中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第36讲 锐角三角函数 解直角三角形（解析版）学案

这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第36讲 锐角三角函数 解直角三角形（解析版）学案，共25页。学案主要包含了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形，解直角三角形的应用常用知识等内容，欢迎下载使用。

 中考数学一轮复习讲义
考点三十六：锐角三角函数 解直角三角形
聚焦考点☆温习理解
一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b

正弦：sinA＝＝
余弦：cosA＝＝
余切：tanA＝＝
二、特殊角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



三、解直角三角形
解直角三角形的常用关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：
(1)三边关系：a2＋b2＝c2；
(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边与角关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝；
(4)sin2A＋cos2A＝1
四、解直角三角形的应用常用知识
1. 仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角
2.坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα
坡度越大，α角越大，坡面________
3.方向角(或方位角)
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角

名师点睛☆典例分类
考点典例一、锐角三角函数的定义
【例1】(2019•杭州)在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=__________．
【答案】或
【解析】若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC=；
若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC=，
所以cosC=；
综上所述，cosC的值为或．
故答案为：或．
【名师点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．
【举一反三】
1. 如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为(　　)

A. B. C. D.
【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；
详解：在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=：=，
故选B．
点睛：本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．学科*网
2.(2018江苏扬州中考模拟)在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于　 　．

【答案】3.
【解析】
试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，

则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B=，O′D′=，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE=，
∴O′E=，
∴tanBO′E=，
∴tan∠BOD=3.
考点：锐角三角函数的定义．
考点典例二、特殊角的三角函数值
【例2】(2019•甘肃)在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则cosB=__________．
【答案】
【解析】∵tanA=，∴∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=．
故答案为：．
【名师点睛】在解决解直角三角形形的问题中，牢记特殊角的三角函数值可以快速准确解题．
【举一反三】
1. 的值等于( )
A. B. C. 1 D.
【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：根据特殊角的三角函数值直接求解即可．
详解：cos30°=．
故选：B．
点睛：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
2. (甘肃省兰州市第36中学2018年九年级数学中考模拟)在△ABC中，(tanA﹣)2+|﹣cosB|=0，则∠C的度数为(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】D
【解析】根据非负数的性质可得tanA= ，cosB= ，根据特殊角的三角函数值可得∠A=60°，∠B=45°，再由三角形的内角和定理可得∠C=75°，故选D.
考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．
【点睛】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．
考点典例三、解直角三角形
【例3】(2019湖北荆门)(10分)已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．
(1)求证：＝2R；
(2)若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．

【分析】(1)如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，于是得到∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，根据三角函数的定义即可得到结论；
(2)由＝2R，同理可得：＝2R，于是得到2R＝＝2，即可得到BC＝2R•sinA＝2sin45°＝，如图2，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：(1)如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，
则∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝，
∴＝2R；
(2)∵＝2R，
同理可得：＝2R，
∴2R＝＝2，
∴BC＝2R•sinA＝2sin45°＝，
如图2，过C作CE⊥AB于E，
∴BE＝BC•cosB＝cos60°＝，AE＝AC•cos45°＝，
∴AB＝AE+BE＝，
∵AB＝AR•sinC，
∴sinC＝＝．


【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．




【举一反三】
(2018•徐汇区一模)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，sinC=，点G是△ABC的重心，线段BG的延长线交边AC于点D，求∠CBD的余弦值．

【答案】
【解析】试题分析：如图连接AG延长AG交BC于H．想办法求出BG、BH的值即可解决问题．
试题解析：如图连接AG延长AG交BC于H．

∵G是重心，
∴BH=CH=6，AG=2GH，
∵AB=AC，
∴AH⊥BC，
∵sin∠C==，设AH=4k，AC=5k，
在Rt△AHC中，∵AH2+CH2=AC2，
∴(4k)2+62=(5k)2，
解得k=2，
∴AH=8，AC=10，
∴GH=AH=，
在Rt△BGH中，BG==
∴cos∠CBD==；
点睛：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是重心、特殊角的三角函数，关键是做出辅助线，构造直角三角形是本题的关键．
考点典例四、解直角三角形的实际运用
【例4】(2019•江西)图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．(结果精确到0.1)．
(1)如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．
①填空：∠BAO=__________．
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
(2)如图3，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．
(参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60)

【答案】(1)①160；②投影探头的端点D到桌面OE的距离为27cm；(2)当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，∠ABC的大小为33.2°．
【解析】(1)①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，

∵BC∥OE，∴AG∥OE，
∴∠GAO=∠AOE=90°，
∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；
②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，

则AF=AB•sin∠ABF=30sin70°≈28.2(cm)，
∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：
AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27(cm)；
(2)过点DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，
过A作AF⊥BM于点F，如图3，

则∠MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm，
∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21(cm)，
∴sin∠MBC===0.6，
∴∠MBC=36.8°，
∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°．
【名师点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．
【举一反三】
为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)

【来源】安徽省2018年中考数学试题
【答案】旗杆AB高约18米.

答：旗杆AB高约18米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到是解题的关键.
课时作业☆能力提升
1. (浙江省宁波市李兴贵中学2018届九年级上册期末)在△ABC中，∠C=90°，sinA=， 则tanA的值为(　　)
A.              B.                    C.                   D.
【答案】C
【解析】

∵sinA==，
∴设BC=12x，AB=13x，
由勾股定理得：AC==5x，
∴tanA==.
故选C.
2. (2019•广东省广州市•3分)如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为(　　)

A．75m B．50m C．30m D．12m
【答案】：A
【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，
∴tan∠BAC＝==，
解得，AC＝75，
故选：A．
3. 如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为( )
(参考数据：，，)

A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷(A卷)
【答案】B
【解析】【分析】延长AB交地面于点H，作CM⊥DE， 易得CM=1.6，DM=1.2，再由tan58°=，求得AH长即可得.


【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，从图中提取相关信息是解题的关键.
4. (2019湖北宜昌3分)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为(　　)

A． B． C． D．
【答案】D．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5．
∴sin∠BAC＝＝．
故选：D．

5. (2018浙江温州中考模拟)如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为(　　)(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)．

A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米
【答案】A.
【解析】
试题解析：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，

∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE=PQ=2，CQ=PE，
∵i=，
∴设CQ=4x、BQ=3x，
由BQ2+CQ2=BC2可得(4x)2+(3x)2=102，
解得：x=2或x=﹣2(舍)，
则CQ=PE=8，BQ=6，
∴DP=DE+PE=11，
在Rt△ADP中，∵AP=≈13.1，
∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，
故选A．
考点：解直角三角形的应用.
6. (2018湖北黄冈中考模拟)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平底面处安置侧倾器得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为.已知侧倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为( )
(结果精确到0.1米，)

A．米 B．米 C.米 D．米
【答案】C．
【解析】
试题解析：过B作BF⊥CD于F，

∴AB=A′B′=CF=1.6米，
在Rt△DFB′中，B′F=，
在Rt△DFB中，BF=DF，
∵BB′=AA′=20，
∴BF﹣B′F=DF﹣=20，
∴DF≈34.1米，
∴CD=DF+CF=35.7米，
答：楼房CD的高度约为35.7米，
故选C．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
7. 在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______．
【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题
【答案】

点睛：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．
8. (2019•浙江湖州•4分)有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　120　cm．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．)

【答案】120
【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，
∵BO＝DO，
∴OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，
∴∠FAB＝∠BOE＝37°，
在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，
∴h＝AF＝AB•cos∠FAB＝150×0.8＝120cm，
故答案为：120


9. 某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高(结果保留根号)

【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题
【答案】立柱CD的高为(15﹣)米．
【解析】分析：作CH⊥AB于H，得到 BD=CH，设CD=x米，根据正切的定义分别用x表示出HC、ED，根据正切的定义列出方程，解方程即可．
详解：作CH⊥AB于H，

则四边形HBDC为矩形，
∴BD=CH，
由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，

点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解题的关键．
10. 图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框
上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点固定，当点在上左右运动时，与的长度不变(所有结果保留小数点后一位).
(1)若,求的长；
(2)当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长.
(参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14)

图1 图2
【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题
【答案】(1)43.2cm. (2)62.8cm.
【解析】【分析】(1)如图，作OH⊥AB于H，在Rt△OBH中， 由cos∠OBC= ，求得BH的长，再根据AC=AB－2BH即可求得AC的长；
(2)由题意可知△OBC是等边三角形，由此即可求出弧OC的长，即点O在此过程中运动的路径长.
【详解】(1)如图，作OH⊥AB于H，


(2)∵AC=60，∴BC=60 ，
∵OC=OB=60，
∴OC=OB=BC=60 ，
∴△OBC是等边三角形，
∴的长==2 =62.8，
∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等，结合题意正确画出图形是解题的关键.
11. 如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是米，坡面的倾斜角，在距点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数).
(参考数据：，)

【来源】贵州省安顺市2018年中考数学试题
【答案】该建筑物需要拆除.
【解析】分析：根据正切的定义分别求出AB、DB的长，结合图形求出DH，比较即可．
详解：由题意得，米，米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴ (米)，
∵2.7米米，
∴该建筑物需要拆除.
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键

12.随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图，，两地被大山阻隔，由地到地需要绕行地，若打通穿山隧道，建成，两地的直达高铁，可以缩短从地到地的路程.已知：，，公里，求隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程将约缩短多少公里？(参考数据：，)

【来源】2018年甘肃省武威市(凉州区)中考数学试题
【答案】隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．

答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．

【点评】考查解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.
13. 如图,两座建筑物的水平距离为.从点测得点的仰角为53° ,从点测得点的俯角为37° ,求两座建筑物的高度(参考数据:

【来源】山东省德州市2018年中考数学试题
【答案】建筑物AB的高度为.建筑物的高度为.
【解析】分析：过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m．在Rt△ABC中，求出AB．在Rt△ADE中求出AE即可解决问题．


点睛：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14.(2019山东淄博)如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D(不与点A，C重合)处，折痕是EF．

如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；
如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；
如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；……
依此类推，当CD＝AC(n为正整数)时，tanαn＝　 　．
【答案】．
【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，
2n+1，，中的中间一个．
∴tanαn＝＝．
故答案为：．
15. 如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨安装在窗框上，托悬臂安装在窗扇上，交点处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点，，始终在一直线上，延长交于点.已知，，.

(1)窗扇完全打开，张角，求此时窗扇与窗框的夹角的度数.
(2)窗扇部分打开，张角，求此时点，之间的距离(精确到).
(参考数据：，)
【来源】2018年浙江省绍兴市中考数学试卷解析
【答案】(1)；(2).

【解答】(1)∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴.
(2)如图，过点作于点，
∵，


【点评】考查平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，解直角三角形等，注意辅助线的作法.