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初中北师大版3 线段的垂直平分线教学设计
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这是一份初中北师大版3 线段的垂直平分线教学设计，共8页。教案主要包含了作业检查，角平分线等内容，欢迎下载使用。
学生姓名
年级
学科
授课教师
上课时间
年 月 日
第（ ）次课
共（ ）次课
课时： 3 课时
教学课题
三角形的证明
教学目标
1、会用直尺圆规作一个已知角的平分线；
2、掌握线段的垂直平分线、角平分线的性质以及应用；
3、培养学生的观察、分析、归纳能力，探究精神和创新意识．
教学重点与难点
重点：线段的垂直平分线角平分线
难点：应用
一、作业检查
作业完成情况：优 良 中 差
内容回顾
回顾上节课内容
知识整理
知识点一、线段的垂直平分线
1．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC=18cm，AB=10cm，则△ABD的周长为（ ）.
A．16 cm B．28 cm C．26 cm D．18 cm
2．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）.
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
3．如图，△ABC中，AB=AC=5，线段AB的垂直平分线DE交边AB、AC分别于点E、D，
（1）若△BCD的周长为8，则BC的长为 ；
（2）若BC=4，则△BCD的周长为 ．
4．如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交AC于点E，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为 ．
5．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=12，求BC长．
6．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，求BE的长．
7．“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路、和两个城镇A，B，准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置．（保留画图痕迹，不写画法）
8．如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC，D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等.连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AP，若AC=4，BC=8时，试求BP的长．
10．如图，在中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，的周长为13cm，求△ABC的周长.
知识点二、角平分线
1.角平分线的概念
1.一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫角的平分线．
2.角平分线的性质
角平分线上的点到教的两边的距离相等．
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在角的平分线上．
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边等距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：
如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB ∴CD=CE
3.角平分线的性质证明
要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
在△ABC和△ADC中：
所以△ABC≌△ADC（SSS）．所以∠CAD=∠CAB．即射线AC就是∠DAB的平分线．
4.角平分线的画法
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
【练一练】
1.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（ ）
A．35°B．70°C．110°D．145°
2、如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．65°D．70°
3、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
4、 已知：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。
求证：AC＝AE＋CD
5、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．4B．3C．6D．5
6、 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP
7、如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8、如图：将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（ ）
A．90°＜α＜180°
B．α=90°
C．0°＜α＜90°
D．α随着折痕位置的变化而变化
总结：翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
9、如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上．下列条件中不能推出AB=AB′的是（ ）
A．BB′⊥ACB．BC=B′CC．∠ACB=∠ACB′D．∠ABC=∠AB′C
10、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A．AE=BEB．AC=BEC．CE=DED．∠CAE=∠B
11、在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=3：2，则点D到线段AB的距离为 ．
12、如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB= 度．
13、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是 度．
14、如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点
B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC、AB两边上的高的交点
D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
总结：线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
审批
数学科组长
教务主管
校区主任
学生姓名
年级
学科
授课教师
上课时间
年 月 日
第（ ）次课
共（ ）次课
课时： 3 课时
教学课题
三角形的证明
教学目标
1、会用直尺圆规作一个已知角的平分线；
2、掌握线段的垂直平分线、角平分线的性质以及应用；
3、培养学生的观察、分析、归纳能力，探究精神和创新意识．
教学重点与难点
重点：线段的垂直平分线角平分线
难点：应用
一、作业检查
作业完成情况：优 良 中 差
内容回顾
回顾上节课内容
知识整理
知识点一、线段的垂直平分线
1．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC=18cm，AB=10cm，则△ABD的周长为（ ）.
A．16 cm B．28 cm C．26 cm D．18 cm
2．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）.
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
3．如图，△ABC中，AB=AC=5，线段AB的垂直平分线DE交边AB、AC分别于点E、D，
（1）若△BCD的周长为8，则BC的长为 ；
（2）若BC=4，则△BCD的周长为 ．
4．如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交AC于点E，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为 ．
5．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=12，求BC长．
6．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，求BE的长．
7．“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路、和两个城镇A，B，准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置．（保留画图痕迹，不写画法）
8．如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC，D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等.连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AP，若AC=4，BC=8时，试求BP的长．
10．如图，在中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，的周长为13cm，求△ABC的周长.
知识点二、角平分线
1.角平分线的概念
1.一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫角的平分线．
2.角平分线的性质
角平分线上的点到教的两边的距离相等．
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在角的平分线上．
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边等距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：
如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB ∴CD=CE
3.角平分线的性质证明
要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
在△ABC和△ADC中：
所以△ABC≌△ADC（SSS）．所以∠CAD=∠CAB．即射线AC就是∠DAB的平分线．
4.角平分线的画法
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
【练一练】
1.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（ ）
A．35°B．70°C．110°D．145°
2、如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．65°D．70°
3、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
4、 已知：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。
求证：AC＝AE＋CD
5、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．4B．3C．6D．5
6、 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP
7、如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8、如图：将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（ ）
A．90°＜α＜180°
B．α=90°
C．0°＜α＜90°
D．α随着折痕位置的变化而变化
总结：翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
9、如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上．下列条件中不能推出AB=AB′的是（ ）
A．BB′⊥ACB．BC=B′CC．∠ACB=∠ACB′D．∠ABC=∠AB′C
10、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A．AE=BEB．AC=BEC．CE=DED．∠CAE=∠B
11、在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=3：2，则点D到线段AB的距离为 ．
12、如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB= 度．
13、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是 度．
14、如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点
B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC、AB两边上的高的交点
D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
总结：线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
审批
数学科组长
教务主管
校区主任
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