2023-2024学年江苏省镇江市镇江中学高二下学期见面（开学）考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省镇江市镇江中学高二下学期见面（开学）考试数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为l，则焦点F到准线l的距离为
( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
2.设z=3−i1+2i，则|z|=( )
A. 2B. 3C. 2D. 1
3.为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin(3x+π5)图象上所有的点
( )
A. 向左平移π5个单位长度B. 向右平移π5个单位长度
C. 向左平移π15个单位长度D. 向右平移π15个单位长度
4.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=( )
A. 16B. 8C. 4D. 2
5.设A(2,−1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为
( )
A. (x−3)2+y2=4B. (x−3)2+y2=2
C. (x+3)2+y2=2D. (x+3)2+y2=8
6.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为▵ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为
( )
A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π
7.若f(x)=(x+a)ln2x−12x+1为偶函数，则a=( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A. BM=EN，且直线BM，EN是相交直线
B. BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C. BM=EN，且直线BM，EN是异面直线
D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间(单位：分钟)，得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是( )
A. 骑车时间的中位数的估计值是22分钟
B. 骑车时间的众数的估计值是21分钟
C. 坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
D. 坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
10.已知等差数列an的前n项和为Sn，S10=0，S15=25，则
( )
A. a5=0B. an的前n项和中S5最小
C. 使Sn<0时n的最大值为9D. 数列Snn的前10项和为−15
11.已知▵ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a,b,c下列命题正确的有
( )
A. 若A>B，则csA>csB
B. 若A=π6，a=4，则▵ABC外接圆半径为4
C. 若a=2bcsC，则▵ABC为直角三角形
D. 若b=1，c=3，A=2π3，则S△ABC=3 34
12.已知椭圆C:x225+y29=1,F1,F2分别为它的左右焦点，A,B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有
( )
A. 存在P使得∠F1PF2=π2B. cs∠F1PF2的最小值为−18
C. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值925D. PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(1,3)，b=(3,4)，若(a−λb)⊥b，则λ= ．
14.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 3，B=60°，a2+c2=3ac，则b= ．
15.已知双曲线C：x2m−y2=1(m>0)的一条渐近线为 3x+my=0，则C的焦距为 ．
16.已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=−a5．
(1)若a3=4，求{an}的通项公式；
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
18.(本小题12分)
直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=AC=2,AA1⊥AB,AC⊥AB，D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点．
(1)求证：EF//平面ABC；
(2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值；
(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70．
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
20.(本小题12分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csA1+sinA=sin2B1+cs2B．
(1)若C=2π3，求B；
(2)求a2+b2c2的最小值．
21.(本小题12分)
已知{an}的前n项和为Sn，a1=2，且满足 ，现有以下条件：
①2a1+22a2+23a3+⋯+2nan=4n+1−43; ②Sn=2an−2; ③Sn+1−2Sn=2．
请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=nlg2an+1，求{2n+1bn2}的前n项和Tn，并证明：34⩽Tn<1．
22.(本小题12分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点分别为F1，F2，离心率为 22，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F2的直线交椭圆于M，N两点，求F1M⋅F1N的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据抛物线的定义运算即可．
【详解】∵抛物线C：x2=4y，∴p=2,
根据抛物线的定义，得焦点F到准线l的距离为p=2．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题．
先化简复数z=3−i1+2i，再由复数模的计算公式可得|z|．
【解答】
解： 因为z=3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=15−75i，
所以|z|= (15)2+(−75)2= 2．
故选C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数的图象变换，属于基础题．
根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【解答】
解：因为y=2sin3x=2sin3x−π15+π5，
所以把函数y=2sin3x+π5图象上的所有点向右平移π15个单位长度，即可得到函数y=2sin3x的图象．
故选D．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式，属基础题．
设等比数列{an}的公比为q(q>0)，根据条件可得a1+a1q+a1q2+a1q3=15a1q4=3a1q2+4a1，解方程即可．
【解答】
解：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
则由前4项和为15，且a5=3a3+4a1，
有a1+a1q+a1q2+a1q3=15a1q4=3a1q2+4a1,∴a1=1q=2,
∴a3=22=4，
故选C．
5.【答案】B
【解析】【分析】由题知圆心为3,0，半径为 2，再求方程即可．
【详解】解：由题知线段AB中点为3,0，AB= 4+4=2 2，
所以，以线段AB为直径的圆的圆心为3,0，半径为 2，其方程为(x−3)2+y2=2
故选：B
6.【答案】A
【解析】【分析】由已知可得等边▵ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO1的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论．
【详解】设圆O1半径为r，球的半径为R，依题意，
得πr2=4π,∴r=2，∵▵ABC为等边三角形，
由正弦定理可得AB=2rsin60∘=2 3，
∴OO1=AB=2 3，根据球的截面性质OO1⊥平面ABC，
∴OO1⊥O1A,R=OA= OO 12+O1A2= OO 12+r2=4，
∴球O的表面积S=4πR2=64π．
故选：A

【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性求参数，属于基础题．
根据偶函数有f(−x)=f(x)，即可求参数a．
【解答】
解：因为g(x)=ln2x−12x+1是奇函数，而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数，有
f(−x)=(−x+a)g(−x)=−(−x+a)g(x)=(x+a)g(x)=f(x)，故x−a=x+a，则a=0，
故选B．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
推导出BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，从而直线BM，EN是相交直线，设DE=a，通过计算得到BM≠EN．
【解答】
解：连接BD，∵点N为正方形ABCD的中心，则N为BD中点，
又M是线段ED的中点，
∴BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE，
∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，
∴直线BM，EN是相交直线，
取CD中点F，连接EF，BF，FN，则CD⊥EF，
∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD=CD，EF⊂平面ECD，
∴EF⊥平面ABCD，
又BF、FN⊂平面ABCD，
∴EF⊥BF，EF⊥FN，
设DE=a，则BD= 2a，EF= 32a，BF= 52a，FN=12a，
则BE= 34a2+54a2= 2a，
∴BM⊥DE，
∴BM= 72a，EN= 34a2+14a2=a，
∴BM≠EN，
故选B．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查频率分布直方图和样本数字特征．
由频率分布直方图、中位数、众数和平均数即可判断．
对于A：找到骑车时间的中位数所在组，代入公式求值即可；
对于B：找到骑车时间的频率最高的一组，取其组中值即为骑车时间的众数的估计值；
对于C：找到坐公交车时间的40%分位数所在组，代入公式求值即可；
对于D：分别计算出坐公交车时间的平均数与骑车时间的平均数的估计值，比较即可．
【解答】
解：对于A：∵0.1×2=0.2<0.5，(0.1+0.2)×2=0.6>0.5，
所以骑车时间的中位数在20,22这一组，为20+0.5−0.20.4×2=21.5分钟，故A错误；
对于B：骑车时间的众数的估计值是20+222=21分钟，故B正确；
对于C：∵(0.025+0.050+0.075)×2=0.3<0.4，(0.025+0.050+0.075+0.100)×2=0.5>0.4，所以坐公交车时间的40%分位数的估计值在18,20这一组，为18+0.4−0.30.2×2=19分钟，故C正确；
对于D：坐公交车时间的平均数的估计值为：
2×(0.025×13+0.050×15+0.075×17+0.100×19+0.100×21
+0.075×23+0.050×25+0.025×27)=20，
骑车时间的平均数的估计值为：
2×(0.10×19+0.20×21+0.15×23+0.05×25)=21.6，
则坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，故D正确．
故选BCD．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】根据条件先求解出an的通项公式以及前n项和Sn；A：代入an的通项公式检验即可；B：根据Sn的表达式结合二次函数的性质进行分析判断；C：由条件得到关于n的一元二次不等式，由此求解出结果并判断；D：先判断Snn为等差数列，然后利用公式进行求和并判断．
【详解】设等差数列的首项为a1，公差为d，
所以S10=10a1+45d=0S15=15a1+105d=25，解得a1=−3d=23,
所以an=−3+n−1×23=2n3−113，Sn=a1+ann2=13n2−103n，
对于A：a5=103−113=−13≠0，故错误；
对于B：Sn=13n2−103n=13n−52−253，
由二次函数的性质可知Snmin=S5=−253，故正确；
对于C：令13n2−103n<0，解得0对于D：因为Snn=13n−103，所以Snn是首项为−3，公差为13的等差数列，
所以Snn的前10项和为10×−3+10×92×13=−15，故正确；
故选：BCD．
11.【答案】BD
【解析】【分析】代入特殊值，判断A；根据正弦定理，判断B；边角互化，转化为三角恒等变形，
即可判断C；根据三角形面积公式，即可判断D．
【 详解】A.当A=π2,B=π4，此时csAB.由正弦定理asinA=2R可知2R=8，R=4， B正确；
C.因为a=2bcsC，所以sinA=2sinBcsC，即sinB+C=2sinBcsC，
整理可得sinBcsC−csBsinC=0，即sinB−C=0，
因为B,C为三角形的内角，所以B=C，即▵ABC为等腰三角形， C错误；
因为b=1，c=3，A=2π3，所以S▵ABC=12bcsinA=12×1×3× 32=3 34， D正确．
故选：BD
12.【答案】AD
【解析】【分析】A选择可由数量积求夹角余弦值来判断∠F1PF2的最大角是否大于等于直角即可；B选项利用椭圆的定义以及余弦定理结合基本不等式的知识可解；C选项直接求kPA⋅kPB，结合椭圆方程化简可得定值，也可以记住kPA⋅kPB=−b2a2这个小结论直接判断；D选项由椭圆定义和勾股定理可求PF1⋅PF2的值，再利用面积公式求答案．
【详解】设椭圆C上下顶点为D,E，由题知椭圆C:x225+y29=1中，a=5,b=3,c=4，
所以，F1−4,0,F24,0,A−5,0,B5,0,D0,3E0,−3，
对于A选项，由于DF1=−4,−3,DF24,−3,DF1⋅DF2=−16+9=−7<0，
所以∠F1PF2的最大角为钝角，故存在P使得∠F1PF2=π2，故 A正确；
对于B选项，记PF1=m,PF2=n，则m+n=10，
由余弦定理：cs∠F1PF2=m2+n2−642mn=(m+n)2−2mn−642mn=36−2mn2mn=18mn−1
≥18m+n22−1=−725，
当且仅当PF1=PF2时取“=”,B不正确；
对于C选项，设Px,yx≠±5,A−5,0,B5,0，
则x225+y29=1,kPA=yx+5,kPB=yx−5，
于是kPA⋅kPB=yx+5⋅yx−5=y2x2−25=91−x225x2−25=−925，故 C错误．
对于D选项，由于PF1⊥PF2，故m+n=10m2+n2=64⇒mn=12m+n2−m2+n2=18,
所以S▵F1PF2=12mn=9,D正确；
故选：AD．
13.【答案】35
【解析】【分析】
本题主要考查向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
利用向量的坐标运算求得a−λb=(1−3λ,3−4λ)，再由(a−λb)⊥b，可得(a−λb)⋅b=0，即可求解λ的值．
【解答】
解：因为向量a=(1,3)，b=(3,4)，
则a−λb=(1−3λ,3−4λ)，
又(a−λb)⊥b，
所以(a−λb)⋅b=3(1−3λ)+4(3−4λ)=15−25λ=0，
解得λ=35．
故答案为：35．
14.【答案】2 2
【解析】【分析】
本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．
由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．
【解答】
解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 3，B=60°，a2+c2=3ac，
∴12acsinB= 3⇒12ac× 32= 3⇒ac=4⇒a2+c2=12，
又csB=a2+c2−b22ac⇒12=12−b28⇒b=2 2，(负值舍)
故答案为：2 2．
15.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题．
根据题意，由双曲线的性质可得m 3= m，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算c的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，双曲线C：x2m−y2=1(m>0)的一条渐近线为 3x+my=0，
则有m 3= m，解可得m=3，
则双曲线的方程为x23−y2=1，则c= 3+1=2，
其焦距2c=4；
故答案为：4．
16.【答案】2
【解析】【分析】
本题主要考查球的切接问题，涉及线面垂直，属于较难题．
根据题意先作出▵ABC的外心，找出球心，然后根据边长关系计算求解即可．
【解答】
解：如图所示，作出△ABC的外心O1 ，则球心O与O1的连线OO1与SA平行，
AD=3×sin 60∘=3× 32=3 32，
AO1=23AD=23×3 32= 3，
由题知SO=AO=r=2，
作出平面图，设SA=ℎ，
则由边长关系可得：(ℎ2)2+ 32=22，解得ℎ=2，
则SA=2.
17.【答案】解：(1)根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，
若S9=−a5，则S9=(a1+a9)×92=9a5=−a5，
可得a5=0，即a1+4d=0，
若a3=4，则d=a5−a32=−2，
则an=a3+(n−3)d=−2n+10；
(2)若Sn≥an，则na1+n(n−1)2d≥a1+(n−1)d，
当n=1时，不等式成立，
当n≥2时，有nd2≥d−a1，变形可得(n−2)d≥−2a1，
又由(1)得a1+4d=0，即d=−a14，
则有(n−2)−a14≥−2a1，
又由a1>0，则有n≤10，
则有2≤n≤10，
综合可得：1≤n≤10且n∈N∗．
【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用．
(1)根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，由S9=−a5，即可得S9=(a1+a9)×92=9a5=−a5，可得a5=0，结合a3=4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；
(2)若Sn≥an，则na1+n(n−1)2d≥a1+(n−1)d，分n=1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案．
18.【答案】(1)证明：在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，
AA1⊥ 平面 A1B1C1 ，且 AC⊥AB ，则 A1C1⊥A1B1
以点 A1 为坐标原点， A1A 、 A1B1 、 A1C1 所在直线
分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 A(2,0,0) 、 B(2,2,0) 、 C(2,0,2) 、 A1(0,0,0) 、
B1(0,2,0) 、 C1(0,0,2) 、 D(0,1,0) 、 E(1,0,0) 、 F1,12,1 ，
则 EF=0,12,1 ，易知平面 ABC 的一个法向量为 m=(1,0,0) ，
则 EF⋅m=0 ，故 EF⊥m ，
∵EF⊄ 平面 ABC ，故 EF// 平面 ABC ．
(2)解：C1C=(2,0,0)，C1D=(0,1,−2)，EB=(1,2,0) ，
设平面 CC1D 的法向量为 u=x1,y1,z1 ，则 u⋅C1C=2x1=0u⋅C1D=y1−2z1=0 ，
取 y1=2 ，可得 u=(0,2,1) ， cs =EB⋅uEB⋅u=45 ．
因此，直线 BE 与平面 CC1D 夹角的正弦值为 45 ．
(3)解： A1C=(2,0,2) ， A1D=(0,1,0) ，
设平面 A1CD 的法向量为 v=x2,y2,z2 ，则 v⋅A1C=2x2+2z2=0v⋅A1D=y2=0 ，
取 x2=1 ，可得 v=(1,0,−1) ，则 cs =u⋅vu⋅v=−15×2=−1010 ，
因此，平面 A1CD 与平面 CC1D 夹角的余弦值为 1010 ．

【解析】本题考查利用空间向量证明线面平行，求线面角，面面角，属于中档题．
(1)以点 A1 为坐标原点， A1A 、 A1B1 、 A1C1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
(2)利用空间向量法可求得直线 BE 与平面 CC1D 夹角的正弦值；
(3)利用空间向量法可求得平面 A1CD 与平面 CC1D 夹角的余弦值．
19.【答案】解：(1)C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，
根据直方图得到P(C)的估计值为0.70．
则由频率分布直方图得：
a+0.20+0.15=+b+0.15=1−0.7,
解得乙离子残留百分比直方图中a=0.35，b=0.10．
(2)估计甲离子残留百分比的平均值为：
x甲=2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙离子残留百分比的平均值为：
x乙=3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15=6．
【解析】本题主要考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中a，b．
(2)利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值．
20.【答案】解：(1)因为csA1+sinA
=sin2B1+cs2B=2sinBcsB2cs2B=sinBcsB，
所以sinB=csAcsB−sinAsinB=cs(A+B)．
因为C=2π3，所以A+B=π3，所以sinB=csπ3=12，
又0(2)由(1)知sinB=cs(A+B)=sin(π2−A−B)，
所以B=π2−A−B，即A=π2−2B，
从而C=π−A−B=π2+B．
由0所以a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=
cs22B+sin2Bcs2B=(2cs2B−1)2+1−cs2Bcs2B=
4cs2B+2cs2B−5≥4 2−5，
当且仅当cs2B= 22时等号成立．
因为0故a2+b2c2的最小值为4 2−5．

【解析】本题考查利用正弦定理解决范围问题，由基本不等式求最值，属于中档题．
(1)根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 csA1+sinA=sin2B1+cs2B 化成 csA+B=sinB ，再结合B的范围 ，即可求出；
(2)由(1)知， C=π2+B ， A=π2−2B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 a2+b2c2 化成 4cs2B+2cs2B−5 ，然后利用基本不等式即可解出．
21.【答案】解：(1)若选择条件①：因为2a1+22a2+23a3+⋅⋅⋅+2nan=4n+1−43，
当n≥2时，2a1+22a2+23a3+⋅⋅⋅+2n−1an−1=4n−43，
两式相减得：2nan=4n+1−43−4n−43=4n，
所以当n≥2时an=2n，当n=1时符合，∴an=2n；
若选择条件②：因为Sn=2an−2，当n≥2时Sn−1=2an−1−2，
两式相减得：an=2an−1，a1=2≠0，
∴an是首项为2，公比为2的等比数列，∴an=2n；
若选择条件③：∵Sn+1−2Sn=2，
∴n≥2时，Sn−2Sn−1=2，
两式相减得：an+1=2an，当n=1时，S2−2S1=2，可得a2=4，a2=2a1，
∴n∈N∗时an+1=2an成立，
∴an是首项为2，公比为2的等比数列，∴an=2n；
(2)由(1)可知bn=nlg2an+1=nlg22n+1=n(n+1)，
则2n+1bn2=2n+1n2(n+1)2=1n2−1(n+1)2，
所以Tn=1−122+122−132+⋯+1n2−1(n+1)2=1−1(n+1)2，
因为2n+1bn2=2n+1n2(n+1)2>0，所以2n+1bn2各项均为正数，
所以Tn≥T1=34，又因为Tn=1−1(n+1)2<1，所以34≤Tn<1．
【解析】本题考查数列的递推关系、通项公式以及裂项相消求和法，属于中档题．
(1)选择条件①：利用数列的递推关系进行求解即可；
选择条件②，由数列的递推关系得出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式进行求解即可；
选择条件③，由数列的递推关系得出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式进行求解即可；
(2)由(1)可知bn=nlg2an+1=nlg22n+1=n(n+1)，则2n+1bn2=2n+1n2(n+1)2=1n2−1(n+1)2，然后利用裂项相消求和进行求解即可．
22.【答案】解：(1)由题意可列方程组ca= 2212b×2c=1a2−b2=c2，解得b=1c=1a= 2，所以椭圆方程为：x22+y2=1．
(2)解：①当过F2的直线与x轴垂直时，此时M(1, 22)，N(1,− 22)，F1(−1,0)，则F1M=(2, 22)，F2M=(2,− 22)∴F1M⋅F2M=4−12=72．
②当过F2 的 直线不与x轴垂直时，可设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线方程为y=k(x−1)
联立y=k(x−1)x22+y2=1得：(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0．
所以x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2
∴F1M⋅F1N=(x1+1,y1)⋅(x2+1,y2)
=(x1+1)(x2+1)+y1y2=(x1+1)(x2+1)+k2(x1−1)(x2−1)=x1x2+(x1+x2)+1+k2x1x2+k2−k2(x1+x2)
=(1+k2)x1x2+(1−k2)(x1+x2)+1+k2
将韦达定理代入上式得：
∴F1M⋅F1N=(1+k2)(2k2−2)+4k2(1−k2)+(1+k2)(1+2k2)1+2k2
=2k2−2+2k4−2k2+4k2−4k4+1+2k2+k2+2k41+2k2
=7k2−11+2k2
=72×2k2+1−921+2k2
=72−94k2+2．
∵2+4k2≥2，∴−92+4k2∈−92,0,
∴72−94k2+2∈−1,72,
由①②可知F1M⋅F1N∈−1,72．

【解析】(1)依题意得到方程组，求出a、b、c，即可求出椭圆方程；
(2)首先求出过F2且与x轴垂直时M、N的坐标，即可得到F1M⋅F2M，当过F2的直线不与x轴垂直时，可设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线方程为y=k(x−1)，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据平面向量数量积的坐标表示得到F1M⋅F1N=(1+k2)x1x2+(1−k2)(x1+x2)+1+k2，将韦达定理代入得到F1M⋅F1N=72−94k2+2，再根据函数的性质求出取值范围；