人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定课后复习题

18.1.3 平行四边形的判定（一）

基础对点练

知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠D=120°，则∠C的度数为（   ）   

A．60° B．70° C．80° D．90°

【答案】A

【解析】

【详解】

试题解析：∵AB=CD，BC=AD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠C+∠D=180°，

∵∠D=120°，

∴∠C=60°．

故选A．

2.如图，点D是直线外一点，在上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD＝4cm，AB＝5cm的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD的周长为________

.

【答案】18

3.用两个形状完全相同的三角形拼成平行四边形，有         种拼法。

【答案】3

4.如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且．

求证：四边形是平行四边形．

【答案】证明见解析．

【解析】

【分析】

欲证明四边形BFDE是平行四边形，只要证明BE=DF，BE∥DF即可．

【详解】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB = CD，

∵AE=CF，

∴AB-AE= CD-CF，

即BE=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．

知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

5.下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．3：4：4：3 B．2：2：3：3 C．4：3：2：1 D．4：3：4：3

【答案】D

【解析】

【分析】

由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有D能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．

【详解】

解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知D正确．

故选D．

【点睛】

本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．

6.如图，在▱ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．求证：四边形AECF是平行四边形．

【答案】见解析

【解析】

【详解】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，，

∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，

∴，

∴，

∵AB∥CD

∴

∴

∴AE∥CF

∴四边形AECF是平行四边形．

知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

7.下列能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）

A．一对邻角的和为180° B．两条对角线互相垂直

C．一组对角相等 D．两条对角线互相平分

【答案】D

【解析】

【分析】

平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法选择即可．

【详解】

解：根据平行四边形的判定可知D正确．

故选：D．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．

8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)

A．AB∥CD，AD∥BC

B．OA＝OC，OB＝OD

C．AD＝BC，AB∥CD

D．AB＝CD，AD＝BC

【答案】C

【解析】四边形ABCD满足条件AD＝BC，AB∥CD时，有可能是等腰梯形．故不能判定四边形ABCD为平行四边形．

9.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO.

求证：四边形ABCD是平行四边形．

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

∵AB∥CD，

∴∠ABO=∠CDO，

在△ABO与△CDO中，

，

∴△ABO≌△CDO(ASA)，

∴AO=CO，

又∵AB//CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，熟知平行四边形的判定定理是解此题的关键．

能力达标练

10.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE＝DC，∠C＝80°，则∠A等于（             ）

A．80° B．90° C．100° D．110°

【答案】C

【解析】

【详解】

∵DE=DC，∠C=80°，

∴∠DEC=80°，

∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEC=80°，

∵AD∥BC，

∴∠A=180°-80°=100°，

故选C．

11.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为(     )

A．6 B．12 C．20 D．24

【答案】D

【解析】

【分析】

在Rt△CBE中，由勾股定理可求得EC=5，又因AC=10，所以AE=EC=5．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形，进而可求得四边形ABCD的面积．

【详解】

解：∵∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，

∴，

∵AC＝10，

∴，

又∵BE＝ED＝3，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD的面积为BC×BD=4×6=24，

故选：D．

【点睛】

此题考查了勾股定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，平行四边形的判定．

12.如图，在4×4的正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，定义：由格点为顶点的平行四边形叫格点平行四边形．图中以A、B为顶点，面积为2的格点平行四边形的个数为（）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知，高为1，再去图上寻找符合的平行四边形 ．

【详解】

解：根据AB=2，平行四边形面积为2

所以，高=1

以AB为边，满足条件的有6个，

以AB为对角线满足条件的3个合计9个．

故选D．

【点睛】

本题需要理解题意，正确找到平行四边形的高，再图中找到满足定义平行四边形是关键．

13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E、F在BD上，请你添加一个条件_____使四边形AECF是平行四边形（填加一个即可）．

【答案】BE＝DF．(答案不唯一)

【解析】

【分析】

添加BE＝DF，证明四边形AECF的对角线互相平分即可．

【详解】

添加BE＝DF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO，BO＝DO，

∵BE＝DF，

∴BO−BE＝DO−DF，

∴EO＝FO，

∴四边形AECF是平行四边形．

故答案为BE＝DF.

【点睛】

本题考查的是平行四边形．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

14.在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．若，则________．

【答案】2或12

【解析】

【分析】

先证明四边形是平行四边形，得到AF=DE=5，再证明，得出DF=BF，求出BF长度即可得到DF.

【详解】

图（1）                                      图（2）

如图（1），当点在线段上时，

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形是平行四边形，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴．

如图（2），当点在的延长线上时，

同理可证，．

∵，

∴．

综上所述，的值为2或12．

故答案为：2或12．

【点睛】

此题考查平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

15.一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是______，依据是________．

【答案】     平行四边形     两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【解析】

【详解】

解：a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bd+d2）=0，（a﹣c）2+（b﹣d）2=0，∴a﹣c=0，b﹣d=0，∴a=c，b=d，∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故答案为平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

点睛：本题考查了配方法的应用．用到的知识点为：（a2﹣2ab+b2）=（a﹣b）2；两个非负数的和为0，这两个数均为0；两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

16.已知：如图，在▱ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．

求证：四边形MFNE是平行四边形．

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

又∵DF∥BE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∴DE=BF，ME∥NF，

∴AD-DE=BC-BF，即AE=CF，

又∵AE∥CF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∴MF∥NE，

∴四边形MFNE是平行四边形．

【解析】

【详解】

利用平行四边形的判定定理及定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：

（1）△AEF≌△BEC；

（2）四边形BCFD是平行四边形．

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

试题分析：（1）利用等边三角形的性质得出∠DAB=60°，即可得出∠ABC=60°，进而求出△AEF≌△BEC（ASA）；

（2）利用平行线的判定方法以及直角三角形的性质得出CF∥BD，进而求出答案．

试题解析：（1）∵E是AB中点，∴AE=BE，

∵△ABD是等边三角形，

∴∠DAB=60°，

∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=60°，

在△AEF和△BEC中

，

∴△AEF≌△BEC（ASA）；

（2）∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠DAB=60°，∠CAB=30°，

∴∠DAC=90°，

∴AD∥BC，

∵E是AB的中点，∠ACB=90°，

∴EC=AE=BE，

∴∠ECA=30°，∠FEA=60°，

∴∠EFA=∠BDA=60°，

∴CF∥BD，

∴四边形BCFD是平行四边形．

考点：1、平行四边形的判定；2、全等三角形的判定与性质

18.如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，点E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．

(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；

(2)若BC＝BD，求BF的长．

【答案】(1)见解析

(2)2

【解析】

【分析】

（1）根据同旁内角互补，两直线平行得出∥，从而得出，再证明，得出，从而证明四边形是平行四边形；

（2）根据平行四边形的性质得出的长，从而得出的长，再用勾股定理先求出的长，再求出的长．

(1)

证明：∵，

∴，

∴∥，

∴，

∵E是边CD的中点，

∴CE＝DE，

在△BEC与△FED中，

∴△BEC≌△FED（AAS），

∴，

∴四边形BDFC是平行四边形；

(2)

解：∵BD＝BC＝3，∠A＝90°，，

∴

∵四边形是平行四边形

∴

∴

∴

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用，熟练掌握全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用是解答此题的关键．

19.如图，在平行四边形ABCD中，的平行线交的延长线于点，交的延长线于点，交于点 .

(1)请指出图中平行四边形的个数，并说明理由;

(2)与相等吗?为什么?

【答案】（1）图中平行四边形有3个：平行四边形ABCD、平行四边形AMQC、平行四边形APNC；（2）MP=QN，理由见解析.

【解析】

【详解】

（1）由已知易得图中有3个平行四边形，分别是平行四边形ABCD、平行四边形AMQC和平行四边形APNC，由已知条件根据平行四边形的判定方法进行分析证明即可；

（2）MP=QN，由（1）可知四边形AMQC和四边形APNC都是平行四边形，由此可得MQ=AC=PN，由此可得MQ-PQ=PN-PQ，从而可得MP=QN.

详解：

（1）图中平行四边形有3个：平行四边形ABCD、平行四边形AMQC、平行四边形APNC，理由如下：

①四边形ABCD是平行四边形是已知条件；

②四边形APNC是平行四边形的理由：

∵AC∥MN AB∥CD

∴ ∠MPA＝∠PAC ∠MPA＝∠N

∴∠PAC＝∠N

∵AB∥CD

∴ ∠PAC+∠ACN＝180°，∠N+∠APN＝180°，

∴∠ACN＝∠APN，

∴四边形APNC是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）

③四边形AMQC是平行四边形的理由：

∵AC∥MN， AD∥BC，

∴ ∠M＝∠DAC ，∠DAC＝∠ACQ，

∴∠M＝∠ACQ，

∵AC∥MN，

∴ ∠M+∠MAC＝180°， ∠MQC+∠ACQ＝180°，

∴∠MAC＝∠MQC，

∴四边形AMQC是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）   

（2）MP=QN，理由如下：

∵由（1）可知四边形AMQC和四边形APNC都是平行四边形，

∴MQ=AC=PN，

∴MQ-PQ=PN-PQ，

∴MP=QN.

点睛：这是一道考查平行四边形的判定和性质的题，熟悉“平行四边形的性质和判定方法”是正确解答本题的关键.

拓广探索突破

20.如图，在平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，DC，BC，AD上的点，且AE＝CF，BG＝DH.求证：EF与GH互相平分.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

首先连接EH，FG，FH，GE，由在平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，DC，BC，AD上的点，且AE=CF，BG=DH，易证得△AEH≌△CFG，即可得FG=EH，继而可得HF=EG，即可证得四边形EGFH为平行四边形，继而证得EF与GH互相平分．

【详解】

证明：连接EH，FG，FH，GE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，

∵AE=CF，BG=DH，

∴AH=CG，BE=DF，

在△AEH和△CFG中，

 AE＝CF

∠A＝∠C

AH＝CG

∴△AEH≌△CGF（SAS），

∴EH=GF，

同理：EG=HF，

∴四边形EGFH为平行四边形，

∴EF与GH互相平分.

【点睛】

此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．解题关键是注意掌握辅助线的作法.