江苏省镇江市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份江苏省镇江市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，进而求出.
【详解】，故
故选：B
2. 命题“对任意，都有”的否定为（ ）
A. 存在，使得B. 不存在，使得
C. 存在，使得D. 存在，使得
【答案】D
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定是特称命题可得出结论.
【详解】由全称量词命题否定可知，原命题的否定为“存在，使得”.
故选：D.
3. 幂函数为偶函数，且在上为减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数性质逐项分析判断.
【详解】对A：，则，
故偶函数，且在上为减函数，A正确；
对B：的定义域为，即定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，B错误；
对C：，
故为偶函数，且在上为增函数，C正确；
对D：，故为奇函数，D错误.
故选：A.
4. 已知方程的解在内，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析运算.
【详解】构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点，
∵，
∴仅在内存在零点，即方程的解仅在内，
故.
故选：B.
5. 中国折扇有着深厚的文化底蕴.用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角时，可把折扇考虑为从一圆形（半径为）分割出来的扇形，使扇形的面积与圆的面积的乘积等于剩余面积的平方.则扇形的圆心角为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出、，根据已知条件可得出关于的方程，结合可求得的值.
【详解】由题意可知，，则且，
即，整理可得，
由题意可知，，解得.
故选：C.
6. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性可得，根据三角函数的有界性可判断，即可求解.
【详解】，，，所以，
故选：B
7. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性及其在上的增长速度，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
当时，，，
当时，，，
故对任意的，，所以，函数为偶函数，排除BD选项；
当时，，则函数在的增长速度快于函数的增长速度，排除C选项.
故选：A.
8. 已知函数，正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先证明函数为奇函数，由可得，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】，函数定义域为R，关于原点对称，
，
所以为奇函数，有，由解析式可以看出单调递增，
由，得，即，
为正实数，则有，当且仅当即时等号成立，
则有，所以，
得，当且仅当时等号成立，则的最小值为4.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对A、B、D：根据不等式的性质结合作差法分析判断；对C：根据指数函数单调性分析判断.
【详解】对A：当时，若，则；
当时，则，A为假命题；
对B：∵，
若，则，
∴，即，B为真命题；
对C：∵在定义域内单调递增，
若，则，C为真命题；
对D：∵，
若，则，即，
当时，则；
当时，则；D为假命题.
故选：BC.
10. 已知，，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用同角三角函数的平方关系可判断AB选项；求出、的值，可判断CD选项的正误.
【详解】因为，则.
对于A选项，，可得，A对；
对于B选项，由A选项可知，，则，
所以，，则，B对；
对于C选项，，可得，则，C错；
对于D选项，，D对.
故选：ABD.
11. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 函数恒满足
B. 直线为函数图象的一条对称轴
C. 点是函数图象的一个对称中心
D. 函数在上为增函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据诱导公式可判断A选项；利用正切型函数的对称性可判断BC选项；利用正切型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项， ， A正确；
对于B选项，函数无对称轴，B错；
对于C选项，由可得，
当时，可得，所以，点是函数图象的一个对称中心，C对；
对于D选项，当时，，
所以，函数在上不单调，D错.
故选：AC.
12. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 若为锐角，则
B.
C. 方程有且只有一个根
D. 方程的解都在区间内
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A：利用放缩可得；对B：利用做差法分析判断；对C：根据函数的单调性分析判断；对D：分类讨论，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】对A：若为锐角，则，可得，
故，A错误；
对B：当时，，
故，即，B正确；
对C：∵，且在上单调递增，
∴，解得，C正确；
对D：构建，则在上连续不断，则有：
当时，则，故，可得在内无零点；
当时，则，故，可得在内无零点；
当时，则，故在区间内存在零点；
综上所述：只在区间内存在零点，即方程的解都在区间内，D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：判断函数零点的方法
（1）直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．
（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. _________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用对数运算性质计算可得所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
14. 已知函数对任意实数恒成立，则实数的范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】对任意实数恒成立，则，讨论与0的大小可得答案.
【详解】因对任意实数恒成立，则.
当时，符合题意；
当时，；
当时，.
综上，
故答案为：
15. 已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为_______小时.
【答案】72
【解析】
【分析】根据题意列出方程组，求出，确定函数解析式，再代入求值即可.
【详解】由题意得：，①÷②得：，故，
则，，故
故当时，.
故答案为：72
16. 已知函数，则的值域为________﹔函数图象的对称中心为_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将函数的解析式变形为，结合不等式的基本性质可求得的值域；利用函数对称性的定义可求得函数的对称中心的坐标.
【详解】因为，则，所以，，
所以，函数的值域为，
因为，则，
因此，函数图象的对称中心为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别解出集合中的不等式，得到两个集合，再取交集；
（2）依题意有有，列方程组求实数的取值范围.
【小问1详解】
，若，，
，
.
【小问2详解】
因为“”是“”的充分不必要条件，有A是B的真子集
可得等号不同时取，解得，
所以实数的取值范围为
18. 已知，.
（1）求的值；
（2）若角的终边与角关于轴对称，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方关系式求出和，再根据商数关系式求出；
（2）根据角的终边与角关于轴对称，推出，，，，再根据诱导公式化简所求式子，代入可求出结果.
【小问1详解】
因为，所以，
由，得，得，
得，得或，
当时，由得，不符合题意；
当时，由得，所以.
【小问2详解】
若角的终边与角关于轴对称，则，，即，，
所以,,,,
.
19. 用“五点法”作函数在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据：
（1）请根据上表数据，求出函数的表达式并写出表内实数a，b，c，d的值；
（2）请在给定的坐标系内，作出函数在一个周期内的图象；
（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）图象见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据表中数据结合正弦函数性质运算求解；
（2）根据题意结合五点作图法作图；
（3）以为整体，结合正弦函数求的值域，再结合存在性问题分析求解.
【小问1详解】
由题意可得：，即，
设函数的最小正周期为，则，即，
可得，
∵，解得，
故，.
【小问2详解】
补全表格得：
则函数在一个周期内的图象如图所示：
【小问3详解】
∵，则，可得，
∴，
若存在，使得成立，则，即，
故实数的取值范围.
20. 已知函数（且）.
（1）求函数的奇偶性；
（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数 （2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可得出结论；
（2）由可得出，求出函数在上的值域，可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：对于函数，有，则，解得，
所以函数的定义域为，
，故函数为奇函数.
【小问2详解】
解：由可得，
则，
令，其中，
因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数，
当时，，
因此，实数的取值范围是.
21. 某企业参加国际商品展览会，向主办方申请了平方米的矩形展位，展位由展示区（图中阴影部分）和过道（图中空白部分）两部分组成，其中展示区左右两侧过道宽度都为米，前方过道宽度为米.后期将对展位进行装修，其中展示区的装修费为元/平方米，过道的装修费为元/平方米.记展位靠墙的一条边长为米，整个展位的装修总费用为元.
（1）请写出装修总费用关于边长的表达式；
（2）如何设计展位的边长使得装修总费用最低?并求出最低费用.
【答案】（1），其中
（2）当展位区域是边长为米的矩形区域时，装修费用最低为元
【解析】
【分析】（1）设展位靠墙的一边边长为米，则展示区靠墙的一边的边长为米，计算出展示区的面积，即可得出装修总费用关于边长的表达式；
（2）利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件可得出结论.
【小问1详解】
解：设展位靠墙的一边边长为米，则展示区靠墙的一边的边长为米，
展示区另一边边长为米，由可得，
所以，
，
即，其中.
【小问2详解】
解：由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
因此，当展位区域是边长为米的矩形区域时，装修费用最小为元.
22. 已知函数，.
（1）判断并证明在上的单调性；
（2）当时，都有成立，求实数的取值范围；
（3）若方程在上有个实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数在上为增函数，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）令，由可得出，利用对勾函数单调性可求得实数的取值范围；
（3）令，令，分析可知函数在上有两个不等的零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
证明：任取、且，则，
所以，
，
，所以，函数在上为增函数.
【小问2详解】
解：当时，令，
则，
则，由可得，
因为函数在上单调递增，所以，，
所以，实数的取值范围是.
【小问3详解】
解：对任意的，，
所以，函数为偶函数，
由（1）可知，函数在上为增函数，则该函数在上为减函数，
令，当时，，则，
由可得，
令，则函数在上有两个不等的零点，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
0
0
2
0
d
0
0
0
2
0
0