初中数学鲁教版 (五四制)八年级下册1 一元二次方程教案设计

课题：一元二次方程  第一课时

教学目标：1、理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式。

          2.正确认识二次项系数、一次项系数及常数项．

         3.会根据题意列一元二次方程，体会方程的模型思想。

教学重点：一元二次方程的概念及一般形式。

教学难点：1.由实际问题向数学问题的转化过程。

2.正确识别一般式中的“项”及“系数”。

教法:1.创设以学生为中心，采用小组讨论，大组竞赛等多种形式，合作探究。利用投影仪辅助教学，突破教学难点2、让学生自己去尝试发现问题，总结方法，而不是被动的回答老师的问题、接受老师的答案。3、授课中通过一系列问题，给学生充分的时间尝试和思考，充分表达自己的想法，使学生自主学习真正成为可能,在此基础上解决问题并得出结论。

学法：本节课充分发挥学生的主观能动性。学生通过解决实际问题的解决中发现新问题，引发认知冲突，进而通过独立思考、合作交流等方式，充分经历“观察——尝试——解决——归纳”的全过程，学生充分体验到研究问题，解决问题，最后得出一般结论的过程，加深学生对一元二次方程的认识及能力。同时也促进了学生的思维能力的提高。

一、导入新课：数学之所以其乐无穷，是因为它能解决许多实际问题，数学家迪卡尔就曾经提出过一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为方程问题。只要解决了方程，一切问题都将迎刃而解，现在就让我们一起走入方程大家庭，重温我们那些熟悉的小伙伴。

【设计意图】以一个伟大的设想，引起学生的学习兴趣.

二、方程大家庭：

①2x+3=0,② 2x+3y=0,③ 这是我们学过的哪些方程？能够用元和次来描述的都是整式方程。其中一元一次方程：只含有    个未知数，未知数的次数是     次的方程

【设计意图】引导学生复习一元一次方程的概念,为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺。

过渡语：下面让我们继续畅游在方程的大家庭中，不忘老朋友，结识新朋友。一起走近生活、 探究新知、分享快乐。

三、走近生活  探究新知  分享快乐

1、问题1  请列出方程：幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度为xm,那么你能列出怎样的方程？       

则可列方程为：　　　　　　　整理化简得：              .

  2、问题2 ：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，

梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，当梯子的顶端下滑1m时，梯子的底端向外滑动多少米？设梯子的底端向外滑动xm, 那么你能列出怎样的方程？

（1）把实际问题数学化，当看到直角三角形中斜边为10，直角边为8，会想到什么(另一直角边为6，大家对直角三角形的 三边的关系掌握得非常熟练)（2）大家继续观察在梯子滑动的过程中梯子的长度是否变化？梯子顶端下滑1m后，变为7m,构造出一个新的直角三角形，由勾股定理可得方程            整理化简得:            .

 【设计意图】通过问题串引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．

同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位

3、合作探究解决问题：要求小组之间把上述问题相互讨论解决由学生观察归纳这3个方程的特征,给出名称并类比一元一次方程的定义,得出一元二次方程的定义.

 活动中教师应重点关注:(1) 引导学生观察所列出的2个方程的特点;

 (2) 让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义.

 (3) 强调定义中体现的3个特征:

 ①整式;②一元;③2次.由学生以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.

4、你所列的方程 ①②有何特点?(类比前面的一元一次方程)

一元二次方程的定义：两边都是     ,只含有    未知数,并且未知数的最高次数是    次,这样的方程叫做一元二次方程.

【设计意图】：学生已熟练掌握了一元一次方程等概念，所以从未知数的个数及最高次数提问，引导学生自主观察、比较、归纳在概念教学中类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。

4、一元二次方程的一般形式                  其中二次项是     一次项是    常数项是     二次项系数一次项系数常数项

问题：说出2x2-13x+11=0二次项是    一次项是    常数项是    注意符号

想一想：为什么要限制a≠0，b、c可以为零？

当b=0时方程为        

  当b≠0 c=0时方程为              当b=0，c=0时方程为          

【强调】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。此环节让学生通过自主探究,类比一元一次方程一般形式,得出一元二次方程一般形式和项,系数的概念,从而达到真正理解并掌握的目的.

小结：学习了一元二次方程的定义、了解了一元二次方程的一般形式。

四、精讲点拨：

要求： 1、先自已独立做，再小组合作解决问题。

2、小组内成员要积极发言，并推选中心发言人。

【设计意图】这组题训练学生解题过程的严密性，故采取学生亲自动手做，及时巩固所学知识。

学生活动：由学生独立完成是为了培养学生的解方程的速度和能力，及时发现问题，及时解决。

例1下列方程是一元二次方程的是(     )

（1）3x+2=5-3y     (2)     (3)(4)

慧眼找错：判断下列方程是否为一元二次方程：

③    10x2=9 (     )     ②x2= x2-4x (      )

③2xy-7=0 (    )    ④ (     ) ⑤ ax2 + bx + c=0

自己编一个一元二次方程（说出二次项、一次项、常数项）

3、例2:把下列方程化成一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.

【设计意图】 通过例2的学习，一是使学生进一步掌握一元二次方程的一般形式，并注意强调二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号；二是使学生进一步了解方程的变形过程。注意:

1.要先化成 ax²+bx+c=0 （a≠0）的形式。

2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形。

3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。写系数时，要带上前面的符号。

4、一般情况下，二次项系数应化为正数。

4、抢答：

【设计意图】：此问题采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性。其目的是为了及时巩固一元二次方程的概念，同时让学生知道判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。

过渡语：我们掌握了一元二次方程的定义，化成一般形式后能找到二次项、一次项、常数项，那能不能根据定义确定字母系数的值呢？在学习的过程中，你不是孤单的，总有热心的小伙伴与你一起前行，下面大家就充分利用集体的智慧来解决问题。

五.比一比，哪个小组合作最佳？

 1、已知关于x的方程(k2-1)x2 +2(k-1)x+3=0,

(1)你能写出一个k的值，使原方程为一元二次方程吗？这样的K值有多少个？K可以取任意实数吗？若不是，K要受到什么条件的限制？(2)你能写出一个K的值，使原方程为一元一次方程吗？这样的K值唯一吗？

【设计意图】：此题仍涉及字母系数问题,难度加大,通过小组合作以达到让学生掌握本节课重难点的目的.

过渡语：通过这个题反映出大家对定义掌握的很好，其实只我们牢固掌握所学的基本知识，就能解决遇到的问题。下面我们通过例3来再次规范过程。

2、例3:方程（a—2）x|a| —bx+3=0, a,b为何值，此方程为一元二次方程？此方程为一元一次方程？

六、【体会分享 畅谈收获】，你的收获，感悟，困惑及预测方向

1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。
2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。
3、 实际问题数学问题方程思想的应用

【设计意图】：引导学生回顾本节课的学习内容，加强知识的形成。

结束语：

　　同学们非常棒，已经用自己的实际行动验证了数学家迪卡尔先生的话，学会了用方程思想解决生活中的实际问题，这也说明大家都具有成为数学家的潜质，但想成为真正的数学家还需要不断的努力、探索。剩下的时间，让我们静下心来把今天学到的知识在脑子中梳理一遍，对照着老师给的堂清自测，来检验一下本堂课学习成果。

七、堂清检测

1、请问下列方程哪些是一元二次方程?若是，指出各项的系数

(1)2x2－5xy＋6y＝0         (2)2x2－ －1 ＝0

(3)      (4)x2＋2x－3＝1＋x2

 2、你能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？设五个连续整数中第一个数为x, 则后面四个数依次为_____、_____ _____、______。根据题意可得方程为：                      

3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

4、选做：方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m=     

【设计意图】通过检测反馈，发现学生存在的问题，进一步巩固本节课的知识点

八、板书设计：

一元二次方程

1.概念                           3、根据定义确定字母系数的值

(8-2x)(5-2x)=0                   例3

要素：1、整式2、一元3、二次    

2、一般形式：

 ax2 + bx + c=0（a≠0， a,b,c为常数）

注意：1、2、

【设计意图】板书是教学的聚焦点，在教学中起着画龙点睛的作用，更能展示教学思路，引导思维的方法，