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    2020-2021年河南省许昌市某校高一(上)1月月考数学试卷
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    2020-2021年河南省许昌市某校高一(上)1月月考数学试卷

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    这是一份2020-2021年河南省许昌市某校高一(上)1月月考数学试卷,共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    1. 已知集合A=−2,−1,0,1,2,B=y|y=x+1,x∈A,则A∩B=( )
    A.⌀B.−1,0,1
    C.1,2D.−2,−1,0,1,2,3

    2. 已知函数fx=2x+1,x≥0,−x2+1,x<0,则ff−1=( )
    A.0B.−1C.1D.2

    3. 下列各组函数中, fx与gx相等的是( )
    A.fx=2−x,gx=2−|x|B.fx=x2,gx=3x3
    C.fx=x2x+2,gx=2+xD.fx=x2−xx,gx=x2x−1

    4. 若函数y=f(x)的定义域是[0, 2],则函数g(x)=f(x+1)x−1的定义域是( )
    A.[0, 2]B.(1, 3]C.[−1, 1)D.[0, 1)∪(1, 2]

    5. 已知函数fx=2−ax−4a,x<1,ax,x≥1,若函数f(x)在R上单调递增,则实数a的取值范围是( )
    A.(−1,0)B.(−1,2)C.(0,13)D.[13,2)

    6. 已知函数fx=ax2−x,若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,不等式fx1−fx2x1−x2>0恒成立,则实数a的取值范围是( )
    A.12,+∞B.12,+∞C.14,+∞D.14,+∞

    7. 已知fx是定义在R上的奇函数,满足f1+x=f1−x ,f1=2,则f2+f3+f4=( )
    A.0B.−2C.2D.6

    8. 已知函数f(x)=ax2−2x+1,若对一切x∈[12, 2],f(x)>0都成立,则实数a的取值范围为( )
    A.12, +∞B.12, +∞C.(1, +∞)D.(−∞, 1)

    9. 已知函数fx和gx满足fx=2gx+1,且gx为R上的奇函数,f−1=8,求f1=( )
    A.6B.−6C.7D.−7

    10. 函数f(x)=(12)x2−2x的单调递减区间为( )
    A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,1)D.(−∞,−1)

    11. 设a=13−0.3, b=lg213 ,c=lg32,则a,b,c的大小关系为( )
    A.b
    12. 设函数f(x)=2x+lnx−6的零点为m,则m所在的区间为( )
    A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

    13. 已知a=243,b=425,c=2513,则( )
    A.b
    14. 已知函数y=lg[(a2−1)x2−2(a−1)x+3]的值域为R,则实数a的取值范围是( )
    A.[−2, 1]B.[−2, −1]
    C.(−2, 1)D.(−∞, −2)∪[1, +∞)

    15. 已知函数fx=lgaxa>0,a≠1的图象经过点4,2,则下列命题错误的有( )
    A.函数fx为增函数
    B.函数fx为偶函数
    C.若x>1,则fx>0
    D.若0
    16. 函数y=xlg12(4x−3)的定义域为( )
    A.34, +∞B.−∞, 34C.34, 1D.34, 1

    17. 已知函数f(x)=(x−a)(x−b)(a+b>0)的图象如图所示,则函数g(x)=lga(x+b)的图象可能为( )

    A.B.
    C.D.
    二、填空题

    已知函数y=bxx−a,a,b∈R的图像关于点1,1对称,则a+b=_______.

    已知a>0,且a≠1,若函数fx=2ax−4在区间−1,2上的最大值为10,则a=_______.

    偶函数fx满足fx−1=fx+1,且在x∈0,1时,fx=x,则关于x的方程fx=lgx,在x∈0,4上的解的个数是________.
    三、解答题

    奇函数f(x)是定义在[−2, 2]上的减函数,若f(2a+1)+f(4a−3)>0,求实数a的取值范围是_______.

    已知集合A=x||x|≤2,集合B=x|3−a(1)当a=5时,求A∪B, ðRA∩B;

    (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.

    设a∈R,fx=2−a⋅ex−aex+1x∈R为奇函数.
    (1)求a的值;

    (2)判断函数fx的单调性,并证明;

    (3)若对任意t∈1,3恒有ft2−kt+ft+k≤0成立,求实数k的取值范围.

    已知函数fx=4x−a⋅2x+1+a+1.
    (1)若a=2,求不等式fx<0的解集;

    (2)若x∈−∞,0时,不等式fx<2−a恒成立,求a的取值范围;

    (3)求函数fx在区间1,2上的最小值ha.
    参考答案与试题解析
    2020-2021年河南省许昌市某校高一(上)1月月考数学试卷
    一、选择题
    1.
    【答案】
    C
    【考点】
    交集及其运算
    【解析】
    把A中的元素代入y=x+1中求出y的取值,确定出B,找出A和B的交集即可.
    【解答】
    解:∵ x∈A,A=−2,−1,0,1,2,
    ∴ 把x=−2,−1,0,1,2分别代入y=x+1,
    解得:y=1,2,3,
    即B=1,2,3,
    ∴ A∩B=1,2.
    故选C.
    2.
    【答案】
    C
    【考点】
    分段函数的应用
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:∵ 函数fx=2x+1,x≥0,−x2+1,x<0,
    ∴ f−1=−(−1)2+1=0,
    ∴ ff−1=f(0)=1.
    故选C.
    3.
    【答案】
    D
    【考点】
    判断两个函数是否为同一函数
    【解析】
    根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,即可判断它们是相等函数.
    【解答】
    解:A,fx=2−x,与gx=2−|x|的对应关系不同,不是相等函数;
    B,fx=x2,与gx=3x3=x的对应关系不同,不是相等函数;
    C,fx=x2x+2=x+2x≠0,与gx=2+xx∈R的定义域不同,不是相等函数;
    D,fx=x2−xx=x−1x≠0,与gx=x2x−1=x−1x≠0的定义域和对应关系相同,是相等函数.
    故选D.
    4.
    【答案】
    C
    【考点】
    函数的定义域及其求法
    【解析】
    根据函数y=f(x)的定义域,列出使函数g(x)有意义的不等式组,求出解集即可.
    【解答】
    解:∵ 函数y=f(x)的定义域是[0, 2],
    ∴ 在函数g(x)=f(x+1)x−1中,
    令0≤x+1≤2,x−1≠0,
    解得−1≤x≤1,x≠1,
    ∴ g(x)的定义域是[−1, 1).
    故选C.
    5.
    【答案】
    D
    【考点】
    分段函数的应用
    函数单调性的性质
    【解析】
    根据f(x)在R上单调递增可得出f(x)在(−∞, 1)上单调递增,f(x)在[1, +∞)上单调递增,从而得出2−a>0a>0a≥2−a−4a,然后解出a的范围即可.
    【解答】
    解:对于任意给定的不等实数x1, x2,
    fx在R上单调递增,
    令gx=2−ax−4a ,hx=ax,
    要使函数fx在R上单调递增,
    则有gx=2−ax−4a在区间−∞,1上单调递增,
    hx=ax在区间[1,+∞)上单调递增,
    且g1≤h1,
    所以 2−a>0,a>0m,2−a⋅1−4a≤a⋅1,
    解得13≤a<2.
    故选D.
    6.
    【答案】
    C
    【考点】
    函数恒成立问题
    二次函数的性质
    【解析】

    【解答】
    解:因为对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,
    不等式fx1−fx2x1−x2>0恒成立,
    所以x1所以fx在[2,+∞)上是增函数.
    因为fx=ax2−x,
    所以a>0,12a≤2,解得a≥14,
    所以实数a的取值范围是14,+∞.
    故选C.
    7.
    【答案】
    B
    【考点】
    函数的周期性
    函数的求值
    奇函数
    【解析】

    【解答】
    解:因为f1+x=f1−x,
    所以fx关于直线x=1对称.
    又因为fx是定义在R上的奇函数,
    所以f1+x=f1−x=−fx−1,
    所以f0=0,
    则fx+2=−fx,
    因此fx+4=−fx+2=fx,
    所以fx是周期为4的函数,
    因此f4=f0=0,
    f3=f−1=−f1=−2,
    又fx关于直线x=1对称,
    所以f2=f0=0,
    因此f2+f3+f4=0−2+0=−2.
    故选B.
    8.
    【答案】
    C
    【考点】
    函数恒成立问题
    二次函数的性质
    函数的最值及其几何意义
    【解析】
    利用函数恒成立,转化求解a的表达式,然后通过二次函数的最值求解即可.
    【解答】
    解:因为对一切x∈[12, 2],f(x)>0都成立,
    所以ax2−2x+1>0,
    即a>2x−1x2=2x−1x2=−(1x−1)2+1,
    因为x∈[12, 2],
    则−(1x−1)2+1≤1,
    所以实数a的取值范围为(1, +∞).
    故选C.
    9.
    【答案】
    B
    【考点】
    函数奇偶性的性质
    函数的求值
    【解析】

    【解答】
    解:因为fx=2gx+1,f−1=8,
    所以f(−1)=8=2g(−1)+1,
    可得g(−1)=72,
    又因为g(x)为R上的奇函数,
    则g(1)=−72,
    故f(1)=2g(1)+1=−6.
    故选B.
    10.
    【答案】
    B
    【考点】
    函数的单调性及单调区间
    【解析】

    【解答】
    解:令tx=x2−2x=x−12−1,
    则ft=12t,
    ∵ tx在−∞,1上单调递减,1,+∞上单调递增,
    而ft在R上单调递减,
    ∴ fx在1,+∞上单调递减.
    故选B.
    11.
    【答案】
    C
    【考点】
    对数值大小的比较
    指数式、对数式的综合比较
    【解析】

    【解答】
    解:∵ 13−0.3>130=1,
    ∴ a>1.
    ∵ b=lg213∴ b<0.
    ∵ 0=lg1∴ 0∴ b故选C.
    12.
    【答案】
    C
    【考点】
    函数零点的判定定理
    【解析】
    根据函数零点的判定定理,判断f(1),f(2),f(3),f(4)的符号,即可求得结论.
    【解答】
    解:∵ f(x)=2x+lnx−6,
    ∴ f(1)=2−6<0,
    f(2)=4+ln2−6<0,
    f(3)=6+ln3−6>0,
    f(4)=8+ln4−6>0,
    ∴ f(2)f(3)<0,
    ∴ m的所在区间为(2, 3).
    故选C.
    13.
    【答案】
    A
    【考点】
    指数函数的性质
    【解析】
    利用指数函数、对数函数的单调性求解.
    【解答】
    解:∵ a=243=1613,
    b=425=1615,
    根据指数函数的单调性,
    ∴a>b.
    ∵ c=2513,
    y=x13在(0, +∞)是增函数,
    ∴ c>a.
    ∴ b故选A.
    14.
    【答案】
    B
    【考点】
    一元二次方程的根的分布与系数的关系
    对数函数的值域与最值
    【解析】
    根据题意,应使对数函数的真数取到所有的正数,由此讨论真数的值域即可.
    【解答】
    解;∵ 函数y=lg[(a2−1)x2−2(a−1)x+3]的值域为R,
    ∴ 当a2−1=0时,a=1或a=−1,验证a=1时不成立;
    当a2−1≠0时,
    a2−1>0,Δ=4(a−1)2−12(a2−1)≥0,
    解得−2≤a<−1;
    综上,−2≤a≤−1,
    ∴ 实数a的取值范围是[−2, −1].
    故选B.
    15.
    【答案】
    B
    【考点】
    对数值大小的比较
    函数奇偶性的判断
    对数函数的图象与性质
    【解析】

    【解答】
    解:由题意可得f4=lga4=2,则a2=4.
    ∵ a>0且a≠1,解得a=2,
    ∴ fx=lg2x.
    ∵ 函数fx为增函数,故A选项正确.
    ∵ 函数fx=lg2x不为偶函数,故B选项错误.
    当x>1时,fx=lg2x>lg21=0,故C选项正确.
    ∵ fx=lg2x,
    ∴ 若0则x1+x22−x1x2
    =x1+x2−2x1x22
    =x1−x222>0,
    则x1+x22>x1x2>0,
    ∴ fx1+x22=lg2x1+x22
    >lg2x1x2=12lg2(x1x2)
    =lg2x1+lg2x22=f(x1)+f(x2)2,故D选项正确.
    故选B.
    16.
    【答案】
    D
    【考点】
    函数的定义域及其求法
    【解析】
    根据二次根式以及对数函数的性质得到关于x的不等式,解出即可.
    【解答】
    解:由题意得:
    lg12(4x−3)>0,
    即lg12(4x−3)>0,
    ∴ 0<4x−3<1,
    解得34故选D.
    17.
    【答案】
    B
    【考点】
    对数函数的图象与性质
    【解析】
    由a>b,函数f(x)=(x−a)(x−b)的图象可知,a>1>b>0.于是g(x)=lga(x+b)的图象是单调递增的,g(1)>0,从而可得答案.
    【解答】
    解:由f(x)=(x−a)(x−b)的图象与a+b>0,
    可得a>1>b>0,
    ∴ g(x)=lga(x+b)的图象是单调递增的,可排除A,D,
    又g(1)=lga(1+b)>lga1=0,可排除C.
    故选B.
    二、填空题
    【答案】
    2
    【考点】
    函数的图象与图象变化
    函数的图象
    【解析】

    【解答】
    解:因为y=bxx−a=bx−a+abx−a=b+abx−a,
    所以函数y=bxx−a的图像关于点a,b对称.
    因为函数y=bxx−a,a,b∈R的图像关于点1,1对称,
    所以a=1,b=1,
    所以a+b=2.
    故答案为:2.
    【答案】
    7或17
    【考点】
    指数函数单调性的应用
    函数的最值及其几何意义
    【解析】
    暂无
    【解答】
    解:∵ a>0,且a≠1,
    ∴ 若a>1,则函数y=ax在区间−1,2上是递增的.
    ∵ 函数fx=2ax−4在区间−1,2上的最大值为10,
    ∴ 当x=2时,fx取得最大值f2=2a2−4=10,
    即a2=7,
    又a>1,
    ∴ a=7.
    若0∵ 函数fx=2ax−4在区间−1,2上的最大值为10,
    ∴ 当x=−1时,fx取得最大值f−1=2a−1−4=10,
    所以a=17,
    综上所述,a的值为7或17.
    故答案为:7或17.
    【答案】
    3
    【考点】
    函数的周期性
    指数式、对数式的综合比较
    【解析】
    暂无
    【解答】
    解:∵ fx−1=fx+1,
    ∴ fx=fx+2,
    ∴ 函数fx是周期为2的周期函数.
    又函数fx为偶函数,且在x∈0,1时,fx=x,
    则函数fx与y=lgx的图象如下:
    对于y=lgx,有lg10=1,
    当x>10时,y=lgx的图象才会在直线y=1的上方,
    ∴ 由图象可得在x∈0,4上,关于x的方程fx=lgx的解的个数是3.
    故答案为:3.
    三、解答题
    【答案】
    14,13
    【考点】
    函数奇偶性的性质
    函数的单调性及单调区间
    【解析】
    利用函数的奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“f”,可转化为具体不等式,注意函数定义域.
    【解答】
    解:因为f(x)是奇函数,
    所以f(2a+1)+f(4a−3)>0,
    可化为f(2a+1)>−f(4a−3)=f(3−4a).
    又f(x)是定义在[−2, 2]上的减函数,
    所以有2a+1<3−4a,−2≤2a+1≤2,−2≤4a−3≤2,
    解得14≤a<13,
    所以实数a的取值范围是14≤a<13.
    故答案为:14,13.
    【答案】
    解:(1)因为A=x||x|≤2=x|−2≤x≤2,
    当a=5时, B=x|−2所以A∪B=x|−2≤x<5.
    因为ðRA=x|x<−2或x>2,
    所以(ðRA)∩B=x|2(2)因为A∩B=A,
    所以A⊂B.
    又因为A=x|−2≤x≤2, B=x|3−a所以3−a<−2,a>2,
    解得a>5,
    所以实数a的取值范围是5,+∞.
    【考点】
    交、并、补集的混合运算
    集合关系中的参数取值问题
    【解析】
    暂无
    暂无
    【解答】
    解:(1)因为A=x||x|≤2=x|−2≤x≤2,
    当a=5时, B=x|−2所以A∪B=x|−2≤x<5.
    因为ðRA=x|x<−2或x>2,
    所以(ðRA)∩B=x|2(2)因为A∩B=A,
    所以A⊂B.
    又因为A=x|−2≤x≤2, B=x|3−a所以3−a<−2,a>2,
    解得a>5,
    所以实数a的取值范围是5,+∞.
    【答案】
    解:(1)∵ fx为R上的奇函数,
    ∴ f0=2−2a2=0,
    解得:a=1,
    经检验,当a=1时,fx=1−exex+1为R上的奇函数,
    ∴ a=1.
    (2)fx在R上单调递减.
    证明:由(1)得fx=1−ex1+ex=2ex+1−1.
    设x1∈R,x2∈R,x1则f(x1)−f(x2)
    =2ex1+1−1−2ex2+1−1
    =2(ex2−ex1)(ex1+1)(ex2+1).
    ∵ x1∴ ex2−ex1>0.
    ∵ (ex1+1)(ex2+1)>0,
    ∴ fx1−fx2>0 ,
    即fx1>fx2,
    ∴ fx在R上单调递减.
    (3)由题意知,fx在R上单调递减且为奇函数,
    ∴ ft2−kt+ft+k≤0,
    即ft2−kt≤−ft+k,
    即ft2−kt≤f−t−k,
    即t2−kt≥−t−k,
    化简得kt−1≤t2+t.
    又∵ t∈[1,3],
    ∴ 当t=1时,对0≤2恒成立,
    当t∈(1,3]时,k≤t2+tt−1,
    令g(t)=t2+tt−1
    =(t−1)2+3(t−1)+2t−1
    =(t−1)+2t−1+3.
    令m=t−1,
    ∵ t∈(1,3],
    ∴ m∈(0,2],
    则gm=m+2m+3,m∈(0,2],
    由对勾函数的性质知:
    g(m)在(0,2]上单调递减,2,2上单调递增,
    ∴ gmmin=g2=2+22+3=22+3,
    ∴ k≤3+22.
    ∴ 实数k的取值范围为(−∞,3+22].
    【考点】
    函数奇偶性的性质
    函数单调性的判断与证明
    函数恒成立问题
    【解析】
    暂无
    暂无
    暂无
    【解答】
    解:(1)∵ fx为R上的奇函数,
    ∴ f0=2−2a2=0,
    解得:a=1,
    经检验,当a=1时,fx=1−exex+1为R上的奇函数,
    ∴ a=1.
    (2)fx在R上单调递减.
    证明:由(1)得fx=1−ex1+ex=2ex+1−1.
    设x1∈R,x2∈R,x1则f(x1)−f(x2)
    =2ex1+1−1−2ex2+1−1
    =2(ex2−ex1)(ex1+1)(ex2+1).
    ∵ x1∴ ex2−ex1>0.
    ∵ (ex1+1)(ex2+1)>0,
    ∴ fx1−fx2>0 ,
    即fx1>fx2,
    ∴ fx在R上单调递减.
    (3)由题意知,fx在R上单调递减且为奇函数,
    ∴ ft2−kt+ft+k≤0,
    即ft2−kt≤−ft+k,
    即ft2−kt≤f−t−k,
    即t2−kt≥−t−k,
    化简得kt−1≤t2+t.
    又∵ t∈[1,3],
    ∴ 当t=1时,对0≤2恒成立,
    当t∈(1,3]时,k≤t2+tt−1,
    令g(t)=t2+tt−1
    =(t−1)2+3(t−1)+2t−1
    =(t−1)+2t−1+3.
    令m=t−1,
    ∵ t∈(1,3],
    ∴ m∈(0,2],
    则gm=m+2m+3,m∈(0,2],
    由对勾函数的性质知:
    g(m)在(0,2]上单调递减,2,2上单调递增,
    ∴ gmmin=g2=2+22+3=22+3,
    ∴ k≤3+22.
    ∴ 实数k的取值范围为(−∞,3+22].
    【答案】
    解:(1)当a=2时,
    可得fx=4x−4⋅2x+3=2x−12x−3,
    由fx<0,得2x−12x−3<0,
    可得1<2x<3,解得0因此,当a=2时,不等式fx<0的解集为0,lg23.
    (2)因为4x−a⋅2x+1+a+1<2−a,
    所以4x−2a⋅2x+2a−1<0,
    即2x−12x−2a+1<0,
    因为x<0,所以2x−1<0,
    所以需满足2x−2a+1>0,即2a<2x+1,
    当x<0时,2x+1∈1,2,
    所以2a≤1,解得a≤12,
    因此,实数a的取值范围是−∞,12.
    (3)当x∈[1,2)时,令t=2x∈2,4,
    则fx=t2−2at+a+1,
    令gt=t2−2at+a+1,则二次函数gt的图象开口向上,
    该函数的对称轴为t=a.
    当a≤2时,gt在2,4上单调递增,
    gtmin=g2=5−3a;
    当2g(t)min=g(a)=−a2+a+1;
    当a≥4时,gt在2,4上单调递减,
    gtmin=g4=17−7a.
    综上所述,ha=5−3a,a≤2,−a2+a+1,2【考点】
    一元二次不等式的解法
    指、对数不等式的解法
    函数恒成立问题
    函数最值的应用
    【解析】



    【解答】
    解:(1)当a=2时,
    可得fx=4x−4⋅2x+3=2x−12x−3,
    由fx<0,得2x−12x−3<0,
    可得1<2x<3,解得0因此,当a=2时,不等式fx<0的解集为0,lg23.
    (2)因为4x−a⋅2x+1+a+1<2−a,
    所以4x−2a⋅2x+2a−1<0,
    即2x−12x−2a+1<0,
    因为x<0,所以2x−1<0,
    所以需满足2x−2a+1>0,即2a<2x+1,
    当x<0时,2x+1∈1,2,
    所以2a≤1,解得a≤12,
    因此,实数a的取值范围是−∞,12.
    (3)当x∈[1,2)时,令t=2x∈2,4,
    则fx=t2−2at+a+1,
    令gt=t2−2at+a+1,则二次函数gt的图象开口向上,
    该函数的对称轴为t=a.
    当a≤2时,gt在2,4上单调递增,
    gtmin=g2=5−3a;
    当2g(t)min=g(a)=−a2+a+1;
    当a≥4时,gt在2,4上单调递减,
    gtmin=g4=17−7a.
    综上所述,ha=5−3a,a≤2,−a2+a+1,2
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