中考数学一轮复习讲义第36讲《解直角三角形》学案
展开中考数学一轮复习讲义
考点三十六:解直角三角形
聚焦考点☆温习理解
一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b
正弦:sinA==
余弦:cosA==
余切:tanA==
二、特殊角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
三、解直角三角形
解直角三角形的常用关系
在Rt△ABC中,∠C=90°,则:
(1)三边关系:a2+b2=c2;
(2)两锐角关系:∠A+∠B=90°;
(3)边与角关系:sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=;
(4)sin2A+cos2A=1
四、解直角三角形的应用常用知识
1. 仰角和俯角:学=科网
仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线下方的角叫做俯角
2.坡度和坡角
坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i=________
坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,i=tanα
坡度越大,α角越大,坡面________
3.方向角(或方位角)
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角
名师点睛☆典例分类
考点典例一、锐角三角函数的定义
【例1】孝感市2018年如图,在中,,,,则等于( )
A. B. C. D.
【举一反三】
1. 浙江省金华市2018年如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为( )
A. B. C. D.
2.(2018江苏扬州)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于O,则tan∠BOD的值等于 .
考点典例二、特殊角的三角函数值
【例2】在△ABC中,(tanA﹣)2+|﹣cosB|=0,则∠C的度数为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【举一反三】
1. 天津市2018年的值等于( )
A. B. C. 1 D.
2.(2018山东德州)在中,,,,则 .
考点典例三、解直角三角形
【例3】成都市2018年由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达处时,测得小岛位于它的北偏东方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛位于它的北偏东方向.如果航母继续航行至小岛的正南方向的处,求还需航行的距离的长.
(参考数据:
,,,,,)
【举一反三】
如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,sinC=,点G是△ABC的重心,线段BG的延长线交边AC于点D,求∠CBD的余弦值.
考点典例四、解直角三角形的实际运用
【例4】2018年浙江省舟山市如图1,滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面AB,为立柱上的滑动调节点,伞体的截面示意图为,为中点,,,,.当点位于初始位置时,点与重合(图2).根据生活经验,当太阳光线与垂直时,遮阳效果最佳.
(1)上午10:00时,太阳光线与地面的夹角为(图3),为使遮阳效果最佳,点需从上调多少距离?(结果精确到)
(2)中午12:00时,太阳光线与地面垂直(图4),为使遮阳效果最佳,点在(1)的基础上还需上调多少距离?(结果精确到)
(参考数据:,,,,)
【举一反三】
安徽省2018年为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据:tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)
课时作业☆能力提升
1.在△ABC中,∠C=90°,sinA=, 则tanA的值为( )
A. B. C. D.
2. 娄底市2018年如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则
( )
A. B. C. D.
3. 2018年重庆市如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角,升旗台底部到教学楼底部的距离米,升旗台坡面CD的坡度,坡长米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离米,则旗杆AB的高度约为( )
(参考数据:,,)
A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米
4. (2018黑龙江绥化)某楼梯的侧面如图所示,已测得的长约为3.5米, 约为,则该楼梯的高度可表示为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
5. (2018浙江温州)如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1:0.75,坡长BC=10米,则此时AB的长约为( )(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84).
A.5.1米 B.6.3米 C.7.1米 D.9.2米
6. (2018湖北黄冈)如图,数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度,在水平底面处安置侧倾器得楼房顶部点的仰角为,向前走20米到达处,测得点的仰角为.已知侧倾器的高度为1.6米,则楼房的高度约为( )
(结果精确到0.1米,)
A.米 B.米 C.米 D.米
7. 滨州市2018年在△ABC中,∠C=90°,若tanA=,则sinB=______.
8. 德州市2018年如图。在的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________.
9. 宜宾市2018年某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱AB、CD均垂直于地面,点E在线段BD上,在C点测得点A的仰角为30°,点E的俯角也为30°,测得B、E间距离为10米,立柱AB高30米.求立柱CD的高(结果保留根号)
10. 江西省2018年图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框
上,通过推动左侧活页门开关;图2是其俯视图简化示意图,已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点固定,当点在上左右运动时,与的长度不变(所有结果保留小数点后一位).
(1)若,求的长;
(2)当点C从点A向右运动60cm时,求点O在此过程中运动的路径长.
(参考数据:sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14)
图1 图2
11. 贵州省安顺市2018年如图是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高是米,坡面的倾斜角,在距点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面的倾斜角,若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道,问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数).
(参考数据:,)
12. 2018年甘肃省武威市随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高,中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离,改变了人们的出行方式.如图,,两地被大山阻隔,由地到地需要绕行地,若打通穿山隧道,建成,两地的直达高铁,可以缩短从地到地的路程.已知:,,公里,求隧道打通后与打通前相比,从地到地的路程将约缩短多少公里?(参考数据:,)
13. 山东省德州市2018年如图,两座建筑物的水平距离为.从点测得点的仰角为53° ,从点测得点的俯角为37° ,求两座建筑物的高度(参考数据:
14. 2018年浙江省绍兴市如图1,窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图,滑轨安装在窗框上,托悬臂安装在窗扇上,交点处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点,,始终在一直线上,延长交于点.已知,,.
(1)窗扇完全打开,张角,求此时窗扇与窗框的夹角的度数.
(2)窗扇部分打开,张角,求此时点,之间的距离(精确到).
(参考数据:,)
参考答案:
考点典例一、锐角三角函数的定义
【例1】孝感市2018年如图,在中,,,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
点睛:本题主要考查锐角三角函数的定义,解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义.
【举一反三】
1. 浙江省金华市2018年如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:在两个直角三角形中,分别求出AB、AD即可解决问题;
详解:在Rt△ABC中,AB=,
在Rt△ACD中,AD=,
∴AB:AD=:=,
故选B.
点睛:本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.
2.(2018江苏扬州)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于O,则tan∠BOD的值等于 .
【答案】3.
【解析】
试题解析:平移CD到C′D′交AB于O′,如图所示,
则∠BO′D′=∠BOD,
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′,
设每个小正方形的边长为a,
则O′B=,O′D′=,BD′=3a,
作BE⊥O′D′于点E,
则BE=,
∴O′E=,
∴tanBO′E=,
∴tan∠BOD=3.
考点:锐角三角函数的定义.
考点典例二、特殊角的三角函数值
【例2】在△ABC中,(tanA﹣)2+|﹣cosB|=0,则∠C的度数为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】D
【解析】根据非负数的性质可得tanA= ,cosB= ,根据特殊角的三角函数值可得∠A=60°,∠B=45°,再由三角形的内角和定理可得∠C=75°,故选D.
考点:特殊角的三角函数值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:偶次方;三角形内角和定理.
【点睛】利用特殊角的三角函数值进行数的运算,往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合.此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性,属于基础题,关键是熟记一些特殊角的三角形函数值,也要注意运用三角形的内角和定理.
【举一反三】
1. 天津市2018年的值等于( )
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】分析:根据特殊角的三角函数值直接求解即可.
详解:cos30°=.
故选:B.
点睛:本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况.特殊角三角函数值计算在中考中经常出现,要熟练掌握.
2.(2018山东德州)在中,,,,则 .
【答案】.
【解析】
试题解析:∵sinA=,
∴∠A=60°,
∴sin=sin30°=.
考点:特殊角的三角函数值.
考点典例三、解直角三角形
【例3】成都市2018年由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达处时,测得小岛位于它的北偏东方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛位于它的北偏东方向.如果航母继续航行至小岛的正南方向的处,求还需航行的距离的长.
(参考数据:
,,,,,)
【答案】还需要航行的距离的长为20.4海里.
点睛:此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,三角函数的应用;求出CD的长度是解决问题的关键.
【举一反三】
如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,sinC=,点G是△ABC的重心,线段BG的延长线交边AC于点D,求∠CBD的余弦值.
【答案】
【解析】试题分析:如图连接AG延长AG交BC于H.想办法求出BG、BH的值即可解决问题.
试题解析:如图连接AG延长AG交BC于H.
∵G是重心,
∴BH=CH=6,AG=2GH,
∵AB=AC,
∴AH⊥BC,
∵sin∠C==,设AH=4k,AC=5k,
在Rt△AHC中,∵AH2+CH2=AC2,
∴(4k)2+62=(5k)2,
解得k=2,
∴AH=8,AC=10,
∴GH=AH=,
在Rt△BGH中,BG==
∴cos∠CBD==;
点睛:此题考查了相似形的综合,用到的知识点是重心、特殊角的三角函数,关键是做出辅助线,构造直角三角形是本题的关键.
考点典例四、解直角三角形的实际运用
【例4】2018年浙江省舟山市如图1,滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面AB,为立柱上的滑动调节点,伞体的截面示意图为,为中点,,,,.当点位于初始位置时,点与重合(图2).根据生活经验,当太阳光线与垂直时,遮阳效果最佳.
(1)上午10:00时,太阳光线与地面的夹角为(图3),为使遮阳效果最佳,点需从上调多少距离?(结果精确到)
(2)中午12:00时,太阳光线与地面垂直(图4),为使遮阳效果最佳,点在(1)的基础上还需上调多少距离?(结果精确到)
(参考数据:,,,,)
【答案】(1)点需从上调;(2)点在(1)的基础上还需上调.
【解答】(1)如图2,当点位于初始位置时,.
如图3,10:00时,太阳光线与地面的夹角为,点上调至处,
,,∴,
∴.
∵,∴.
∵,∴,
∴为等腰直角三角形,∴,
∴,
即点需从上调.
【点评】考查等腰三角形的性质,解直角三角形,熟练运用三角函数是解题的关键.可以数形结合.
【举一反三】
安徽省2018年为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据:tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)
【答案】旗杆AB高约18米.
答:旗杆AB高约18米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,相似三角形的判定与性质,得到是解题的关键.
课时作业☆能力提升
1.在△ABC中,∠C=90°,sinA=, 则tanA的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵sinA==,
∴设BC=12x,AB=13x,
由勾股定理得:AC==5x,
∴tanA==.
故选C.
2. 娄底市2018年如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则
( )
A. B. C. D.
【答案】D
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,根据题意求出直角三角形的三边长是解题的关键.
3. 2018年重庆市如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角,升旗台底部到教学楼底部的距离米,升旗台坡面CD的坡度,坡长米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离米,则旗杆AB的高度约为( )
(参考数据:,,)
A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米
【答案】B
【解析】【分析】延长AB交地面于点H,作CM⊥DE, 易得CM=1.6,DM=1.2,再由tan58°=,求得AH长即可得.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,添加辅助线构造直角三角形,从图中提取相关信息是解题的关键.
4. (2018黑龙江绥化)某楼梯的侧面如图所示,已测得的长约为3.5米, 约为,则该楼梯的高度可表示为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
【答案】A
【解析】
试题分析:在Rt△ABC中,∵sin∠ACB= ,∴AB=BCsin∠ACB=3.5sin29°,
故选A.
考点:解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
5. (2018浙江温州)如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1:0.75,坡长BC=10米,则此时AB的长约为( )(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84).
A.5.1米 B.6.3米 C.7.1米 D.9.2米
【答案】A.
【解析】
试题解析:如图,延长DE交AB延长线于点P,作CQ⊥AP于点Q,
∵CE∥AP,
∴DP⊥AP,
∴四边形CEPQ为矩形,
∴CE=PQ=2,CQ=PE,
∵i=,
∴设CQ=4x、BQ=3x,
由BQ2+CQ2=BC2可得(4x)2+(3x)2=102,
解得:x=2或x=﹣2(舍),
则CQ=PE=8,BQ=6,
∴DP=DE+PE=11,
在Rt△ADP中,∵AP=≈13.1,
∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1,
故选A.
考点:解直角三角形的应用.
6. (2018湖北黄冈)如图,数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度,在水平底面处安置侧倾器得楼房顶部点的仰角为,向前走20米到达处,测得点的仰角为.已知侧倾器的高度为1.6米,则楼房的高度约为( )
(结果精确到0.1米,)
A.米 B.米 C.米 D.米
【答案】C.
【解析】
试题解析:过B作BF⊥CD于F,
∴AB=A′B′=CF=1.6米,
在Rt△DFB′中,B′F=,
在Rt△DFB中,BF=DF,
∵BB′=AA′=20,
∴BF﹣B′F=DF﹣=20,
∴DF≈34.1米,
∴CD=DF+CF=35.7米,
答:楼房CD的高度约为35.7米,
故选C.
考点:解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
7. 滨州市2018年在△ABC中,∠C=90°,若tanA=,则sinB=______.
【答案】
点睛:此题主要考查了锐角三角函数关系,正确表示各边长是解题关键.
8. 德州市2018年如图。在的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________.
【答案】
点睛:本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.
9. 宜宾市2018年某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱AB、CD均垂直于地面,点E在线段BD上,在C点测得点A的仰角为30°,点E的俯角也为30°,测得B、E间距离为10米,立柱AB高30米.求立柱CD的高(结果保留根号)
【答案】立柱CD的高为(15﹣)米.
【解析】分析:作CH⊥AB于H,得到 BD=CH,设CD=x米,根据正切的定义分别用x表示出HC、ED,根据正切的定义列出方程,解方程即可.
详解:作CH⊥AB于H,
则四边形HBDC为矩形,
∴BD=CH,
由题意得,∠ACH=30°,∠CED=30°,
点睛:本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题,掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解题的关键.
10. 江西省2018年图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框
上,通过推动左侧活页门开关;图2是其俯视图简化示意图,已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点固定,当点在上左右运动时,与的长度不变(所有结果保留小数点后一位).
(1)若,求的长;
(2)当点C从点A向右运动60cm时,求点O在此过程中运动的路径长.
(参考数据:sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14)
图1 图2
【答案】(1)43.2cm. (2)62.8cm.
【解析】【分析】(1)如图,作OH⊥AB于H,在Rt△OBH中, 由cos∠OBC= ,求得BH的长,再根据AC=AB-2BH即可求得AC的长;
(2)由题意可知△OBC是等边三角形,由此即可求出弧OC的长,即点O在此过程中运动的路径长.
【详解】(1)如图,作OH⊥AB于H,
(2)∵AC=60,∴BC=60 ,
∵OC=OB=60,
∴OC=OB=BC=60 ,
∴△OBC是等边三角形,
∴的长==2 =62.8,
∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等,结合题意正确画出图形是解题的关键.
11. 贵州省安顺市2018年如图是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高是米,坡面的倾斜角,在距点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面的倾斜角,若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道,问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数).
(参考数据:,)
【答案】该建筑物需要拆除.
【解析】分析:根据正切的定义分别求出AB、DB的长,结合图形求出DH,比较即可.
详解:由题意得,米,米,
在中,,
∴,
在中,,
∴,
∴ (米),
∵2.7米米,
∴该建筑物需要拆除.
点睛:本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键
12. 2018年甘肃省武威市随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高,中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离,改变了人们的出行方式.如图,,两地被大山阻隔,由地到地需要绕行地,若打通穿山隧道,建成,两地的直达高铁,可以缩短从地到地的路程.已知:,,公里,求隧道打通后与打通前相比,从地到地的路程将约缩短多少公里?(参考数据:,)
【答案】隧道打通后与打通前相比,从A地到B地的路程将约缩短224公里.
答:隧道打通后与打通前相比,从A地到B地的路程将约缩短224公里.
【点评】考查解直角三角形,构造直角三角形是解题的关键.
13. 山东省德州市2018年如图,两座建筑物的水平距离为.从点测得点的仰角为53° ,从点测得点的俯角为37° ,求两座建筑物的高度(参考数据:
【答案】建筑物AB的高度为.建筑物的高度为.
【解析】分析:过点D作DE⊥AB于于E,则DE=BC=60m.在Rt△ABC中,求出AB.在Rt△ADE中求出AE即可解决问题.
点睛:本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
14. 2018年浙江省绍兴市如图1,窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图,滑轨安装在窗框上,托悬臂安装在窗扇上,交点处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点,,始终在一直线上,延长交于点.已知,,.
(1)窗扇完全打开,张角,求此时窗扇与窗框的夹角的度数.
(2)窗扇部分打开,张角,求此时点,之间的距离(精确到).
(参考数据:,)
【答案】(1);(2).
【解答】(1)∵,,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∴.
(2)如图,过点作于点,
∵,
【点评】考查平行四边形的判定与性质,平行线的判定与性质,解直角三角形等,注意辅助线的作法.
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