高中教科版 (2019)4 匀变速直线运动规律的应用导学案

匀变速直线运动规律的应用

学习目标：1.[物理观念]理解匀变速直线运动的位移与速度的关系．　2.[科学思维]了解匀变速直线运动的位移与速度关系的推导方法．　3.[科学思维]掌握匀变速直线运动的位移、速度、加速度和时间之间的相互关系，会用公式解决匀变速直线运动的问题．

一、位移与速度的关系

1．公式：v－v＝2ax；若v0＝0，则v＝2ax.

2．推导：速度公式vt＝v0＋at，位移公式x＝v0t＋at2

由以上两式可得：v－v＝2ax.

二、匀变速直线运动的推论

中间位置的瞬时速度

1．公式：v＝.

2．推导：在匀变速直线运动中，某段位移x的初、末速度分别是v0和vt，加速度为a，中间位置的速度为v，则根据速度与位移关系式，对前一半位移：v－v＝2a·，对后一半位移v－v＝2a·，即v－v＝v－v，所以v＝.

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)公式v－v＝2ax适用于所有的直线运动． (×)

(2)公式v－v＝2ax中的四个物理量都是矢量，各量的正、负表示与规定的正方向相同还是相反．              (√)

(3)因为v－v＝2ax，则v＝v＋2ax，所以物体的末速度vt一定大于初速度v0. (×)

(4)只有初速度为零的匀加速直线运动，v>v的关系才是成立的. (×)

2．物体从长为L的光滑斜面顶端由静止开始下滑，滑到底端时的速率为v，如果物体以v0＝的初速度从斜面底端沿斜面上滑，上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．L

C　[对于下滑阶段有：v2＝2aL，

对于上滑阶段：0－＝－2ax，

联立解得x＝，A、B、D错误，C正确．]

1．对公式v－v＝2ax的理解

(1)适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动．

(2)公式的矢量性：公式中v0、vt、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向．

①物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．

②x>0，说明物体位移的方向与初速度方向相同；x<0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反．

2．两种特殊形式

(1)当v0＝0时，v＝2ax.(初速度为零的匀加速直线运动)．

(2)当vt＝0时，－v＝2ax.(末速度为零的匀减速直线运动)．

【例1】　我国多地出现的雾霾天气，给交通安全带来了很大的危害，某地雾霾天气中高速公路上的能见度只有72 m，要保证行驶前方突发紧急情况下汽车的安全，汽车行驶的速度不能太大．已知汽车刹车时的加速度大小为5 m/s2.

(1)若前方紧急情况出现的同时汽车开始制动，汽车行驶的速度不能超过多大？(结果可以带根号)

(2)若驾驶员从感知前方紧急情况到汽车开始制动的反应时间为0.6 s，汽车行驶的速度不能超过多大？

思路点拨：①该问题中减速过程中，已知量和未知量都不涉及时间，可用速度和位移的关系式求解．

②在驾驶员的反应时间内，汽车做匀速直线运动．

[解析]　(1)汽车刹车的加速度a＝－5 m/s2，要在x＝72 m内停下，设行驶的速度不超过v1，

由运动学公式有：0－v＝2ax

代入题中数据可得v1＝12 m/s.

(2)设汽车行驶的速度不超过v2，在驾驶员的反应时间t0内汽车做匀速运动的位移为x1，则

x1＝v2t0

刹车减速位移x2＝－

x＝x1＋x2

联立各式代入数据可得v2＝24 m/s.

[答案]　(1)12 m/s　(2)24 m/s

运动学问题的一般求解思路

(1)弄清题意．建立一幅物体运动的图景，尽可能地画出草图，并在图中标明一些位置和物理量．

(2)弄清研究对象．明确哪些是已知量，哪些是未知量，据公式特点选用恰当公式．

(3)列方程、求解．必要时要检查计算结果是否与实际情况相符合．

[跟进训练]

1．美国“肯尼迪”号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统．已知“F－15”型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为5 m/s2，起飞的最小速度是50 m/s，弹射系统能够使飞机具有的最大速度为30 m/s，则：

(1)飞机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？

(2)航空母舰的跑道至少应该多长？

[解析]　(1)飞机在跑道上运动的过程中，当有最大初速度、最大加速度时，起飞所需时间最短，故有

t＝＝ s＝4 s

则飞机起飞时在跑道上的加速时间至少为4 s.

(2)由v－v＝2ax得

x＝＝ m＝160 m，即航空母舰的跑道至少为160 m.

[答案]　(1)4 s　(2)160 m

1．中间位置的速度与初末速度的关系

在匀变速直线运动中，某段位移x的初末速度分别是v0和v，加速度为a，中间位置的速度为v，则根据速度与位移关系式，对前一半位移v－v＝2a·，对后一半位移v2－v＝2a·，即v－v＝v2－v，所以v＝.由数学知识知：v＞v＝.

2．由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例

(1)1T末、2T末、3T末……nT末瞬时速度之比

v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.

(2)1T内、2T内、3T内……nT内的位移之比

x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.

(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……第n个T内位移之比

xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．

(4)通过前x、前2x、前3x……位移时的速度之比

v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.

(5)通过前x、前2x、前3x……的位移所用时间之比

t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.

(6)通过连续相等的位移所用时间之比

tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．

【例2】　一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s.求：

(1)第6 s末的速度；

(2)前6 s内的位移；

(3)第6 s内的位移．

思路点拨：①小球做初速度为零的匀加速直线运动．

②注意区别前6 s和第6 s的确切含义．

[解析]　(1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比

v1∶v2＝4∶6＝2∶3

故第6 s末的速度v2＝v1＝6 m/s.

(2)由v1＝at1得

a＝＝m/s2＝1 m/s2.

所以第1 s内的位移

x1＝a×12 m＝0.5 m

第1 s内与前6 s内的位移之比

x1∶x6＝12∶62

故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m.

(3)第1 s内与第6 s内的位移之比

xⅠ∶xⅥ＝1∶(2×6－1)＝1∶11

故第6 s内的位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5 m.

[答案]　(1)6 m/s　(2)18 m　(3)5.5 m

有关匀变速直线运动推论的选取技巧

(1)对于初速度为零，且运动过程可分为等时间段或等位移段的匀加速直线运动，可优先考虑应用初速度为零的匀变速直线运动的常用推论．

(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，然后用比例关系，可使问题简化．

[跟进训练]

2.(多选)如图所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)(　　)

A．v1∶v2＝2∶1 B．v1∶v2＝∶1    

C．t1∶t2＝1∶ D．t1∶t2＝(－1)∶1

BD　[初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移的时间之比为1∶(－1)，故所求时间之比为(－1)∶1，所以C错误，D正确；由v＝at可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1∶，则所求的速度之比为∶1，故A错误，B正确．]

1．做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s内的位移是 (　　)

A．3.5 m 　　　B．2 m　　　C．1 m　　　D．0

B　[物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，所以由＝得，所求位移x1＝2 m，故B正确．]

2．A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则xAB∶xBC等于 (　　)

A．1∶8  B．1∶6  C．1∶5  D．1∶3

A　[由公式v－v＝2ax，得v2＝2axAB，(3v)2＝2a(xAB＋xBC)，两式相比可得xAB∶xBC＝1∶8.]

3．一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，第1秒内位移和第3秒内位移的比为(　　)

A．1∶9 B．1∶5

C．1∶4 D．1∶316

B　[根据x＝at2得1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9，则第1 s内、第3 s内的位移之比为1∶5，故B正确，A、C、D错误．]

4．(新情境题)歼­31是中航工业沈阳飞机工业集团研制的第五代单座双发战斗机，某次该飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速运动，加速度大小为4.0 m/s2，飞机速度达到80 m/s时离开地面升空．如果在飞机刚达到起飞速度时，突然接到命令停止起飞，飞行员立即使飞机紧急制动，飞机做匀减速运动，加速度的大小为5.0 m/s2.请你为该类型的飞机设计一条跑道，使在这种特殊的情况下飞机停止起飞而不滑出跑道．那么，设计的跑道至少要多长？

[解析]　由匀变速直线运动速度—位移关系式，可得飞机匀加速和匀减速阶段的位移分别为

x1＝＝ m＝800 m

x2＝＝ m＝640 m

所以，设计的跑道至少长

x＝x1＋x2＝(800＋640)m＝1 440 m.

[答案]　1 440 m