsin α
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsin αcs α D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
【答案】D.
【解析】：以木块为研究对象，如图甲所示，有Ff＝mgsin α，FN＝mgcs α，故选项A、B均错误；以木块与斜面体所组成的整体为研究对象，如图乙所示，有Ff桌＝0，FN桌＝(M＋m)g，故选项C错误，D正确．
4．（多选）如图所示，一木板B放在水平面上，木块A放在木板B的上面，A的右端通过一不可伸长的轻绳固定在直立墙壁上．用力F向左拉动木板B，使它以速度v做匀速直线运动，这时轻绳的张力为FT.下列说法中正确的是( )
A．木板B受到的滑动摩擦力大小等于F B．水平面受到的滑动摩擦力大小等于FT
C．木块A受到的滑动摩擦力大小等于FT D．若木板B以2v的速度匀速运动，则拉力等于2F
【答案】AC.
【解析】：由于木板B匀速向左运动，所以木板B受到木块A及地面的滑动摩擦力的合力大小等于F；水平面受到的滑动摩擦力大小等于F－FT，对木块A受力分析知，木块A受到的滑动摩擦力大小等于FT；若木板B以2v的速度匀速运动，则拉力仍等于F，故选项A、C正确．
5.（多选）有一堆砂子在水平面上堆成圆锥形，稳定时底角为α，如图所示．如果视每粒砂子完全相同，砂子与砂子之间，砂子与地面之间的动摩擦因数均为μ，砂子之间的最大静摩擦力可近似认为与滑动摩擦力相等，以下说法正确的是( )
A．砂子稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零
B．砂子稳定时，只有形成严格规则的圆锥底面受到地面的摩擦力才为零
C．砂子稳定形成的圆锥底角最大时，tan α＝μ
D．砂子稳定形成的圆锥底角最大时，sin α＝μ
【答案】AC.
【解析】：把所有砂子看成一个整体，对整体受力分析，由水平方向合力为零可得，砂子稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零，与形状无关，故A正确，B错误；取斜面上的一粒质量为m的砂子为研究对象，若砂子恰好平衡，则倾角α最大，砂子受力平衡，根据平衡条件得：mgsin α＝μmgcs α，得tan α＝μ，故C正确，D错误．
6.(2019-2020学年·哈三中期中)如图所示，两段等长细线分别连接着两个质量相等的小球a、b，悬挂于O点．现在两个小球上分别加上水平方向的外力，其中作用在b球上的力大小为F、作用在a球上的力大小为2F，则此装置平衡时的位置可能是下列哪幅图( )
【答案】B.
【解析】：设每个球的质量为m，Oa与ab和竖直方向的夹角分别为α、β.
以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力情况，如图1，根据平衡条件可知，Oa绳的方向不可能沿竖直方向，否则整体的合力不为零，不能保持平衡．由平衡条件得：tan α＝eq \f(F,2mg)，以b球为研究对象，分析受力情况，如图2，由平衡条件得：tan β＝eq \f(F,mg)，则α＜β，故B正确．
7.如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为( )
A.eq \r(3)∶4 B．4∶eq \r(3)
C．1∶2D．2∶1
【答案】D.
【解析】：将两小球及弹簧B视为整体进行受力分析有
FC＝FAsin 30°
FC＝kxC
FA＝kxA
eq \f(FA,FC)＝eq \f(1,sin 30°)＝2∶1
eq \f(xA,xC)＝2∶1
故D正确，A、B、C错误．
8.（多选）一根长为L的易断的均匀细绳，两端固定在天花板上的A、B两点．若在细绳的C处悬一重物，已知AC>CB，如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．增加重物的重力，BC段先断 B．增加重物的重力，AC段先断
C．将A端往左移时绳子容易断 D．将A端往右移时绳子容易断
【答案】AC.
【解析】：研究C点，C点受重物的拉力，其大小FT＝G.将重物对C点的拉力分解为对AC和BC两段绳的拉力，其力的平行四边形如图所示．
在△ABC中，因为AC>BC，所以α>β，因此FBC>FAC.当增加重力G时，FBC、FAC按比例增加，FBC增大得较多，所以BC段绳先断，因此选项A正确，B错误；将A端往左移时，FBC与FAC两力夹角变大，合力FT一定，则两分力FBC与FAC均增大，将A端往右移时两分力夹角减小，两分力也减小，由此可知选项C正确，D错误．
9.（多选）(2019-2020学年·效实中学高一期末)在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态．现对B加一竖直向下的力F, F的作用线通过球心，设B对墙的作用力为F1，B对A的作用力为F2，地面对A的摩擦力为F3，地面对A的支持力为F4.若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，则在此过程中 ( )
A．F1保持不变，F4保持不变 B．F1缓慢增大，F4缓慢增大
C．F2缓慢增大，F3缓慢增大 D．F2缓慢增大，F3保持不变
【答案】BC.
【解析】：以B球为研究对象，将F与B的重力GB的合力按效果进行分解，如图，设BA连线与竖直方向夹角为α，由平衡条件得：B对墙的作用力：F1＝(F＋GB)tan α，当F增大时，F1缓慢增大；B对A的作用力：F2＝eq \f(F1,sin α)，F1缓慢增大，则F2缓慢增大；再以整体为研究对象，根据平衡条件，则有：地面对A的支持力F4＝GA＋GB＋F，F增大则F4缓慢增大；地面对A的摩擦力F3＝F1，由前面分析F1增大则F3缓慢增大．
10．如图所示，内壁及碗口光滑的半球形碗固定在水平面上，碗口保持水平．A球、C球与B球分别用两根轻质细线连接，当系统保持静止时，B球对碗壁刚好无压力，图中θ＝30°，则A球、C球的质量之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶eq \r(3) D.eq \r(3)∶1
【答案】C.
【解析】：
设A球、C球的质量分别mA、mC.由几何知识可知，两细线相互垂直．由A、C两球平衡得T1＝mAg，T2＝mCg.以B球为研究对象，分析受力情况：受重力G、两细线的拉力T1、T2.由平衡条件得T1＝T2tan θ 得eq \f(T1,T2)＝tan θ＝eq \f(1,\r(3))，则得eq \f(mA,mC)＝eq \f(T1,T2)＝eq \f(1,\r(3)) .
11.(2019-2020学年·长沙模拟)如图所示，质量不等的盒子A和物体B用细绳相连，跨过光滑的定滑轮，A置于倾角为θ的斜面上，与斜面间的动摩擦因数μ＝tan θ，B悬于斜面之外而处于静止状态．现向A中缓慢加入砂子，下列说法正确的是( )
A．绳子拉力逐渐减小
B．A对斜面的压力逐渐增大
C．A所受的摩擦力一定逐渐增大
D．A可能沿斜面下滑
【答案】B.
【解析】：当mAgsin θ＞mBg时，对A受力分析，由平衡条件有：mAgsin θ＝Ff＋mBg，随mA的增大，摩擦力不断增大；当mAgsin θ＜mBg时，由平衡条件有：mAgsin θ＋Ff＝mBg，随mA的增大，摩擦力不断减小，C项错；在垂直斜面方向上，始终有：FN＝mAgcs θ，因此随着不断加入砂子，A对斜面的压力不断增大，B项对；由μ＝tan θ，可知最大静摩擦力Ffmax＝μmAgcs θ＝mAgsin θ，故增加的重力的分力与增加的摩擦力大小相等，方向相反，故A不会滑动，保持静止，D项错；绳子所受拉力等于B的重力，故拉力保持不变，A项错．
12.(2019-2020学年·河北高一模拟)如图，一不可伸长的光滑轻绳，其左端固定于O点，右端跨过位于O′点的固定光滑轴悬挂一质量为M的物体；OO′段水平，长度为L；绳子上套一可沿绳滑动的轻环．现在轻环上悬挂一钩码，平衡后，物体上升L，则钩码的质量为( )
A.eq \f(\r(2),2)M B.eq \f(\r(3),2)M
C.eq \r(2)M D.eq \r(3)M
【答案】D.
【解析】：重新平衡后，绳子形状如图
由几何关系知：绳子与竖直方向夹角为30°，则环两边绳子的夹角为60°，根据平行四边形定则，环两边绳子拉力的合力为eq \r(3) Mg，根据平衡条件，则钩码的质量为eq \r(3)M，故选项D正确．
二、非选择题
13.如图所示，在水平粗糙横杆上，有一质量为m的小圆环A，用一细线悬吊一个质量为m的球B.现用一水平拉力缓慢地拉起球B，使细线与竖直方向成37°角，此时环A仍保持静止．求：
(1)此时水平拉力F的大小；
(2)横杆对环的支持力大小；
(3)杆对环的摩擦力．
【答案】：(1)eq \f(3,4)mg (2)2mg (3)eq \f(3,4)mg 方向水平向
【解析】：(1)取小球为研究对象进行受力分析，由平衡条件得：FTsin 37°＝F
FTcs 37°＝mg
联立解得F＝eq \f(3,4)mg.
(2)取A、B组成的系统为研究对象
FN＝2mg，Ff＝F.
(3)环受到的摩擦力大小为eq \f(3,4)mg，方向水平向左．
14．如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态(已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)．求：
(1)轻绳OA、OB中的张力分别是多大？
(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若人的质量m2＝60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？
【答案】：(1)eq \f(5,4)m1g eq \f(3,4)m1g (2)eq \f(3,4)m1g 方向水平向左 (3)24 kg
【解析】：(1)以结点O为研究对象，受三段轻绳的拉力作用，且竖直绳上的拉力大小等于m1g，如图
根据共点力平衡条件有：
FOB－FOAsin θ＝0，
FOAcs θ－m1g＝0
联立以上两式解得：FOA＝eq \f(m1g,cs θ)＝eq \f(5,4)m1g
FOB＝m1gtan θ＝eq \f(3,4)m1g.
(2)人在水平方向仅受绳OB的拉力FOB和地面的摩擦力Ff作用，根据平衡条件有：
Ff＝FOB＝eq \f(3,4)m1g，方向水平向左．
(3)人在竖直方向上受重力m2g和地面的支持力FN作用，因此有：FN＝m2g
要使人不滑动，需满足：Ff≤Ffm＝μFN
联立以上各式解得：m1≤eq \f(4,3)μm2＝24 kg.
方法
内容
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
力的三角形法
对受三个力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
方法
步骤
解析法
(1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式
(2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法
(1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化
(2)确定未知量大小、方向的变化
相似三
角形法
(1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式
(2)确定未知量大小的变化情况
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