江苏省镇江市2023届高二下学期期末数学试题 含解析

2020-2021学年度第二学期高二期末数学试卷

数学

一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A．   B．   C．   D．

2．若，，则的值为

A．   B．   C．   D．2021

3．草木葱茏，绿树成荫，鸟语花香，空气清新是我们梦寐以求的家园．为了改善生活环境，今年3月份某学校开展了植树活动，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程后，由于某种原因其中一个数据被损坏（表格中？？处数据），请你推断出该数据的值

A．81   B．81.7   C．81.6   D．82

4．一不透明的口袋内装有若干个形状、质地完全相同的红色和黄色小球．若事件“第一次摸出红球且第二次摸出黄球”的概率为，事件“在第一次摸出红球的条件下，第三次摸出黄球”的概率为，则事件“第一次摸出红球”的概率为

A．   B．   C．   D．

5．现有4位学生干部分管班级的三项不同的学生工作，其中每一项工作至少有一人分管且每人只能分管一项工作，则这4位学生干部不同的分管方案种数为

A．18   B．36   C．72   D．81

6．某航空母舰的飞行甲板后部有四套安全着陆装置，，，，降落的飞行员着陆时，启用哪套安全着陆装置按就近原则，例如：当某次降落的~飞行员着陆时离装置最近，首选启用装置，若成功启用装置，则在此次着陆过程中不启用其它三套装置，若装置出现故障则启用除装置之外的最近装置，依此类推只有当四套安全着陆装置同时出现故障时，降落的飞行员着陆失败需拉起复飞经过对多次试验数据统计分析显示：成功启用装置的概率为25%，成功启用装置或装置的概率为54%，降落的飞行员着陆失败需拉起复飞的概率约为1%现有一架战机着舰演练100次，则成功启用装置的次数约为

A．5   B．15   C．20   D．25

7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为

A．   B．

C．   D．

8若点，分别是函数与图象上的动点（其中是自然对数的底数），则的最小值为

A．   B．   C．   D．17

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9．若，则下列结论一定成立的是

A．   B．   C．   D．

10．一个不透明的口袋内装有若干张大小、形状完全相同的红色和黄色卡片，现从口袋内随机抽取卡片，每次抽取一张，随机变量5表示抽到黄色卡片的张数，下列说法正确的有

A．若口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中不放回地抽取卡片，则第一次抽到红色卡片且第二次抽到黄色卡片的概率为

B．口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中有放回地抽取6次卡片，则随机变量，且

C．若随机变量，且，则口袋内黄色卡片的张数是红色卡片张数的2倍

D．随机变量，，若，，则

11．已知命题；命题．若是的充分不必要条件，则实数的值是

A．   B．1   C．   D．0

12．已知函数，，函数和的导数分别量为，，则

A．的最大值为1    B．

C．   D．当时，恒成立

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．曲线在原点处的切线方程为______．

14．已知圆柱的体积为，则该圆柱的表面积的最小值为______．

15．若的展开式中的系数为，则的值为______，二项展开式中系数最大的为______．

16．某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中______次．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）有三个条件：①函数的图象过点，且；②在时取得极大值；③函数在处的切线方程为，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题．

题目：已知函数存在极值，并且______．

（1）求的解析式；

（2）当时，求函数的最值

18．（12分）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指数（Body mass Index，缩写来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是

中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．

为了解某学校教职工的身体肥胖情况，研究人员通过对该学校教职工体检数据分析，计算得到他们的值统计如下表：

（1）根据上述表格中的数据，计算并填写下面的列联表，并回答是否有90%的把握认为肥胖（）与教职工性别有关．

（2）在的教职工中，按男女比例采用分层抽样的方法随机抽取8人，然后从这8名教职工中随机抽取2人，问被抽到的2人中至少有一名女教职工的概率为多少？

参考数据：

，其中．

19．（12分）在三棱柱中，，分别为线段与的中点

（1）求证：平面；

（2）若侧面为矩形，底面为等腰直角三角形，，与侧面所成角的正切值为，与底面所成角的正弦值为，求二面角的正切值．

20．（12分）（1）解不等式；

（2）对于题目：已知，，且，求最小值．

同学甲的解法：因为，，所以，，从而：

．

所以的最小值为8．

同学乙的解法：因为，，

所以．

所以的最小值为．

①请对两位同学的解法正确性作出评价；

②为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：

已知，，且，求的最小值．

21．（12分）为了促进学生加强体育锻炼，提升身体素质，某校决定举行羽毛球单打比赛甲和乙进入了决赛，决赛采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，且每局比赛结果互不影响．

（1）求决赛只比赛三局就结束的概率；

（2）假设比赛规定：每局胜者得2分，负者得分．

①求甲得5分的概率；

②设甲的分数为，求随机变量5的分布列和数学期望．

22．（12分）已知函数（，为自然对数的底数）．

（1）若，请判断函数的单调性；

（2）若对，，当，时，都有，成立，求实数的取值范围．

2020~2021学年度第二学期高二期末数学试卷

答案

一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】D

【解析】易知，则，选D．

2．【答案】C．

【解析】取，则有，选C．

3．【答案】A

【解析】，，所以，得，选A．

4．【答案】D

【解析】，选D．

5．【答案】B

【解析】，选B．

6．【答案】C

【解析】启用装置的概率为，所以成功启用装置的次数约为，选C．

7．【答案】C

【解析】易知，，，则，等价于，可知其解集为，选C．

8．【答案】A

【解析】

法一：

设，则有，令，得，所以可知，，选A．

法二：

设，，

令且当时，，；

当时，，

设与平行且与相切的直线与切于

．

到直线的距离为，即，故选A．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】AC

【解析】由，易知，，选AC．

10．【答案】ACD

【解析】对于，，正确；

对于，，错误；

对于，有，则，所以黄卡是红卡数量的2倍，正确；

对于，有，得，所以，正确；

选ACD．

11．【答案】CD

【解析】

法一：

对于：，对于：，又是的充分不必要条件，

可得，选CD．

法二：

：，是的充分不必要条件，

若时，：，

若时，：，

，：全体实数，此时满足

综上选：CD．

12．【答案】ACD

【解析】由，易知，A正确；

，则时，，

C，D正确，选ACD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】

【解析】，所以，则切线为．

14．【答案】

【解析】设高为，半径为，有，则．

所以．

15．【答案】；

【解析】通项为，令，得，则，得；

又系数为，考虑为偶数的情况即可，易知时，系数最大为．

16．【答案】4

【解析】

法一：

记命中次数为，则，

考虑，得

所以，则，

所以最有可能命中4次．

法二：

投篮命中次数，

设最有可能命中次，则

，，．

最有可能命中4次．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解析】

选①

（1）易知，所以；

（2）由，

所以单调递增，故，．

18．【解析】

（1）列联表如下：

所以，

则有，故没有的把握认为肥胖与教职工性别有关；

（2）在的教职工中，男33，女11，比例为，所以抽取男6，女2，记至少有一名女教职工为事件，则．

19．【解析】

（1）取中点为，连结，，则有，，又，则平面平面，所以平面

（2）依题意易知，所以，

设二面角为，易知有，，，，

由余弦定理有，所以，

所以，则有，故．

解析二：

（1）证明：取的中点，连接，，，分别为，的中点．

，，

四边形为平行四边形，

平面，平面，平面．

（2）为等腰直角三角形，，，，

又侧面为矩形，，，平面

取中点，连接，，则，平面

由平面，平面平面平面

设到底面距离为，

而，平面，过作于点，连接

则即为所求二面角的平面角，

．

20．【解析】

解法一：

（1）

（2）①甲错误，乙正确，同学甲的解法取等为，，此时，不符合题目

要求，所以甲错误；

②易知

，

当且仅当，即取等，故．

解法二：

（1）

，故不等式解集为．

（2）①甲错误，乙正确，甲同学连续两次运用基本不等式，并不能保证可以同时取“=”．

②

当且仅当，即时，取“=” ．

21．【解析】

解法一：

（1）；

（2）①甲得5分，3胜1负，概率为；

②易知可取，，1，4，5，6，

有，

，，

，，

所以分布列如下：

数学期望为．

解法二：

（1）设甲连胜三局的概率为，乙连胜三局的概率为

则比赛三局就结束的概率．

（2）①甲得5分的情况为：甲胜3局，负1局

②ξ的所有可能取值为：6，5，4，1，，

，，

，

，

，

．

的分布列如下

．

22．【解析】

解法一：

（1）易知，．

所以在单调递减，在单调递增，则，

所以单调递增；

（2）不妨设，则，等价于，

记，等价于在单调递增，即恒成立，

易知，，

则由（1）可知在单调递减，在单调递增，

所以，则可知．

解法二：（1）

令，，令

且当时，，；当时，，

，而，

在上单调递增．

（2）由，的对称性，不妨设

则

令，

在上单调递增．

，对任意的恒成立

，实数的取值范围为．