2023届江苏省镇江市高三上学期期中数学试题含解析

2023届江苏省镇江市高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合，,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数和指数的性质解出集合M和N，从而可求得答案.

【详解】，

，

故，，

∴.

故选：B.

2．命题：“ ”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.

【详解】“”的否定是“”，

故选：C.

3．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的运算可求得实数的值，再利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可求得结果.

【详解】由已知可得，所以，，

所以，，故，

因此，.

故选：A.

4．云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（    ）

（，，精确到1）

A．42 B．45 C．51 D．57

【答案】D

【分析】利用直角三角形的正弦公式及解三角形的正弦定理，依次求得即可.

【详解】因为，

所以在中，，故，

在中，，则，

所以由正弦定理得，故，

所以在中，，故.

故选：D.

5．已知等比数列中，，其前项和为，前项积为，且，，则使得成立的正整数的最小值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】D

【分析】根据等数列的通项关系，求得，从而得，于是有，解不等式

【详解】解：因为，，所以

即，则

，或，又，

，

则，

则，得，则.

选选：D.

6．中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】取中点，连,根据三角形重心定理，结合向量的线性运算，即可得到结果.

【详解】

取中点，连,则点为的重心，，

即，

故选：D.

7．某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为40，满盘时直径为120，已知卫生纸的厚度为0.1，则满盘时卫生纸的总长度大约（    ）（π≈3.14，精确到1）

A．60 B．80 C．100 D．120

【答案】C

【分析】将卫生纸的长度近似看成400个直径成等差数列的圆周长的和，利用等差数列前n项和公式即可求得满盘时卫生纸的总长度大约为100

【详解】空盘直径是，半径是，周长是

满盘直径是，半径是，周长是

，则每一圈周长成等差数列，共400项，

，

故选：C.

8．已知函数记函数为的导函数，函数的图象在处的切线与x轴相交的横坐标为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由导数的几何意义可求出切线方程，再利用裂项相消法即可求解.

【详解】，切点，，

切线方程为：，令，即

，切点，

，

切线方程为：，令，

所以，

故选：B

二、多选题

9．已知a，b，c，d∈R，下列命题正确的是（    ）

A．若a<b<0，则a2<ab<b2 B．若a>b，则ac2≥bc2

C．不等式恒成立 D．若，且，则

【答案】BC

【分析】对于AD，举反例即可排除；

对于B，利用不等式的性质即可判断；

对于C，利用基本不等式即可判断.

【详解】对于A，令，则，但，故A错误；

对于B，因为，，所以，当时取“，故B正确；

对于C，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以恒成立，故C正确；

对于D，令，则，，且，所以由的单调性可知，故D错误.

故选：BC.

10．下列判断正确的有（    ）

A．当时，方程存在唯一实数解

B．当时，

C．

D．

【答案】BCD

【分析】(1)将方程转化为在上无解，(2)构造根据函数的导数讨论单调性和最值即可判断， (3)由(2)可确定，再构造函数利用导数和单调性最值的关系可确定， (4)根据可判断.

【详解】时，,即在上无解，

故A错误；

时令，

在单调递减，所以即

故B正确；

因为

令

令，

所以在单调递减，所以，

即

则在上单调递减，

，即，即

故C正确；

故D正确；

故选：BCD.

11．设为单位向量，满足，设的夹角为，下列说法正确的是（    ）

A．

B．的最小值为2

C．最小值为

D．当时，使方程成立的一定是负数

【答案】ACD

【分析】利用向量的数量积运算律以及夹角公式，模长公式即可求解.

【详解】，故A正确；

故B错误；

故C正确；

，

因为，所以

即一定是负数，故D正确；

故选:ACD.

12．设函数，已知在有且仅有5个零点．下面论述正确的是（    ）．

A．在有且仅有3个极大值点 B．在有且仅有2个极小值点

C．在单调递增 D．的取值范围是

【答案】ACD

【分析】结合正弦函数的图像和性质可判断A，B选项，根据在有且仅有5个零点，可得，解出，可判断D，由，得，而要在单调递增，从而可得，进而可求出的范围，可判断C

【详解】解：当时，，

因为在有且仅有5个零点，

所以在上有且仅有3个极大值点，而极小值点有2个或3 个，所以A正确，B错误；

因为，所以，所以D正确；

当时，，

若在单调递增，则，得，而，所以C正确，

故选：ACD

【点睛】此题考查了三角函数的图像与性质，考查计算能力，属于中档题

三、填空题

13．“m＞1”是“函数的最大值小于1”的___________条件.(在“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“既不充分也不必要”中选择一个填空)

【答案】充分不必要

【分析】根据m＞1利用基本不等式求出f(x)最大值可判断充分性；利用导数判断f(x)的单调性，求出其最大值，令最大值小于1求出m的范围，由此可判断必要性．

【详解】①时，，即；

②对于函数，，

若，则，f(x)在x>0时单调递减，没有最大值；

若，则时，，单调递增；时，，单调递减；

∴，若，则．

故“m＞1”是“函数的最大值小于1”的“充分不必要”条件．

故答案为：充分不必要．

14．已知向量，若，则___________.

【答案】

【分析】由已知，根据已知条件，先表示出的坐标形式，然后再根据，直接列式求解即可.

【详解】由已知，，

所以，

由可知：，解得.

故答案为：.

15．已知，若有且仅有三个整数解，则a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】，令，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性结合已知即可得解.

【详解】解：，

令，

令，则，

所以函数在上递减，

又，

当时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

因为有且仅有三个整数解，

所以，即，

所以a的取值范围是.

故答案为：.

四、双空题

16．已知，则___________，___________

【答案】         

【分析】利用结合和角公式可求；利用结合和角公式可求

【详解】

故答案为：；

五、解答题

17．已知向量.

(1)若，求的值；

(2)记，求函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量坐标的线性运算得的坐标，根据的坐标关系可得，从而可得，，即可求解的值；

（2）求解化成余弦型函数，再由三角函数图象变化得，根据余弦函数图象性质求函数的值域即可.

【详解】（1）解：，

，

，即

，.

（2）解：

由图象向右平移，横坐标变为2倍得

，

在单调递增，单调递减

，即值域为.

18．已知数列首项为2，满足，求：

(1)数列的通项公式；

(2)数列的前n项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题设可得，即可得为等比数列，写出通项公式，即可得的通项公式；

（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求.

【详解】（1）已知数列满足，则，

则是首项为，公比为2的等比数列，

故，即.

（2），①

②

①②可得：

19．在中，角的对边分别为已知.

(1)求角的大小；

(2)边上有一点，满足，且，求周长的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到，即可求出角的大小；

（2）利用数量积的定义得到，求出.由面积相等得到.整理出周长

，令， ，得到，利用单调性法求出的周长最小值.

【详解】（1），由正弦定理得：.

.

.

（2），

化简得：周长

令，即

又由复合函数单调性知在时单调递增

当时，.

即的周长最小值为.

20．“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：

优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；

优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．

例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元．

(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；

(2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？

【答案】(1)一次支付好，理由见解析

(2)购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件

【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；

（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案.

【详解】（1）分两次支付：支付额为

元;

一次支付：支付额为元,

因为，所以一次支付好；

（2）设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件，

当时，不能享受每满400元再减40元的优惠

当时，，，

当时，，；

当时，，．

所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．

当时，能享受每满400元再减40元的优惠

当时，，

当，时，;

当时，，

y随着n的增大而增大，所以当，时，．

综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．

21．已知函数是定义在上的奇函数.

(1)求函数的解析式，判断函数在定义域上的单调性并证明；

(2)令，若对，使得，求实数的取值范围.

【答案】(1)，在上单调递减，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，利用奇函数的性质求解，即可得函数的解析式；判断函数在上的单调性，利用单调性定义任取，且，作差变形，判断差的符号即可证明单调性；

（2）根据不等式，参变分离转化为函数最值问题，即得实数的取值范围.

【详解】（1）解：是上的奇函数，

再由

在上单调递减

任取，且，则

，在上递减.

（2）解：对恒成立

令

，即的取值范围为.

22．已知函数.

(1)求函数f（x）的单调区间；

(2)若对任意的x>1，f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围；

(3)证明：若函数f（x）有极值点，则f（x）必有3个不同的零点.

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）求出，对判别式的正负进行讨论，得出函数的单调区间；

（2）借助第一问的结论，将不等式恒成立问题转化为单调性求最值得问题，另外注意特殊值；

（3）借助第一问的结论，确定在的时候存在极值，然后根据两极值点的大小及隐含范围，逐步给与证明.

【详解】（1）定义域为

，

令，即，

（i）若，即时，在上单调递增.

（ii）若时，在上恒成立，则有，在上单调递增.

（iii）若时，令，则；

当时，有；

当时，有.

因此在上单调递增，上单调递减，上单调递增.

综上：时，单增区间为，无单减区间；

时，单调递增区间为，

单递减区间为

（2）由（1）知，当时，在上单调递增，此时

当时，在上单调递减，此时有

这与矛盾，综上：的取值范围为.

（3）由（1）知，当时，无极值点

当时，在上单调递增，上单调递减，

上单调递增且

则为极大值，为极小值.

又

要使有3个不同的零点，则，

当时，，令

，当时，，令

在，上各有一个零点

另一个零点为1，共3个不同的零点.

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；