2020-2021学年河南省某校高二（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省某校高二（下）4月月考数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在a+b10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )
A.第8项B.第7项C.第9项D.第10项

2. 已知i为虚数单位，且复数z满足z−2i=11−i，则复数z在复平面内的点到原点的距离为( )
A.132B.262C.102D.52

3. x+2xx−16的展开式中，含x3项的系数为( )
A.45B.−45C.15D.−15

4. 2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )种．
A.120B.156C.188D.240

5. 某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )
A.15B.45C.60D.75

6. 在大庆市第一次高考模拟考试之后，我校决定派遣8名干部分成三组，分别到高三年级的三个不同层次班级进行调研，若要求每组至少2人，则不同的派遣方案共有( )
A.980种B.2520种C.2940种D.5880种

7. 若fx=lnx，则limΔx→0f1+2Δx−f1Δx=( )
A.1B.2C.4D.8

8. 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则{ξ=3}表示( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

9. 设随机变量X服从两点分布，若PX=1−PX=0=0.2，则成功概率PX=1=( )
A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

10. 袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3．现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则PX=3等于( )
A.528B.17C.1536D.27

11. 由抛物线y2=8xy>0与直线x+y−6=0及y=0所围成图形的面积为( )
A.16−3223B.16+3223C.403D.143

12. 已知fx为定义在0,+∞上的可导函数，且1xfx>f′x恒成立，则不等式fx2>xfx的解集为( )
A.0,1B.1,2C.1,+∞D.2,+∞
二、填空题

某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是________．

2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年．某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有________种（用数字填写答案）．

二项展开式1−2x5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a0=________，a1+a3+a5=________．

“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2，…，第n+1行的第3个数字为an，则a1+a2+a3+⋯+a10=________， 1a1+1a2+⋯+1an=________．

三、解答题

盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得−1分．现从盒内任取3个球.

(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；

(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；

(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．

已知函数fx=aexx−2a≠0．
(1)求fx的单调区间；

(2)当a=−1时，求函数gx=fx+x2−2x的极值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省某校高二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
根据二项展开式定理，写出第3项的系数，再根据组合数性质，即可得出结论．
【解答】
解：∵Cnr−1=Cnn−r+1，
∴C102=C108，
∴与第3项二项式系数相同的是第9项．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
两点间的距离公式
复数代数形式的混合运算
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标，则答案可求．
【解答】
解：由z−2i=11−i，
得z=2i+11−i=2i+1+i(1−i)(1+i)=12+52i，
∴ 复数z在复平面内的点的坐标为(12, 52)，
到原点的距离为14+254=262．
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
根据(x−1)6的展开式为Tr+1=C6rx6−r，求出(x−1)6的展开式中x2项的系数和x4项的系数，即可求解x+2x(x−1)6的展开式中含x3项的系数.
【解答】
解：(x−1)6的展开式为Tr+1=(−1)rC6rx6−r，
令6−r=2，则r=4，所以(x−1)6的展开式中x2项的系数为C64，
令6−r=4，则r=2，所以(x−1)6的展开式中x4项的系数为C62，
所以x+2x(x−1)6的展开式中，含x3项的系数为C64+2×C62=45.
故选A.
4.
【答案】
A
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：
京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个作全排列有A44种，越剧、粤剧有前后A22，共有A22A44种；
京剧排二三之一有C21种，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有C31A22种，余下三个有A33种，共有 C21C31A22A33种；
由分类计数原理知，所有演出顺序有A22A44+C21C31A22A33=120种.
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
排列、组合的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演有C42C62=90种选法．
语言类节目A和歌唱类节目B都没有被选中的有C32C52=30种，
所以语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数有90−30=60.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
排列、组合及简单计数问题
排列、组合的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：先将8人分为三组，每组至少2人，则三组人数分别为2、2、4或2、3、3，然后将三组分配给高三年级三个不同层次的班，
由分步乘法计数原理可知，不同的派遣方案种数为
C82C62+C82C63A22A33=(28×15+28×20)×3=2940．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
极限及其运算
【解析】
直接利用函数的导数的定义，导数的计算公式，求解函数的极限即可．
【解答】
解：∵fx=lnx，∴f′x=1x，
∴limΔx→0f1+2Δx−f1Δx
=2limΔx→0f1+2Δx−f(1)2Δx
=2f′(1)=2×1=2．
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
离散型随机变量及其分布列
【解析】
ξ=3分成两种情况，即3+0+0或者1+1+1三种情况，由此得出正确选项．
【解答】
解：由于赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故ξ=3分成两种情况，
即3+0+0或1+1+1三种情况，
也即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
二项分布的应用
【解析】
根据题意可得PX=1+PX=0=1，又因为PX=1−PX=0=0.2，联立即可解得PX=1．
【解答】
解：因为随机变量X服从两点分布，
所以Px=1+PX=0=1，
又因为Px=1−PX=0=0.2，
把上面两式相加得2PX=1=1.2，解得Px=1=0.6．
故选C．
10.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
互斥事件的概率加法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：按球编号将球分三组，8个球中有4个球编号小于3，2球编号等于3，2个球编号大于3．现从袋中任取3球共有C83种方法，
X=3表示3个球中最大编号为3，分两类情况：
第一类1个3号球，另两球编号小于3，则P1=C21⋅C42C83=314；
第二类2个3号球，另一球编号小于3，则P2=C22⋅C41C83=114；
则PX=3=P1+P2=314+114=27．
故选D．
11.
【答案】
C
【考点】
定积分在求面积中的应用
【解析】
根据定积分的定义结合图象可得，S=0222⋅xdx+26(6−x)dx，然后利用定积分的定义进行计算．
【解答】
解：设所求图形面积为S，
S=0222⋅xdx+26(6−x)dx
=432x32|02+(6x−12x2)|26
=163+8=403.
故选C.
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令gx=fxx，则g′x=xf′x−fxx2，
∵ 1xfx>f′x，且x∈0,+∞，
∴ fx>xf′x，
∴ xf′x−fx<0，
∴ g′x=xf′x−fxx2<0在0,+∞上恒成立，
∴ gx在0,+∞上单调递减，
∵fx2>xfx，
∴ fx2x2>fxx，即gx2>gx，
∴ x20，x2>0，解得0故选A．
二、填空题
【答案】
18
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，分别求出每一种情况的选法数目，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】
解：分2种情况讨论：
①从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，
②从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，
则一共有9+9=18种选法.
故答案为：18.
【答案】
180
【考点】
排列、组合及简单计数问题
分步乘法计数原理
分类加法计数原理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：分配的方案有两类，第一类：一组3人，另一组5人，
有C83−1⋅A22=110种；
第二类：两组均为4人，
有C84C44A22⋅A22=70种，
所以共有N=110+70=180种不同的分配方案.
故答案为：180.
【答案】
1,−122
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
令x=0，求得a0，再分别令x=1，x=−1，可得要求式子的值．
【解答】
解：∵1−2x5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，
则令x=0，可得a0=1，
令x=1，可得1+a1+a2+a3+a4+a5=−1，
令x=−1，可得1−a1+a2−a3+a4−a5=35，
∴a1+a3+a5=−122．
故答案为：1；−122．
【答案】
220,2nn+1
【考点】
数列的求和
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知an=Cn+12，
则a1+a2+a3+⋯+a10=C22+C32+C42+⋯+C112
=1+3+6+10+15+21+28+36+45+55=220，
1a1+1a2+⋯+1an
=1C22+1C32+⋯+1Cn+12
=21×2+22×3+⋯+2n×n+1
=21−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=21−1n+1=2nn+1．
故答案为：220；2nn+1．
三、解答题
【答案】
解：(1)取出的3个球中至少有一个红球的概率：
P=1−C73C93=712 .
(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，
则所求概率为 P(B+C)=P(B)+P(C)=C21C32C93+C22C41C93=542．
(3)ξ可能的取值为0，1，2，3．
P(ξ=0)=C63C93=521，
P(ξ=1)=C31C62C93=4584，
P(ξ=2)=C32C61C93=314，
P(ξ=3)=C33C93=184．
ξ的分布列为：
【考点】
对立事件的概率公式及运用
互斥事件的概率加法公式
离散型随机变量及其分布列
【解析】
(1)可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的3个球中至少有一个红球的概率，从而求解；
(2)可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，求出事件B和C的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；
(3)ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，然后再根据期望的公式进行求解；
【解答】
解：(1)取出的3个球中至少有一个红球的概率：
P=1−C73C93=712 .
(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，
则所求概率为 P(B+C)=P(B)+P(C)=C21C32C93+C22C41C93=542．
(3)ξ可能的取值为0，1，2，3．
P(ξ=0)=C63C93=521，
P(ξ=1)=C31C62C93=4584，
P(ξ=2)=C32C61C93=314，
P(ξ=3)=C33C93=184．
ξ的分布列为：
【答案】
解：(1)由fx=aexx−2a≠0，得f′x=aexx−1，
若a>0，由f′x<0，可得x<1；由f′x>0，可得x>1，
所以fx的单调递减区间为−∞,1，单调递增区间为1,+∞；
若a<0，由f′x<0，可得x>1；由f′x>0，可得x<1．
所以fx的单调递减区间为1,+∞，单调递增区间为−∞,1.
(2)当a=−1时，gx=fx+x2−2x=−exx−2+x2−2x，
则g′x=−exx−1+2x−2=−x−1ex−2，
令g′x=0，则x−1ex−2=0，
解得x=1或x=ln2，
当x变化时， g′x与gx的变化情况如下表：
所以当x=ln2时，函数gx取得极小值为
gx极小值=gln2=ln22−4ln2+4，
当x=1时，函数gx取得极大值gx极大值=g1=e−1．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由fx=aexx−2a≠0，得f′x=aexx−1，
若a>0，由f′x<0，可得x<1；由f′x>0，可得x>1，
所以fx的单调递减区间为−∞,1，单调递增区间为1,+∞；
若a<0，由f′x<0，可得x>1；由f′x>0，可得x<1．
所以fx的单调递减区间为1,+∞，单调递增区间为−∞,1.
(2)当a=−1时，gx=fx+x2−2x=−exx−2+x2−2x，
则g′x=−exx−1+2x−2=−x−1ex−2，
令g′x=0，则x−1ex−2=0，
解得x=1或x=ln2，
当x变化时， g′x与gx的变化情况如下表：
所以当x=ln2时，函数gx取得极小值为
gx极小值=gln2=ln22−4ln2+4，
当x=1时，函数gx取得极大值gx极大值=g1=e−1．ξ
0
1
2
3
P
521
4584
314
184
ξ
0
1
2
3
P
521
4584
314
184
x
−∞,ln2
ln2
(ln2,1)
1
1,+∞
g′x
−
0
+
0
−
gx
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
x
−∞,ln2
ln2
(ln2,1)
1
1,+∞
g′x
−
0
+
0
−
gx
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减