2022中考数学解答题专题05 用一元二次方程解决问题（Word版含答案，基础 培优，教师版 学生版））

专题05 用一元二次方程解决问题（基础）

1．解方程

（1）（2x+3）2﹣81＝0；

（2）y2﹣7y+6＝0．

【分析】（1）先变形为（2x+3）2＝81，然后利用直接开平方法解方程；

（2）利用因式分解法解方程．

【解答】解：（1）（2x+3）2＝81，

2x+3＝±9，

所以x1＝3，x2＝﹣6；

（2）（y﹣1）（y﹣6）＝0，

y﹣1＝0或y﹣6＝0，

所以y1＝1，y2＝6．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程．

2．已知T＝（1）．

（1）化简T；

（2）若m是一元二次方程m2+m﹣2＝0的解，求T的值．

【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．

（2）根据一元二次方程的解法将m的值求出，然后代入原式即可求出答案．

【解答】解：（1）T•

．

（2）∵m2+m﹣2＝0，

∴m＝﹣2或m＝1，

由分式有意义的条件可知：m＝﹣2

当m＝﹣2时，

∴T1．

【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

3．某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．

（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？

（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？

【分析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有81个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据3轮感染后被感染的人数＝2轮感染后被感染的人数×（1+8），即可求出3轮感染后被感染的人数，再将其与700进行比较后即可得出结论．

【解答】解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，

依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，

解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．

答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．

（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．

答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

4．某种品牌的手机经过7、8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答：

（1）求每次下降的百分率；

（2）若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为多少元？

【分析】（1）设每次下降的百分率为x，根据该种品牌手机的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）根据该种品牌手机9月份的售价＝该种品牌手机8月份的售价×（1﹣下降率），即可求出结论．

【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x，

依题意，得：2500（1﹣x）2＝1600，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．

答：每次下降的百分率为20%．

（2）1600×（1﹣20%）＝1280（元）．

答：若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为1280元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

5．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？

【分析】设应将每个口罩涨价x元，则每天可售出（200﹣10）件，根据总利润＝每个的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：设应将每个口罩涨价x元，则每天可售出（200﹣10）件，

依题意，得：（1+x）（200﹣10）＝480，

化简，得：x2﹣9x+14＝0，

解得：x1＝2，x2＝7．

又∵要让顾客得到实惠，

∴x＝2．

答：应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

6．如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？

【分析】设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，根据地面正中间铺设地毯的面积为18m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，

依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，

整理，得：2x2﹣13x+11＝0，

解得：x1＝1，x2．

又∵5﹣2x＞0，

∴x，

∴x＝1．

答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1m．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7．某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？

【分析】设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为12米，即可得出结论．

【解答】解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，

依题意，得：x（28﹣2x）＝80，

整理，得：x1＝4，x2＝10．

当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不符合题意，舍去；

当x＝10时，28﹣2x＝8，符合题意．

答：这个花圃的长为10米，宽为8米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8．今年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%、今年该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店今年8、9月份营业额的月增长率．

【分析】设该商店今年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：设该商店今年8、9月份营业额的月增长率为x，

依题意，得：350（1+x）2＝450×（1+12%），

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：该商店今年8、9月份营业额的月增长率为20%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

9．某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫定价应多少元？

【分析】设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，根据平均每天的利润＝每件的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．

【解答】解：设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，

依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，

整理，得：x2﹣30x+200＝0，

解得：x1＝10，x2＝20，

又∵尽快减少库存，

∴x＝20，

∴299﹣x＝279．

答：每件衬衫定价应为279元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10．要在一个8cm×12cm的照片外侧的四周镶上宽度相同的银边．并且要使银边的面积和照片的面积相等．那么银边的宽应该是多少？

【分析】设银边的宽为xcm，根据银边的面积和照片的面积相等，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：设银边的宽为xcm，

依题意，得：（12+2x）（8+2x）﹣12×8＝12×8，

整理，得：x2+10x﹣24＝0，

解得：x1＝2，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．

答：银边的宽应该是2cm．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

11．新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．

（1）若降价2元，则平均每天销售数量为　24　件；

（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？

【分析】（1）根据平均每天销售量＝20+2×降低的价格，即可求出结论；

（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：（1）20+2×2＝24（件）．

故答案为：24．

（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，

依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，

整理，得：x2﹣30x+200＝0，

解得：x1＝10，x2＝20．

当x＝20时，40﹣x＝20＜25，

∴x＝20舍去．

答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

12．已知关于x的方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0．

（1）求证：无论m为何值，方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是﹣1，请求出m的值和方程的另一个根．

【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断出其值大于0，即可得证；

（2）把x＝﹣1代入方程求出m的值，利用根与系数关系求出另一根即可．

【解答】（1）证明：方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0，

∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，

∴△＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4＞0，

则无论m取何实数值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：把x＝﹣1代入方程得：1﹣m﹣2+2m﹣1＝0，

解得：m＝2，

设另一根为a，则有﹣1+a＝﹣m﹣2＝﹣4，

解得：a＝﹣3，即方程的另一根为x＝﹣3．

【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

13．2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．

（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？

（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？

【分析】（1）设月平均增长率为x，根据该平台1月份和3月份的销售额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．

【解答】解：（1）设月平均增长率为x，

依题意，得：1440（1+x）2＝2250，

解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．

答：月平均增长率是25%．

（2）设售价应降低y元，则每天可售出200（200+50y）千克，

依题意，得：（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，

整理，得：y2﹣4y+3＝0，

解得：y1＝1，y2＝3．

∵要尽量减少库存，

∴y＝3．

答：售价应降低3元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

14．重庆大学城融创茂“海世界”决定在国庆节期间推出优惠套票．在9月20日预售“亲子两人游”套票600张和“家庭三人行”套票150张，且预售中的“家庭三人行”套票的票价是“亲子两人游”套票票价的2倍．

（1）若“海世界”的预售总额不低于31500元，则“亲子两人游”套票的预售价格最少为多少元？

（2）套票在出售当天推出“亲子两人游”套票1600张，“家庭三人行”套票400张．由于预售的火爆，“海世界”决定将“亲子两人游”套票的价格在（1）中最低价格的基础上增加a%，而“家庭三人行”套票在（1）中“家庭三人行”套票票价上增加了a元，结果“亲子两人游”套票的销售量比计划少2a%．“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额与计划销售额相同，求a的值．

【分析】（1）设“亲子两人游”套票的预售价格为x元，则“家庭三人行”套票的预售价格为2x元，根据“海世界”的预售总额不低于31500元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；

（2）根据总价＝单价×数量结合最终实际销售额是计划销售额的，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：（1）设“亲子两人游”套票的预售价格为x元，则“家庭三人行”套票的预售价格为2x元，

依题意得：600x+150×2x≥31500，

解得：x≥35．

答：“亲子两人游”套票的预售价格最少为35元．

（2）依题意得：35（1a%）×1600（1﹣2a%）+（35×2+a）×400＝（35×1600+35×2×400，

整理得：a2﹣20a＝0，

解得：a1＝20，a2＝0（不合题意，舍去）．

答：a的值为20．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

15．2020年疫情期间，某区推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．

（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

【分析】（1）设增长率为x，根据第一批及第三批公益课受益学生人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；

（2）根据第四批公益课受益学生人数＝第三批公益课受益学生人数×（1+增长率），即可求出结论．

【解答】解：（1）设增长率为x，

依题意得：2（1+x）2＝2.42，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．

答：这个增长率为10%．

（2）2.42×（1+10%）＝2.662（万人次）．

答：预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16．某商店销售一种成本为每千克30元的产品，据市场调查分析，若按每千克40元销售，一个月能出售500千克，当销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种情况，请解答以下问题：

（1）设销售单价定为每千克x元（x≥40），月销售量为y千克，求y与x之间的函数关系式；

（2）该商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

【分析】（1）根据月销售量＝500﹣10×（销售单价﹣40），即可得出y与x之间的函数关系式；

（2）先由月销售成本不超过10000元，得出月销售量不超过10000÷30千克．再根据月销售利润达到8000元列出方程，进而求解即可．

【解答】解：（1）根据题意得：y＝500﹣（x﹣40）×10＝﹣10x+900；

（2）由于月销售成本不超过10000元，

所以月销售量不超过10000÷30（千克）．

根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+900）＝8000，

解得：x1＝50，x2＝70．

当x1＝50时，﹣10×50+900＝400，舍去；

当x2＝70时，﹣10×70+900＝200，符合题意．

故销售单价定为70元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

17．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m的墙AB建造面积为450m2的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为65m的篱笆提供给该贫困户，并提供以下两种方案：

（1）如图1，若选取墙AB的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？

（2）如图2，若全部借用AB的长度，并在AB的延长线上拓展BF，构成矩形ADEF，篱笆由BF、EF、DE和AD构成，求BF的长．

【分析】（1）设CF的长为xm，则CD（m），由题意列出一元二次方程，解方程则可得出答案；

（2）设BF的长为ym，根据题意列出一元二次方程，解方程则可得出答案．

【解答】解：（1）设CF的长为xm，则CD（m），由题意得，

x•450，

解得，x1＝20，x2＝45，

∵墙AB的长为25m，

∴x＝45舍去，

∴CF＝20m．

答：在墙AB上借用的CF的长度为20m；

（2）设BF的长为ym，则AD20﹣y（m），由题意得，

（25+y）（20﹣y）＝450，

解得，y1＝5，y2＝﹣10（舍去），

∴BF＝5m．

答：BF的长为5m．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

18．某校九年级二班的一个数学综合实践小组去沃尔玛超市调查某种商品“十•一”节期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况：

小阳：据调查，该商品的进价为12元/件．

小佳：该商品定价为20元时，每天可售出240件．

小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售出20件；降价1元，则每天多售出40件．

根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，应该怎样定价更合理？

【分析】设定价为x元，则有（x﹣进价）[每天售出的数量﹣（x﹣20）×20]＝每天利润；解方程求解即可．

【解答】解：当涨价时，设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元，

根据题意，得

[240﹣20（x﹣20）]×（x﹣12）＝1920

整理，得x2﹣44x+480＝0

解得，x1＝20，x2＝24

当降价时，设每件商品定价为y元，则每件商品的销售利润为（y﹣12）元，

根据题意，得[240+40（20﹣y）]×（y﹣12）＝1920

整理，得y2﹣38y+360＝0

解得，y1＝20，y2＝18，

综上所述，比较两种方案后，定价为18元更合理．

【点评】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系“要使商品每天获利1920元”准确的列出方程是解题的关键．

19．2019年底，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，到2020初，新冠肺炎席卷全国，掀起一场史无前例的防疫“战斗”．

（1）在“新冠”初期，有2人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有288人感染了“新冠”，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）某小区物管为预防业主感染传播，购买A型和B型两种口罩，购买A型口罩花费了3000元，购买B型口罩花费了2000元，且购买A型口罩数量是购买B型口罩数量的3倍，已知购买一个B型口罩比购买一个A型口罩多花2元．则该物业购买A、B两种口罩的单价各为多少元？

【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据2人感染“新冠”经过两轮传染后共有288人感染“新冠”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）设该物业购买A种3M口罩的单价为y元，则B种3M口罩的单价为（y+3）元，列出方程，解方程即可得解．

【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，

依题意，得：2+2x+x（2+2x）＝288，

解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了11人．

（2）设该物业购买A种口罩的单价为y元，则B种口罩的单价为（y+2）元，

由题意得，3，

解得，y＝2，

经检验y＝2是原方程的解，

则y+2＝4，

答：该物业购买A种口罩的单价为2元，B种口罩的单价为4元．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系是解决问题的关键．

20．维康药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒（二十只装）40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每月可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每月减少20盒．

（1）若将这种口罩每盒的售价上涨x元，则每月销售量是多少盒？（用含x的代数式表示）

（2）维康药店要保证每月销售此种口罩盈利6000元，且使该口罩的月销量不低于200盒，则每盒口罩的售价应为多少元？

【分析】（1）设每盒口罩需涨价x元，根据“每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每月减少20盒”表示出销售量；

（2）设每盒口罩的售价为m元，由关键描述语“该口罩的月销量不低于200盒”列出不等式求解即可．

【解答】解：（1）设每盒口罩可涨价x元，

由题意，得：（x+50﹣40）（500﹣20x），

（2）由题意，得：（x+50﹣40）（500﹣20x）＝6000，

解得x1＝5，x2＝10．

设每盒口罩的售价为m元，

则500﹣20（m﹣50）≥200，

解得，m≤65．

即：每盒口罩的售价应不高于65元．

所以x1＝5，x2＝10均符合题意．

答：每盒口罩的售价应为55元或60元．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清“每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每月减少20盒”是解本题的关键．