人教版七年级数学下册---不等式与不等式组单元综合提优专练（原卷+解析）

这是一份人教版七年级数学下册---不等式与不等式组单元综合提优专练（原卷+解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第九章 不等式与不等式组单元综合提优专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人能分到笔记本但数量不足3本，则共有学生（ ）
A．4人 B．5人 C．6人 D．5人或6人
2．m、n是常数，若的解是，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．若|m﹣1|+m＝1，则m一定（　　）
A．大于1 B．小于1 C．不小于1 D．不大于1
4．对有理数a，b定义运算：a✬b=ma +nb，其中m，n是常数，如果3✬4=2，5✬8>2，那么n的取值范围是（ ）
A．n> B．n< C．n>2 D．n-7的解集是x>1，则k的值为________.
19．已知a＞b，则15a+c_____15b+c（填“＞”“＜”或“＝”）．
20．已知，则代数式最大值与最小值的差是________．
三、解答题
21．“学党史，办实事”，为解决停车难问题，某区政府治堵办对老旧小区新增停车位给予补贴，对于通过划线方式新增的和建设改造新增的给予不同的补贴．划线4个和建设改造3个，共补贴8000元；划线1个和建设改造1个，共补贴2500元．
(1)政府对划线新增一个停车位和建设改造新增一个停车位分别补贴多少元？
(2)在（1）的条件下，政府计划对老旧小区一共新增车位100个，建设改造新增的停车位不得少于划线新增停车位的1.5倍，且政府补贴不超过143000元，则老旧小区新增停车位共有几种方案？
22．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元
(1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元；
(2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318，求他平均每天的送件数．
23．为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力提倡发展新能源．新能源汽车市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且还有免缴购置税等利好政策．某汽车租赁公司准备购买、两种型号的新能源汽车10辆．新能源汽车厂商提供了如下两种购买方案：
方案
汽车数量（单位：辆）
总费用
（单位：万元）


第一种购买方案
6
4
170
第二种购买方案
8
2
160

(1)、两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？
(2)为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴．已知国家对、两种型号的新能源汽车补贴资金分别为每辆3万元和4万元．通过测算，该汽车租赁公司在此次购车过程中，可以获得国家补贴资金不少于34万元，公司需要支付资金不超过145万元，请你通过计算求出有几种购买方案．
24．对，定义一种新的运算，规定：（其中）．已知，．
（1）求、的值；
（2）若，解不等式组．
25．阅读下面信息：
①数轴上两点M、N表示数分别为，那么点M与点N之间的距离记为，且．
②当数轴上三点A、B、C满足时，则称点C是“A对B的k相关点”．例如，当点A、B、C表示的数分别为0，1，2时，，所以C是“A对B的2相关点”．
根据以上信息，回答下列问题：
已知点A、B在数轴上表示的数分别为5和－4，动点P在数轴上表示的数为x：
（1）若点P是“A对B的2相关点”，则x＝ ；
（2）若x满足，且点P是“A对B的k相关点”，则k的最大值是 ；最小值是 ；
（3）若动点P从A点出发以每秒2个单位的速度向左运动，同时动点Q从B点出发以每秒1个单位的速度向右运动，运动t秒时，点Q恰好是“P对A的2相关点”，求t的值．
26．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为，则称d为点P到点Q的追击值，记作．例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为．
（1）点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值，则点N表示的数是____________（用含a的代数式表示）．
（2）如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒4个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为．

①当b＝5时，问t为何值时，点A到点B的追击值；
②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值都满足不大于9个单位长度，请直接写出b的取值范围．

】

第九章 不等式与不等式组单元综合提优专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人能分到笔记本但数量不足3本，则共有学生（ ）
A．4人 B．5人 C．6人 D．5人或6人
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题．
【详解详析】
解：设共有学生x人，
，
解得：，
故共有学生6人，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式组．
2．m、n是常数，若的解是，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
第一个不等式的方向改变，说明不等式两边除以的m小于0，由解集是x＜，可以继续判断n的符号，就可以得到第二个不等式的解集．
【详解详析】
解：由mx+n＞0的解集为x＜，
不等号方向改变，所以m＜0且-=，
∴=-＜0，
∵m＜0，
∴n＞0，
由nx-m＜0得x＜=-2，
所以x＜-2；
故选：D．
【名师指路】
本题考查解一元一次不等式，当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．
3．若|m﹣1|+m＝1，则m一定（　　）
A．大于1 B．小于1 C．不小于1 D．不大于1
【标准答案】D
【思路指引】
先将绝对值等式移项变形为|m﹣1|＝1 –m，利用绝对值的非负性质列不等式1 –m≥0，解不等式即可．
【详解详析】
解：∵|m﹣1|+m＝1，
∴|m﹣1|＝1 –m，
∵|m﹣1|≥0，
∴1 –m≥0，
∴m≤1．
故选择D．
【名师指路】
本题考查绝对值的性质，列不等式与解不等式，掌握绝对值的性质，列不等式与解不等式方法是解题关键．
4．对有理数a，b定义运算：a✬b=ma +nb，其中m，n是常数，如果3✬4=2，5✬8>2，那么n的取值范围是（ ）
A．n> B．n< C．n>2 D．n2可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得．
【详解详析】
解：由题意得：，
解得，
由5✬8>2得：，
将代入得：，
解得，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了一元一次不等式的应用，理解新运算的定义是解题关键．
5．下列四个说法：①若a＝﹣b，则a2＝b2；②若|m|+m＝0，则m＜0；③若﹣1＜m＜0，则m2＜﹣m；④两个四次多项式的和一定是四次多项式．其中正确说法的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意分别利用相反数的性质以及绝对值的代数意义和多项式的加法进行判断即可．
【详解详析】
解：①若a＝﹣b，则a2＝b2，说法正确；
②若|m|+m＝0，则m 0，说法错误；
③若﹣1＜m＜0，则m2＜﹣m，说法正确；
④两个四次多项式的和不一定是四次多项式，说法错误；
①③正确，共有2个.
故选：C.
【名师指路】
本题考查相反数的性质和不等式性质以及绝对值的代数意义和多项式的加法，熟练掌握相关的概念是解题的关键.
6．若x＜y，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．x-5＜y-5 B．x＜y C．x-y＜0 D．-5x＜-5y
【标准答案】D
【思路指引】
根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解详析】
解：A. ∵x＜y，∴x-5＜y-5，故不符合题意；
B. ∵x＜y，∴，故不符合题意；
C. ∵x＜y，∴x-y-7的解集是x>1，则k的值为________.
【标准答案】2
【详解详析】
试题分析：不等式可变形为：3x＞5k－7，
x＞，
∵关于x的不等式3x－5k>－7的解集是x>1，
∴＝1，
解得：k＝2．
故答案为2．
点睛：本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的方程是解题关键．
19．已知a＞b，则15a+c_____15b+c（填“＞”“＜”或“＝”）．
【标准答案】>
【思路指引】
根据不等式的性质求解即可，15>0，所以不等式两端同时乘15时，不改变不等号的方向．
【详解详析】
∵a＞b，15>0
∴15a＞15b
∴15a+c＞15b+c
故答案为>．
【名师指路】
本题考查了不等式的性质，熟记不等式两端同时乘或除一个负数时，符号改变是本题的关键．
20．已知，则代数式最大值与最小值的差是________．
【标准答案】
【思路指引】
首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a．
【详解详析】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解不等式组得：；
（1）当时，，
当时有最小值，
当时有最大值5；
（2）当时，，
∴当时的值恒等于5（最大值）；
∴最大值与最小值的差是.

故答案为：.
【名师指路】
此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等式的求解步骤，绝对值的性质．
三、解答题
21．“学党史，办实事”，为解决停车难问题，某区政府治堵办对老旧小区新增停车位给予补贴，对于通过划线方式新增的和建设改造新增的给予不同的补贴．划线4个和建设改造3个，共补贴8000元；划线1个和建设改造1个，共补贴2500元．
(1)政府对划线新增一个停车位和建设改造新增一个停车位分别补贴多少元？
(2)在（1）的条件下，政府计划对老旧小区一共新增车位100个，建设改造新增的停车位不得少于划线新增停车位的1.5倍，且政府补贴不超过143000元，则老旧小区新增停车位共有几种方案？
【标准答案】(1)政府对划线新增一个停车位补贴500元，对建设改造新增一个停车位补贴2000元
(2)共有3种方案
【思路指引】
（1）设政府对划线新增一个停车位补贴x元，对建设改造新增一个停车位补贴y元，根据“划线4个和建设改造3个，共补贴8000元；划线1个和建设改造1个，共补贴2500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设老旧小区划线新增m个停车位，则建设改造新增（100-m）个停车位，根据“建设改造新增的停车位不得少于划线新增停车位的1.5倍，且政府补贴不超过143000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出老旧小区新增停车位方案的个数．
(1)
设政府对划线新增一个停车位补贴元，对建设改造新增一个停车位补贴元，
依题意得：，
解得：．
答：政府对划线新增一个停车位补贴500元，对建设改造新增一个停车位补贴2000元．
(2)
设老旧小区划线新增个停车位，则建设改造新增个停车位，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
可以为38，39，40，
老旧小区新增停车位共有3种方案．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元
(1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元；
(2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318，求他平均每天的送件数．
【标准答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元
(2)他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件
【思路指引】
（1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，列二元一次方程求解；
（2）设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，列不等式组求解．
(1)
解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，根据题意得：
，
解得，
答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元；
(2)
解：设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，根据题意得：
，
解得，
是正整数，
的值为160，161，162，163，164，
答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件．
【名师指路】
此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
23．为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力提倡发展新能源．新能源汽车市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且还有免缴购置税等利好政策．某汽车租赁公司准备购买、两种型号的新能源汽车10辆．新能源汽车厂商提供了如下两种购买方案：
方案
汽车数量（单位：辆）
总费用
（单位：万元）


第一种购买方案
6
4
170
第二种购买方案
8
2
160

(1)、两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？
(2)为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴．已知国家对、两种型号的新能源汽车补贴资金分别为每辆3万元和4万元．通过测算，该汽车租赁公司在此次购车过程中，可以获得国家补贴资金不少于34万元，公司需要支付资金不超过145万元，请你通过计算求出有几种购买方案．
【标准答案】(1)型号新能源汽车每辆的价格是15万元，型号新能源汽车每辆的价格是20万元
(2)共有三种购车方案，方案一：购买型号新能源汽车4辆，则购买型号新能源汽车6辆；方案二：购买型号新能源汽车5辆，则购买型号新能源汽车5辆；方案三：购买型号新能源汽车6辆，则购买型号新能源汽车4辆
【思路指引】
（1）设A种型号的新能源汽车每辆的价格为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的价格为y万元，根据总价=单价×数量结合汽车厂商提供的两种购买方案，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该汽车租赁公司购进A种型号的新能源汽车a辆，则购进B种型号的新能源汽车（10-a）辆，根据国家补贴资金不少于34万元及公司需要支付资金不超过145万元，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数即可得出各购买方案．
(1)
设型号新能源汽车每辆的价格是万元，型号新能源汽车每辆的价格是万元.
由题意得：解得：.
型号新能源汽车每辆的价格是15万元，型号新能源汽车每辆的价格是20万元.
(2)
设购买型号新能源汽车辆，则购买型号新能源汽车辆.
由题意得：
解得：.
∵a是整数，
∴a=4，5或6
∴共有三种购车方案
方案一：购买型号新能源汽车4辆，则购买型号新能源汽车6辆
方案二：购买型号新能源汽车5辆，则购买型号新能源汽车5辆
方案三：购买型号新能源汽车6辆，则购买型号新能源汽车4辆
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
24．对，定义一种新的运算，规定：（其中）．已知，．
（1）求、的值；
（2）若，解不等式组．
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）先根据规定的新运算列出关于m、n的方程组，再解之即可；
（2）由a＞0得出2a＞a-1，-a-1＜-a，根据新定义列出关于a的不等式组，解之即可．
【详解详析】
解：（1）由题意，得：，
解得；
（2）∵a＞0，
∴2a＞a，
∴2a＞a-1，-a＜-a，
∴-a-1＜-a，
∴，
解不等式①，得：a＜1，
解不等式②，得：a≥，
∴不等式组的解集为≤a＜1．
【名师指路】
本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据新定义列出相应的方程组和不等式组是解答此题的关键．
25．阅读下面信息：
①数轴上两点M、N表示数分别为，那么点M与点N之间的距离记为，且．
②当数轴上三点A、B、C满足时，则称点C是“A对B的k相关点”．例如，当点A、B、C表示的数分别为0，1，2时，，所以C是“A对B的2相关点”．
根据以上信息，回答下列问题：
已知点A、B在数轴上表示的数分别为5和－4，动点P在数轴上表示的数为x：
（1）若点P是“A对B的2相关点”，则x＝ ；
（2）若x满足，且点P是“A对B的k相关点”，则k的最大值是 ；最小值是 ；
（3）若动点P从A点出发以每秒2个单位的速度向左运动，同时动点Q从B点出发以每秒1个单位的速度向右运动，运动t秒时，点Q恰好是“P对A的2相关点”，求t的值．
【标准答案】（1）或；（2）8，；（3）．
【思路指引】
（1）根据“相关点”的定义建立方程，解方程即可得；
（2）先求出的取值范围，再根据“相关点”的定义，将用含的式子表示出来，由此可得一个不等式组，解不等式组即可得；
（3）先根据数轴的定义分别求出点所表示的数，从而可得的值，再根据“相关点”的定义建立方程，解方程即可得．
【详解详析】
解：（1）由题意得：，
点是“对的2相关点”，
，即，
化简得：或，
解得或，
故答案为：或；
（2），且，
，
，
点是“对的相关点”，
，即，
解得，
，即，
，
又，
，
解得，
则的最大值是8，最小值是，
故答案为：8，；
（3）运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，
则，
点恰好是“对的2相关点，
，即，
化简得：或，
解得（舍去）或，
故的值为．
【名师指路】
本题考查了数轴、一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，正确理解“相关点”的定义是解题关键．
26．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为，则称d为点P到点Q的追击值，记作．例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P到点Q的追击值为．
（1）点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的追击值，则点N表示的数是____________（用含a的代数式表示）．
（2）如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒4个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为．

①当b＝5时，问t为何值时，点A到点B的追击值；
②当时间t不超过3秒时，要想使点A到点B的追击值都满足不大于9个单位长度，请直接写出b的取值范围．
【标准答案】（1）或；（2）①或；②
【思路指引】
（1）根据追击值的定义，分在左侧和右侧两种情况进行讨论，分别求解；
（2）①分点在的左侧和右侧两种情况，根据追击值，列方程求解即可；②用含有的式子表示出、，分点在的左侧和右侧两种情况，分别求解即可．
【详解详析】
解：（1）由题意可得：点到点的距离为，
当在左侧时，则表示的数为，
当在右侧时，则表示的数为
故答案为或；
（2）①由题意可得：点表示的数为，点表示的数为
当点在的左侧时，即，解得，
∵，∴，解得
当点在的右侧时，即，解得，
∵，∴，解得
综上，或时，；
②由题意可得：点表示的数为，点表示的数为
当点在点的左侧或重合时，此时，随着的增大，与之间的距离越来越大，
∵时，，即时，，，解得
即
当点在点的右侧时，此时，在不重合的情况下，之间的距离越来越小，最大为初始状态，即时，，，
在可以重合的情况下，，，的最大值为
综上，
【名师指路】
本题考查了数轴上的动点问题，涉及了两点之间的距离，解题的关键是对数轴上两点之间的距离进行分情况讨论．