人教版 (2019)必修 第一册5 共点力的平衡学案

5　共点力的平衡

[课标引领]

共点力平衡条件

如图所示,著名景点——黄山飞来石,独自静止于悬崖之上,它受哪些力作用?这些力大小、方向有何关系?它们的合力有何特点?

答案:受重力和支持力。重力方向竖直向下、支持力方向竖直向上,二力等大、反向,合力为零。

1.平衡状态:物体受到几个力的作用时,保持静止或匀速直线运动状态。

2.二力平衡条件:作用在同一物体上的两个力,如果大小相等,方向相反,并且在同一条直线上,那么这两个力平衡。

3.平衡条件:在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。

1.判断

(1)处于平衡状态的物体一定处于静止状态。(　×　)

(2)物体处于平衡状态时任意方向的合力均为零。(　√　)

(3)某时刻物体的速度为零时,物体一定处于平衡状态。(　×　)

2.

如图所示,有一盏质量为m的孔明灯升空后向着东北偏上方向沿直线匀速上升,则此时孔明灯处于平衡状态吗?你能求出此时孔明灯所受空气作用力的大小和方向吗?

答案:孔明灯升空后向着东北偏上方向做匀速直线运动,合力为零,处于平衡状态;只受重力和空气作用力,根据平衡条件得空气作用力大小为mg,方向竖直向上。

探究点一　力的正交分解法及其应用

如图所示,人拉物块向前匀速运动,请思考:

(1)物块受几个力?能根据平行四边形定则求这几个力的合力吗?

答案:物块受到重力、支持力、摩擦力以及拉力四个力的作用。用平行四边形定则能求这几个力的合力,但需进行较繁琐的计算。

(2)若建立沿竖直和水平方向的直角坐标系,将拉力F分解为沿y轴和x轴的两个分力,再求物块所受力的合力,你认为怎样?

答案:可避免繁琐的计算,使问题方便地解决。

1.正交分解法:将一个力(或其他矢量)沿相互垂直的方向分解的方法。

2.正交分解的优点:当物体受到多个力作用,并且这几个力只共面不共线时,其合力用平行四边形定则求解很繁琐,甚至难以得到结果。为此先将各力正交分解,然后再合成。

3.正交分解法求合力的步骤

[例1]

如图所示,重为500 N的人通过绕过定滑轮的轻绳牵引重力为 200 N 的物体,当绳与水平面成60°角时,物体静止。不计滑轮与绳的摩擦,求地面对人的支持力和摩擦力。

解析:人与物体静止,所受合力皆为零,对物体受力分析得,绳的拉力F=200 N,建立坐标系,对人受力分析如图,人受四个力的作用,重力G、拉力F,支持力FN、摩擦力Ff,可将绳的拉力F正交分解,如图。根据平衡条件可得

水平方向摩擦力

Ff=Fx=Fcos 60°=200× N=100 N,

竖直方向支持力 

FN=G-Fsin 60°=(500-200×)N=100(5-) N。

答案:100(5-) N　100 N

(2)正交分解法的适用情况:适用于计算物体受三个或三个以上共点力的情况。

[针对训练1] 智能手机的普及使“低头族”应运而生。低头时,颈椎受到的压力会增大(当人体直立时,颈椎所承受的压力等于头部的重力)。现将人体头颈部简化为如图所示的模型:重心在头部的P点,在可绕O转动的颈椎OP(轻杆)的支持力和沿PQ方向肌肉拉力的作用下处于静止。当低头时,若颈椎与竖直方向的夹角为45°,PQ与竖直方向的夹角为53°,此时颈椎受到的压力与直立时颈椎受到的压力的比值为(sin 53°=0.8,cos 53°=0.6)(　D　)

A.4 B.5 C.5 D.4

解析:

设颈椎对头部的支持力为FN,肌肉拉力为F,对头部进行受力分析,如图所示,以O点为原点建立坐标系,在水平方向,有FNsin 45°=Fsin 53°,在竖直方向,有FNcos 45°=mg+Fcos 53°,联立解得FN=4mg,即颈椎受到的压力也为4mg,而直立时颈椎受到压力为mg,所以此时颈椎受到的压力与直立时颈椎受到的压力的比值为4,故A、B、C错误,D正确。

探究点二　共点力的平衡条件的理解

(1)从物理学角度来看,图中各物体是否处于平衡状态?

答案:图(甲)、(乙)中的物体是处于平衡状态。图(丙)中的物体不是处于平衡状态。

(2)处于平衡状态的物体,有何运动学特征?

答案:物体保持静止或匀速直线运动状态。

1.“静止”和“v=0”的区别与联系

v=0

总之,平衡状态是指a=0的状态。

2.由平衡条件得出的三个结论

[例2]

如图所示一架飞机正在沿一直线匀速爬升,飞机除了受到重力以外还受到来自喷射气体的推力、空气阻力、升力等力的作用,请分析除去重力以外的其他力的合力的方向(　D　)

A.沿飞机的速度方向

B.垂直机身方向向上

C.沿飞机速度的反方向

D.竖直向上

解析:由题可知飞机做匀速直线运动,处于平衡状态,合力为零,则根据平衡条件可以知道,除去重力以外的其他力的合力的大小与重力的大小相等,但是方向与重力的方向相反,即竖直向上,故选项D正确,A、B、C错误。

判断物体是否处于平衡状态,一要看物体是否处于静止或匀速直线运动状态;二要看物体所受的合力是否为零,或者看物体运动状态是否变化,若运动状态改变,即物体加速度不是零,物体就不处于平衡状态。

[针对训练2] 质量为m的木块沿倾角为θ的斜面匀速下滑,如图所示,那么木块对斜面的作用力方向是(　D　)

A.沿斜面向上 B.垂直于斜面向上

C.沿斜面向下 D.竖直向下

解析:木块做匀速直线运动,处于平衡状态,由平衡条件可知其所受合力为零,故斜面对木块的作用力与木块所受重力等大反向,作用力方向竖直向上,由牛顿第三定律可知,木块对斜面的作用力方向竖直向下,D正确。

探究点三　静态平衡问题的处理方法

某幼儿园要在空地上做一个滑梯,根据空地的大小,滑梯的水平跨度确定为6 m。设计时,滑板和儿童裤料之间的动摩擦因数取0.4,为使儿童在滑梯游戏时能在滑板上滑下,滑梯至少要多高?

答案:

设滑梯的倾角为θ,重力在滑梯上分解为两个方向的力,垂直于滑梯的力等于mgcos θ,平行于滑梯的力等于mgsin θ;人在滑梯上能滑下,满足mgsin θ≥Ff,且Ff=μFN,根据平衡条件有mgcos θ-FN=0,联立解得tan θ≥μ,根据几何关系有tan θ=,解得h≥μb=2.4 m。

[例3]

沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在A点(如图),足球的质量为m,网兜的质量不计,足球与墙壁的接触点为B,悬绳与墙壁的夹角为α,求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力。

解析:法一　合成法

取足球作为研究对象,它受重力G=mg、墙壁的支持力F1和悬绳的拉力F2三个共点力作用而平衡,由共点力平衡的条件可知,F1和F2的合力F与G大小相等、方向相反,即F=G,从图中力的平行四边形可求得

F1=Ftan α=mgtan α,

F2==。

法二　分解法

取足球作为研究对象,其受重力G、墙壁支持力F1、悬绳的拉力F2,如图所示。将重力G分解为F1′和F2′,由共点力平衡条件可知,F1与F1′的合力必为零,F2与F2′的合力也必为零,所以F1=F1′=mgtan α,

F2=F2′=。

法三　相似三角形法

取足球作为研究对象,其受重力G、墙壁的支持力F1、悬绳的拉力F2,如图所示,设球心为O,由共点力的平衡条件可知,F1和G的合力F与F2大小相等、方向相反,由图可知,三角形OFG与三角形AOB相似,所以==,

F2==,

==tan α,

F1=Gtan α=mgtan α。

法四　正交分解法

取足球作为研究对象,其受重力G、墙壁的支持力F1、悬绳拉力F2,如图所示,取水平方向为x轴,竖直方向为y轴,将F2分别沿x轴和y轴方向进行分解。由平衡条件可知,在x轴和y轴方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零。即

Fx合=F1-F2sin α=0,

Fy合=F2cos α-G=0,

联立解得F1=mgtan α,F2=。

答案:　mgtan α

(5)求解或讨论(解的结果及物理意义)。

[针对训练3]如图所示,一物块置于水平地面上。当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时,物块做匀速直线运动;当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时,物块仍做匀速直线运动。若F1和F2的大小相等,则物块与地面之间的动摩擦因数为(　B　)

A.-1 B.2-

C.- D.1-

解析:对两种情况下的物块分别受力分析,如图所示。

将F1正交分解为F3和F4,F2正交分解为F5和F6,根据平衡条件有F滑=F3,mg=F4+FN;F滑′=F5,mg+F6=FN′,而F滑=μFN,F滑′=μFN′,则有F1cos 60°=μ(mg-F1sin 60°),F2cos 30°=μ(mg+F2sin 30°),又根据题意F1=F2,联立解得μ=2-,故选B。

课时作业

学考基础练

知识点一　平衡状态、平衡条件、受力分析

1.物体在共点力作用下,下列说法正确的是(　C　)

A.物体的速度在某一时刻等于零时,物体就一定处于平衡状态

B.物体相对另一物体保持静止时,物体一定处于平衡状态

C.物体所受合力为零时,就一定处于平衡状态

D.物体做匀加速运动时,物体处于平衡状态

解析:处于平衡状态的物体从运动形式上是处于静止或匀速直线运动状态;从受力上看,物体所受合力为零,选项C正确;某一时刻速度为零的物体,受力不一定为零,故不一定处于平衡状态,选项A错误;物体相对另一物体静止时,该物体不一定静止,如当另一物体做变速运动时,该物体也做变速运动,此时物体处于非平衡状态,选项B错误;物体做匀加速运动,所受合力不为零,所以不是平衡状态,选项D错误。

2.如图所示,一物体在粗糙水平地面上受斜向上的恒定拉力F作用而处于静止状态,则下列说法正确的是(　C　)

A.物体可能只受两个力的作用

B.物体可能受三个力的作用

C.物体一定受四个力的作用

D.物体可能不受摩擦力作用

解析:物体一定受重力,拉力F产生两个作用效果,水平向右拉木块,竖直向上拉木块,由于木块处于静止状态,受力平衡,水平方向必有摩擦力与拉力的水平分量平衡,即一定有摩擦力,结合摩擦力的产生条件可知必有支持力,因而物体一定受四个力的作用,故A、B、D错误,C正确。

3.同一物体在下列几组共点力作用下可能处于静止状态的是(　A　)

A.3 N、4 N、5 N B.3 N、5 N、9 N

C.4 N、6 N、11 N D.5 N、6 N、12 N

解析:3 N、4 N的合力范围是1～7 N,5 N在其合力范围内,三个力的合力可能为零,则物体可能处于静止状态,故A正确;3 N、5 N的合力范围是2～8 N,9 N不在其合力范围内,则物体不可能处于静止状态,故B错误;4 N、6 N 的合力范围是2～10 N,11 N不在其合力范围内,则物体不可能处于静止状态,故C错误;5 N、6 N的合力范围是1～

11 N,12 N不在其合力范围内,则物体不可能处于静止状态,故D错误。

4.高杆船技是乌镇的传统民间杂技艺术,表演者爬上固定在船上的竹竿,模拟蚕宝宝吐丝作茧的动作祈愿蚕茧丰收。如图所示,此时表演者静止在弯曲倾斜的竹竿上,则下列说法正确的是(　B　)

A.表演者对竹竿的弹力是由竹竿形变产生的

B.表演者的合力一定为零

C.表演者对竹竿的摩擦力一定为零

D.竹竿对表演者的力竖直向下

解析:表演者对竹竿的弹力是由表演者形变产生的,选项A错误;因竹竿弯曲倾斜,所以表演者一定受到摩擦力的作用,由牛顿第三定律可知,表演者对竹竿的摩擦力不为零,选项C错误;因表演者处于平衡状态,可知竹竿对表演者的作用力竖直向上,表演者的合力一定为零,选项B正确,D错误。

知识点二　静态平衡问题、力的正交分解

5.如图所示,一名登山运动员攀登陡峭的雪壁,峭壁是竖直的面,冰面光滑,腿与峭壁面垂直,轻绳与壁面的夹角为30°,运动员质量为

60 kg,g取10 m/s2。人处于静止状态,则细绳给人的拉力为(　B　)

A.200 N B.400 N

C.600 N    D.1 200 N

解析:对运动员受力分析如图所示,根据平衡条件可知,轻绳给运动员的张力FT==400 N,故B正确,A、C、D错误。

6.(多选)如图所示,在大小为F的水平向左的恒力作用下,重为G的物体A静止在倾角为α的光滑斜面上。下列关于斜面对物体A的支持力的表达式正确的是(　AB　)

A.FN=        B.FN=

C.FN=Gsin α+Fcos α D.FN=

解析:对物体A受力分析,如图甲所示。根据共点力平衡条件,推力和重力的合力与支持力等大、反向、共线,结合几何关系,有F=

Gtan α,FN=,FN=,FN=。

将推力和重力沿斜面和垂直于斜面方向正交分解,如图乙所示。根据共点力平衡条件,有Gsin α=Fcos α,FN=Fsin α+Gcos α,故A、B正确。

7.如图所示,用一根绳子a把物体挂起来,再用另一根水平的绳子b把物体拉向一旁固定起来。物体的重力是40 N,绳子a与竖直方向的夹角θ=37°,绳子a与b对物体的拉力分别是多大?(sin 37°=0.6,

cos 37°=0.8)

解析:以物体为研究对象,进行受力分析,以水平方向为x轴,竖直方向为y轴建立直角坐标系,如图所示。

由共点力的平衡条件得

FTb-FTasin 37°=0

FTacos 37°-G=0

联立解得FTa===50 N

FTb=FTasin 37°=50×0.6 N=30 N。

答案:50 N　30 N

8.如图所示,光滑金属球的重力G=40 N。它的左侧紧靠竖直的墙壁,右侧置于倾角 θ=37° 的斜面体上,已知斜面体处于水平地面上保持静止状态,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:

(1)墙壁对金属球的弹力大小;

(2)水平地面对斜面体的摩擦力的大小和方向。

解析: (1)金属球静止,其受力如图所示。由平衡条件可得墙壁对金属球的弹力FN1=Gtan θ=Gtan 37°=40× N=30 N。

(2)斜面体对金属球的弹力FN2===50 N,

由牛顿第三定律可知金属球对斜面体的作用力为50 N,方向与水平面成53°角。对斜面体,由平衡条件得FN2′cos 53°-Ff=0,

即Ff=FN2′cos 53°=50 N×0.6=30 N,方向水平向左。

答案:(1)30 N　(2)30 N　水平向左

选考提升练

9.蹦床可简化为如图所示,完全相同的网绳构成正方形,O、a、b、c等为网绳的结点。当网水平张紧时,若质量为m的运动员从高处竖直落下,并恰好落在O点,当该处下凹至最低点时,网绳aOe、cOg均成120°向上的张角,此时O点受到的向下的作用力为F,则这时O点周围每根网绳的拉力的大小为(　B　)

A.      B.

C. D.

解析:因为网绳完全相同,并且构成的是正方形,O点到最低时aOe,

cOg所成的角度是120°,所以Fa=Fe=Fc=Fg,且Fa与Fe的合力为F=Fa,同理Fg与Fc的合力也是F=Fg,选项A、C、D错误,B正确。

10.如图所示,一只半球形碗倒扣在水平桌面上处于静止状态,球的半径为R,质量为m的蚂蚁只有在离桌面的高度大于或等于R时,才能停在碗上。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力,那么蚂蚁和碗面间的动摩擦因数为(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析:蚂蚁在离桌面高度等于R时,蚂蚁受重力、支持力和摩擦力处于平衡状态,根据平衡条件有Ff=mgsin θ,FN=mgcos θ,而cos θ==,所以μ==tan θ=,故C正确,A、B、D错误。

11.(多选)如图所示,吊车用两根等长的绳子OA和OB将质量分布均匀的铁板匀速吊离地面。下列说法中正确的是(　ACD　)

A.绳越长,每根绳对铁板拉力越小

B.绳越长,两根绳对铁板拉力的合力越小

C.两根绳子对铁板拉力的合力竖直向上

D.两根绳子对铁板的拉力和铁板的重力是共点力

解析:对铁板受力分析,如图所示。且绳的拉力沿绳方向,设∠AOB=θ,由于铁板被匀速吊起,因此根据共点力平衡条件,铁板所受两根绳的拉力的合力一直与重力等大反向,选项B错误,D正确;根据平衡条件,两根绳子拉力的合力与铁板的重力等大反向,选项C正确;根据平衡条件,在竖直方向有2FTcos =mg,当绳变长时,θ变小,因此FT变小,选项A正确。

12.如图所示,两个可视为质点的小球A、B通过固定在O点的光滑滑轮用轻绳相连,小球A置于光滑半圆柱上,小球B用水平轻绳拉着,水平轻绳另一端系于竖直板上,两球均处于静止状态。已知O点在半圆柱横截面圆心O1的正上方,OA与竖直方向成30°角、其长度与半圆柱横截面的半径相等,OB与竖直方向成60°角,则(　D　)

A.轻绳对球A的拉力与球A所受弹力的合力大小相等

B.轻绳对球A的拉力与半圆柱对球A的弹力大小不相等

C.轻绳对球A的拉力与对球B的拉力大小之比为∶

D.球A与球B的质量之比为2∶1

解析:设轻绳中拉力为FT,半圆柱对球A的弹力为FN,对球A受力分析如图所示。球A所受弹力为绳对球A的拉力和半圆柱对球A的弹力的合力,与重力等大反向,大于FT,故A错误;对球A,根据平衡条件有FTsin 30°=FNsin 30°,FTcos 30°+FNcos 30°=mAg,解得FT=FN=mAg,故B错误;轻绳对球A的拉力与对球B的拉力都等于FT,故C错误;对球B有FTcos 60°=mBg,FT=2mBg,解得=,故D正确。

13.一质量m=3 kg的物体放在长木板上,当木板一端抬起与水平方向夹角为θ=30°时物体恰好匀速下滑,当木板水平放置时用多大的水平力才能拉动该物体?(最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2)

解析:对物体受力分析如图所示。

物体匀速下滑,根据平衡条件有

mgsin θ=μmgcos θ,

解得μ=tan θ=,

当物体水平放置时,设物体所受水平拉力为F,摩擦力为Ff′,根据平衡条件有

FN′=mg,

则F=Ff′=μFN′=μmg,

联立得F=10 N。

答案:10 N

14.滑板运动是一项非常刺激的水上运动。研究表明,在进行滑板运动时,水对滑板的作用力FN垂直于板面,大小为kv2,其中v为滑板速率(水可视为静止)。某次运动中,在水平牵引力作用下,当滑板和水面的夹角θ=37° 时(如图),滑板做匀速直线运动,相应的k=54 kg/m,人和滑板的总质量为108 kg, 试求:(重力加速度g取10 m/s2,

sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,忽略空气阻力)

(1)水平牵引力的大小;

(2)滑板的速率。

解析:(1)以滑板和运动员为研究对象,其受力如图所示。

由共点力平衡条件可得

FNcos θ=mg,

FNsin θ=F,

联立解得F=810 N。

(2)FN=,

且FN=kv2,

联立得v==5 m/s。

答案:(1)810 N　(2)5 m/s