初中数学鲁教版 (五四制)八年级下册1 一元二次方程教案及反思

课题：一元二次方程  第一课时

一、一元二次方程课标分析

《义务教育数学课程标准》对一元二次方程第一节的相关内容没有提出具体的要求，但可以参照对方程概念的要求，即能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

一元二次方程作为方程模型中的重要组成部分，不仅是二次开方与一元一次方程的延续，而且一元二次方程在以后学习的二次函数、不等式、三角函数等内容的基础，我们可以通过简历一元二次方程解决实际生活中遇到的问题。

二、教材分析

本节课选自鲁教版八年级数学下册第八章第一节《一元二次方程》的第1课时，这是一节一元二次方程的概念课，通过丰富的实例，抽象出一元二次方程的概念。本节课的教学不仅使学生进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，而且提高了学生分析、比较、抽象和概括的能力,是解决问题的重要工具之一,它既与现实生活密切联系,又贯穿于整个初中阶段数学的学习。本章在初中数学中占有重要地位。一元二次方程的学习，是一元一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。

三、学情分析

    学生已学习了一元一次方程，二元一次方程，分式方程的建模，在学习方程已有了知识基础和经验，因此本章教学要注重知识间的联系，根据学生已有的知识基础和学习能力，采用类比、转化等方法引导学生自主探索，合作交流学会归纳总结，提高学生的思维能力，使学生真正成为学习的主体。

四、教学目标：

1.经历由具体问题列出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。

     2.通过观察类比一元一次方程的定义归纳出一元二次方程及其相关概念，并会用概念解决问题。

教学重点：一元二次方程的概念及一般形式。

教学难点：

1.由实际问题向数学问题的转化过程。

2.能利用一元二次方程的定义确定字母系数的值。

五、教法:

1.创设以学生为中心，采用同桌、小组讨论等多种形式，合作探究。

2.让学生自己去尝试发现问题，总结方法，而不是被动的回答老师的问题、接受老师的答案。

3.学习过程中，给学生充分的时间尝试和思考，充分表达自己的想法，使学生自主学习真正成为可能,在此基础上解决问题并得出结论。

六、学法：

本节课充分发挥学生的主观能动性。学生通过解决实际问题的解决中发现新问题，引发认知冲突，进而通过独立思考、合作交流等方式，充分经历“观察——尝试——解决——归纳”的过程，学生充分体验到研究问题，解决问题，最后得出一般结论的过程，加深学生方程建模的认识及体会。

七、教学过程：

（一）导入新课：

数学家笛卡尔曾说过：宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；所有的数学问题转化为方程问题。只要解决了方程，一切问题都将迎刃而解，大家回顾一下我们学习了哪些方程？学习方程我们已有了哪些经验？下面用让我们一起走进今天的课堂，看看我们生活中问题如何用另一种方程模型——一元二次方程来解决。

【设计意图】复习回顾唤起学生的记忆,为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺。

（二）出示学习目标：生齐读

（三）环节一

问题1  请列出方程：幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度为xm,那么你能列出怎样的方程？       

则可列方程为：　　　　　　　整理化简得：              .

问题2：观察等式：

思考：（1）找出式子中的五个数的关系？

（2）还能找到具有这样关系的五个数吗？你是怎么思考的？

   问题3 ：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，

梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，当梯子的顶端下滑1m时，梯子的底端向外滑动多少米？设梯子的底端向外滑动xm, 那么你能列出怎样的方程？

（1）把实际问题数学化，当看到直角三角形中斜边为10，直角边为8，会想到什么(另一直角边为6，大家对直角三角形的 三边的关系掌握得非常熟练)

（2）大家继续观察在梯子滑动的过程中梯子的长度是否变化？梯子顶端下滑1m后，变为7m,构造出一个新的直角三角形，由勾股定理可得方程            整理化简得:            .

 【设计意图】通过问题串引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．

（四）环节二：

观察所的方程：

思考讨论：

1.这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？这几个方程有哪些共同特点？

2.类比一元一次方程的定义，能否给出一元二次方程的定义？

合作探究解决问题：要求小组之间把上述问题相互讨论解决由学生观察归纳这4个共同特点，

并类比一元一次方程的定义,得出一元二次方程的定义.

 活动中教师应重点关注:

(1) 引导学生观察所列方程的共同特点 ①整式;②一元;③最高次数2次④可化成

 (2) 让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义.

3.类比前面的一元一次方程的定义，归纳一元二次方程的定义

师生共同总结归纳

【设计意图】：学生已熟练掌握了一元一次方程等概念，所以从未知数的个数及最高次数提问，引导学生自主观察、比较、归纳在概念教学中类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。

一元二次方程的一般形式                  其中二次项是     一次项是    常数项是     二次项系数一次项系数常数项

问题：说出2x2-13x+11=0二次项是    一次项是    常数项是    注意符号

想一想：为什么要限制a≠0，b、c可以为零？

当b=0时方程为        

  当b≠0 c=0时方程为              当b=0，c=0时方程为       

学生活动：请举一个一元二次方程的例子,同桌指出各部分系数

【强调】方程只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。此环节让学生通过自主探究,类比一元一次方程一般形式,得出一元二次方程一般形式和项,系数的概念,从而达到真正理解并掌握的目的.

小结：学习了一元二次方程的定义、了解了一元二次方程的一般形式。

（五）评价练习一

1.判一判：下列方程哪些是一元二次方程?

2.练一练：把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

【设计意图】：此问题采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性。其目的是为了及时巩固一元二次方程的概念，同时让学生知道判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。

 评价练习二

1.若是关于的一元二次方程，则（       ）

A.                  B.

C.                  D.

2.关于 的方程，

当           时，是一元二次方程；当                     时，是一元一次方程。

3.（选做）关于的方程，

当                    时，是一元二次方程，当                     时，是一元一次方程。

【设计意图】：此题仍涉及字母系数问题,难度加大,同时设立选做题，让优生能吃好，通过学生独立完成后全班交流达到让学生掌握本节课重难点的目的.
（六）小结反思

本节课你有哪些收获或疑惑？

（可以从知识、思想方法等方面总结）

1.一元二次方程的定义及一般形式

2.根据定义确定字母系数的值

3.两种思想：类比

转化

【设计意图】：引导学生回顾本节课的学习内容，加强对基础知识的理解，提高学生的归纳总结能力形成。

同学们非常棒，已经用自己的实际行动验证了数学家笛卡尔先生的话，学会了用方程思想解决生活中的实际问题，这也说明大家都具有成为数学家的潜质，但想成为真正的数学家还需要不断的努力、探索。剩下的时间，让我们来检验一下本节课目标达成情况。

（七）达标检测

1.下列各式哪些是关于的一元二次方程？

(1)    (    )  (2)             (    )

(3)    (    )  (4)              (    )

(5)    (    )

2.一个面积为的矩形，一边剪短 ，另一边剪短 ，恰好形成一个正方形，假设正方形的边长为 ,所列方程为               ，化成一般形式               其中常数项是            。

3.当 =          时，方程 是关于 的一元二次方程。

【设计意图】通过检测反馈，发现学生存在的问题，进一步巩固本节课的知识点

（八）板书设计：

一元二次方程

1.生活中的方程：                      3.根据定义确定字母的值

共同点：（1）整式（2）一元（3）二次

（4）可化为的形式

2.定义：

一般形式：   （a≠0，

 a,b,c为常数）

【设计意图】板书是教学的聚焦点，在教学中起着画龙点睛的作用，更能展示教学思路，引导思维的方法，