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人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列说课ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列说课ppt课件，共33页。PPT课件主要包含了课标定位素养阐释，自主预习新知导学，合作探究释疑解惑，规范解答，随堂练习，答案C等内容，欢迎下载使用。
1.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.2.掌握等差数列与等比数列的综合应用.3.加强逻辑推理和数据分析的能力素养,提高数学运算的能力.
数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数.当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是函数y=-Aqx+A图象上的一些孤立的点.4.做一做:在等比数列{an}中,若前n项和Sn=3n+1+r,则r的值为( )A.1B.-1C.3D.-3解析:根据等比数列前n项和公式的特点可知,Sn=3·3n+r,故r=-3.答案:D
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)若等比数列{an}的首项为1,a4=8,则前5项和为31.( ) (2)已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1-1,则a=1.( )(3)在运用等比数列的前n项和公式时,一定要注意对公比q的讨论(q=1或q≠1). ( )
【例1】 国家计划在某地区退耕还林6 370万亩,2019年年底已退耕还林的土地面积为515万亩,以后每年退耕还林的面积按12%递增.试问从2019年年底,到哪一年年底该地区才能完成退耕还林计划? (1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年)(“亩”非国际通用单位)
反思感悟 1.解数列应用题的具体步骤是:(1)认真审题,理解题意,达到如下要求.①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题,还是等比数列问题,还是递推数列问题,是求an,还是求Sn,特别要注意准确弄清项数为多少.②弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系,联想所学的数学知识和数学方法,恰当地引入参数变量,并将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求的量联系起来,并根据题意列出数学关系式.2.价格升降、细胞繁殖、利率、税率、增长率等问题常归结为等比数列模型,即从实际背景中抽象出数学事实,归纳转化为数列问题去解决.
解:(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an},其中a1=128,q=1.5,则在2024年应该投入的电力型公交车为a4=a1·q3=128×1.53=432(辆).
【例2】 在一次人才招聘会上,A,B两家公司分别开出了工资标准:
大学生王明被A,B两家公司同时录取,而王明只想选择一家连续工作10年,经过一番思考,他选择了A公司,你知道为什么吗?(参考数据:1.0510≈1.63)
因此,王明选择A公司.
反思感悟 在利用数列解决现实中的问题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,弄清蕴含在问题中的数学关系,把应用问题转化为数学中的等差数列、等比数列问题,分别利用相关知识求解,做出比较,进行决策.
【变式训练2】 某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5 000元;两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种获利更多.(参考数据:1.0510≈1.6,1.310≈13.8,1.510≈55.6)
【例3】 已知等差数列{an}的前5项和为105,且a10=2a5.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意m∈N*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.解:(1)设数列{an}的公差为d,前n项和为Tn.
【变式训练3】 设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,n∈N*.(1)求证:数列{an}为等比数列;
审题策略:(1)先求出数列{an}的通项公式,再求数列{bn}的通项公式;(2)先求出数列{cn}的通项,再利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn.
答题模版: 第1步:由数列{an}中an与Sn的关系求其通项an;第2步:由数列{bn}的递推关系求其通项bn;第3步:求出数列{cn}的通项;第4步:用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Tn.失误警示 造成失分的原因如下:(1)由数列{an}中an与Sn的关系求其通项an时漏掉当n=1时的情况导致丢分;(2)不会利用an=bn+bn+1求出等差数列{bn}的公差和首项;(3)错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn时不知道错位对齐相减,弄错正负号失分.
2.已知等比数列{an}的前k项和为12,前2k项和为48,则前4k项的和为( )A.324B.480C.108D.156解析:由等比数列的前n项和及其性质,可得(48-12)2=12×(S3k-48),解得S3k=156.(156-48)2=(48-12)×(S4k-156),解得S4k=480.答案:B3.如果lg x+lg x2+…+lg x10=110,那么lg x+(lg x)2+…+(lg x)10= .解析:∵(1+2+…+10)lg x=110,∴55lg x=110,∴lg x=2.∴lg x+(lg x)2+…+(lg x)10=2+22+…+210=211-2=2 046.答案:2 046
4.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于 . 解析:每天植树的棵数构成以2为首项,2为公比的等比数列,
由2n+1-2≥100,得2n+1≥102.由于26=64,27=128,则n+1≥7,即n≥6.答案:6
1.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.2.掌握等差数列与等比数列的综合应用.3.加强逻辑推理和数据分析的能力素养,提高数学运算的能力.
数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数.当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是函数y=-Aqx+A图象上的一些孤立的点.4.做一做:在等比数列{an}中,若前n项和Sn=3n+1+r,则r的值为( )A.1B.-1C.3D.-3解析:根据等比数列前n项和公式的特点可知,Sn=3·3n+r,故r=-3.答案:D
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)若等比数列{an}的首项为1,a4=8,则前5项和为31.( ) (2)已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1-1,则a=1.( )(3)在运用等比数列的前n项和公式时,一定要注意对公比q的讨论(q=1或q≠1). ( )
【例1】 国家计划在某地区退耕还林6 370万亩,2019年年底已退耕还林的土地面积为515万亩,以后每年退耕还林的面积按12%递增.试问从2019年年底,到哪一年年底该地区才能完成退耕还林计划? (1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年)(“亩”非国际通用单位)
反思感悟 1.解数列应用题的具体步骤是:(1)认真审题,理解题意,达到如下要求.①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题,还是等比数列问题,还是递推数列问题,是求an,还是求Sn,特别要注意准确弄清项数为多少.②弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系,联想所学的数学知识和数学方法,恰当地引入参数变量,并将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求的量联系起来,并根据题意列出数学关系式.2.价格升降、细胞繁殖、利率、税率、增长率等问题常归结为等比数列模型,即从实际背景中抽象出数学事实,归纳转化为数列问题去解决.
解:(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an},其中a1=128,q=1.5,则在2024年应该投入的电力型公交车为a4=a1·q3=128×1.53=432(辆).
【例2】 在一次人才招聘会上,A,B两家公司分别开出了工资标准:
大学生王明被A,B两家公司同时录取,而王明只想选择一家连续工作10年,经过一番思考,他选择了A公司,你知道为什么吗?(参考数据:1.0510≈1.63)
因此,王明选择A公司.
反思感悟 在利用数列解决现实中的问题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,弄清蕴含在问题中的数学关系,把应用问题转化为数学中的等差数列、等比数列问题,分别利用相关知识求解,做出比较,进行决策.
【变式训练2】 某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5 000元;两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种获利更多.(参考数据:1.0510≈1.6,1.310≈13.8,1.510≈55.6)
【例3】 已知等差数列{an}的前5项和为105,且a10=2a5.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意m∈N*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.解:(1)设数列{an}的公差为d,前n项和为Tn.
【变式训练3】 设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,n∈N*.(1)求证:数列{an}为等比数列;
审题策略:(1)先求出数列{an}的通项公式,再求数列{bn}的通项公式;(2)先求出数列{cn}的通项,再利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn.
答题模版: 第1步:由数列{an}中an与Sn的关系求其通项an;第2步:由数列{bn}的递推关系求其通项bn;第3步:求出数列{cn}的通项;第4步:用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Tn.失误警示 造成失分的原因如下:(1)由数列{an}中an与Sn的关系求其通项an时漏掉当n=1时的情况导致丢分;(2)不会利用an=bn+bn+1求出等差数列{bn}的公差和首项;(3)错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn时不知道错位对齐相减,弄错正负号失分.
2.已知等比数列{an}的前k项和为12,前2k项和为48,则前4k项的和为( )A.324B.480C.108D.156解析:由等比数列的前n项和及其性质,可得(48-12)2=12×(S3k-48),解得S3k=156.(156-48)2=(48-12)×(S4k-156),解得S4k=480.答案:B3.如果lg x+lg x2+…+lg x10=110,那么lg x+(lg x)2+…+(lg x)10= .解析:∵(1+2+…+10)lg x=110,∴55lg x=110,∴lg x=2.∴lg x+(lg x)2+…+(lg x)10=2+22+…+210=211-2=2 046.答案:2 046
4.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于 . 解析:每天植树的棵数构成以2为首项,2为公比的等比数列,
由2n+1-2≥100,得2n+1≥102.由于26=64,27=128,则n+1≥7,即n≥6.答案:6
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