还剩23页未读，
继续阅读
中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第37讲 解直角三角形的应用（解析版）学案
展开
这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第37讲 解直角三角形的应用（解析版）学案，共26页。学案主要包含了解直角三角形的应用常用知识，解直角三角形的应用可解决的问题等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习讲义
考点三十七：解直角三角形的应用
聚焦考点☆温习理解
一、解直角三角形的应用常用知识
1. 仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角
2.坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα
坡度越大，α角越大，坡面________
3.方向角(或方位角)
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角
二、解直角三角形的应用可解决的问题
1.测量物体的高度；
2.测量河的宽度；学=科网
3.解决航海航空问题；
4.解决坡度问题；
5.解决实际生活中其它问题.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、解直角三角形的应用----测量物体的高度
【例1】(2019•河南)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
(精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73)
【答案】炎帝塑像DE的高度约为51m．
【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，
∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1(m)，
∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1(m)，
在Rt△BCD中，tan60°==，
∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7(m)，
∴DE=CD–EC=105.7–55≈51(m).
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．
【举一反三】
(2018新疆建设兵团中考模拟)如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度(结果保留根号)
【答案】乙建筑物的高度为30m；甲建筑物的高度为(30﹣30)m．
【解析】
试题分析：在Rt△BCD中可求得CD的长，即求得乙的高度，过A作F⊥CD于点F，在Rt△ADF中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度．学*科网
试题解析：如图，过A作AF⊥CD于点F，
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，
∵=tan∠DBC，
∴CD=BC•tan60°=30m，
∴乙建筑物的高度为30m；
在Rt△AFD中，∠DAF=45°，
∴DF=AF=BC=30m，
∴AB=CF=CD﹣DF=(30﹣30)m，
∴甲建筑物的高度为(30﹣30)m．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
考点典例二、解直角三角形的应用----测量河的宽度及距离
【例2】(2019•湖北省咸宁市•3分)如图所示，九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB(这段河流的两岸平行)，他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为 69 m(结果保留整数，≈1.73)．
【分析】在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，则∠DAC＝30°，所以DA＝DC＝80，在Rt△ABD中，通过三角函数关系求得AB的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴DA＝DC＝80，
在Rt△ABD中，
，
∴＝＝40≈69(米)，
故答案为69．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
【举一反三】
(2019·广西贺州·8分)如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．求A，B间的距离．(≈1.73，≈1.4，结果保留一位小数)．
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，通过解直角三角形可求出BD，AD的长，将其相加即可求出AB的长．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，如图所示．
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝，cos∠BCD＝，
∴BD＝BC•sin∠BCD＝20×3×≈42，CD＝BC•cos∠BCD＝20×3×≈42；
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
∴AD＝CD•tan∠ACD＝42×≈72.7．
∴AB＝AD+BD＝72.7+42＝114.7．
∴A，B间的距离约为114.7海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形，求出BD，AD的长是解题的关键．
考点典例三、解直角三角形的应用----解决航海航空问题
【例3】(2019•新疆)如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．
(1)求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离(结果保留根号)；
(2)若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．
(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
【答案】(1)海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；(2)海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处．
【解析】(1)作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA=∠PCB=90°，
由题意得：PA=80，∠APC=45°，∠BPC=90°-30°=60°，
∴△APC是等腰直角三角形，∠B=30°，
∴AC=PC=PA=40．
答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；
(2)海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处，理由如下：
∵∠PCB=90°，∠B=30°，∴BC=PC=40，
∴AB=AC+BC=40+40，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间=≈5.15(小时)＞5小时，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处．
【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
【举一反三】
(2018湖南长沙中考模拟)如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的
俯角为α其中tanα=2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．
①求点H到桥左端点P的距离；
②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．
【答案】①求点H到桥左端点P的距离为250米；②无人机的长度AB为5米．
【解析】
试题分析：①在Rt△AHP中，由tan∠APH=tanα=，即可解决问题；②设BC⊥HQ于C．在Rt△BCQ中，求出CQ==1500米，由PQ=1255米，可得CP=245米，再根据AB=HC=PH﹣PC计算即可；
试题解析：①在Rt△AHP中，∵AH=500，
由tan∠APH=tanα==2，可得PH=250米．
∴点H到桥左端点P的距离为250米．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
考点典例四、解直角三角形的应用----解决坡度问题
【例4】(2019•山东潍坊•6分)自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．(结果保留根号)
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得AE的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到ED的长，最后用勾股定理即可求得CD的长．
【解答】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1：，
∴tan∠ABE＝，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝100，
∵AC＝20，
∴CE＝80，
∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，
∴，
即，
解得，ED＝320，
∴CD＝＝米，
答：斜坡CD的长是米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
【举一反三】
(2017重庆A卷第11题)如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为( )(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)．
A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米
【答案】A.
【解析】
试题解析：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE=PQ=2，CQ=PE，
∵i=，
∴设CQ=4x、BQ=3x，
由BQ2+CQ2=BC2可得(4x)2+(3x)2=102，
解得：x=2或x=﹣2(舍)，
则CQ=PE=8，BQ=6，[来源:学.科.网]
∴DP=DE+PE=11，
在Rt△ADP中，∵AP=≈13.1，
∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，
故选A．
考点：解直角三角形的应用.
考点典例五、解直角三角形的应用----解决实际生活问题
【例5(2019•湖南常德•8分)图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)．
【考点】解直角三角形．
【分析】过B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，
∵AB＝25，DE＝50，
∴sin37°＝，cos37°＝，
∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，
∴BF＝50－15＝35，
∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，∴∠GBA＝53°，
∴∠CBF＝55°，∴∠BCF＝35°，
∵tan35°＝，∴CF≈＝50，
∴FE＝50+130＝180，∴GD＝FE＝180，
∴AD＝180﹣20＝160，
∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
【举一反三】
(2019•甘肃庆阳•8分)图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：取1.73)．
【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．
【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．
∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，
∴四边形CEHF是矩形，
∴CE＝FH，
在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，
∴CE＝AC•sin60°＝34.6(cm)，
∴FH＝CE＝34.6(cm)
∵DH＝49.6cm，
∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15(cm)，
在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，
∴∠DCF＝30°，
∴此时台灯光线为最佳．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
课时作业☆能力提升
1.(2018广西百色中考模拟)如图，在距离铁轨200米处的处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，10秒钟后，动车车头到达处，恰好位于处西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )米/秒.
A． B． C. 200 D．300
【答案】A
【解析】
试题分析：作BD⊥AC于点D．
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，
∴AD=BD•tan∠ABD=200 (米)，
同理，CD=BD=200(米)．
则AC=200+200 (米)．
则平均速度是 =20(+1)米/秒．
故选A．
考点：1.解直角三角形的应用﹣方向角问题；2.勾股定理的应用．
2. (2018黑龙江哈尔滨中考模拟)某楼梯的侧面如图所示，已测得的长约为3.5米， 约为，则该楼梯的高度可表示为( )
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】
试题分析：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB= ，∴AB=BCsin∠ACB=3.5sin29°，
故选A．
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
3. (2018山东青岛中考模拟)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平底面处安置侧倾器得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为.已知侧倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为( )
(结果精确到0.1米，)
A．米 B．米 C.米 D．米
【答案】C．
【解析】
试题解析：过B作BF⊥CD于F，
∴AB=A′B′=CF=1.6米，
在Rt△DFB′中，B′F=，
在Rt△DFB中，BF=DF，
∵BB′=AA′=20，
∴BF﹣B′F=DF﹣=20，
∴DF≈34.1米，
∴CD=DF+CF=35.7米，
答：楼房CD的高度约为35.7米，
故选C．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
4. (2017甘肃兰州第3题)如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )
A. B. C. D.
【答案】C．
【解析】
试题解析：如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=130m，BC=50m，
∴AC==120m，
∴tan∠BAC=.
故选C．
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
5. (2018浙江台州中考模拟)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从滑行至，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．(参考数据：，，)
【答案】280.
【解析】
试题分析：在RtΔABC中，sin34°=
∴AC=AB×sin34°=500×0.56=280米.
考点：解直角三角形的应用.[来源:Zxxk.Com]
6. 【2019年浙江省绍兴市中考数学模拟试卷(5月份)】如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物定点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°．已知BC=60 m，山坡的坡比为1∶2．
(1)求该建筑物的高度(即AB的长，结果保留根号)；
(2)求此人所在位置点P的铅直高度(即PD的长，结果保留根号)．
【解析】(1)过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，
又∵AB⊥BC于B，
∴四边形BEPF是矩形，
∴PE=BF，PF=BE，
∵在Rt△ABC中，BC=90米，∠ACB=60°，
∴AB=BC·tan60°=60(米)，
故建筑物的高度为60米．
(2)设PE=x米，则BF=PE=x米，
∵在Rt△PCE中，tan∠PCD=，
∴CE=2x，
∵在Rt△PAF中，∠APF=45°，
∴AF=AB-BF=60-x，
PF=BE=BC+CE=60+2x，
又∵AF=PF，
∴60-x=60+2x，
解得：x=20-20，
答：人所在的位置点P的铅直高度为(20-20)米．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，难度适中．
7. 为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)
【来源】安徽省2018年中考数学试题
【答案】旗杆AB高约18米.
答：旗杆AB高约18米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到是解题的关键
8. (2018青海西宁中考模拟)如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”.美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局.在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段上的两点分别对南岸的体育中心进行测量，分别没得米，求体育中心到湟水河北岸的距离约为多少米(精确到1米，)？
【答案】体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．
【解析】
试题分析：如图，过点D作DH⊥AC于点H．通过解直角△BHD得到sin60°=，由此求得DH的长度．
试题解析：过点D作DH⊥AC于点H．
∵∠HBD=∠DAC+∠BDA=60°，而∠DAC=30°，
∴∠BDA=∠DAC=30°，
∴AB=DB=200．
在直角△BHD中，sin60°=,∴DH=100≈100×1.732≈173．
答：体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．
考点：解直角三角形的应用．
9. (2018山东德州中考模拟)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9秒.已知∠B=30°，∠C=45°
(1)求B，C之间的距离；(保留根号)[来源:Z.xx.k.Com]
(2)如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由.(参考数据：,)
【答案】(1)(10+10)m；(2)超速.
【解析】
试题分析：(1)利用∠B=30°，∠C=45°，AD=10，求出BD=10,DC=10,从而得出BC=10+10
(2)利用,，求出BC27,再求出v=108千米/小时>80千米/小时，故超速。
试题解析：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AD=10m
∵在RtΔACD中，∠C=45°
∴RtΔACD是等腰直角三角形
∴CD=AD=10m
在RtΔABD中，tanB=
∵∠B=30°
∴
∴BD=10m
∴BC=BD+DC=(10+10)m
考点：三角函数的应用
10. ．图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框
上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点固定，当点在上左右运动时，与的长度不变(所有结果保留小数点后一位).
(1)若,求的长；
(2)当点C从点A向右运动60时，求点在此过程中运动的路径长.
(参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14)
图1 图2
【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题
【答案】(1)43.2cm. (2)62.8cm.
【解析】【分析】(1)如图，作OH⊥AB于H，在Rt△OBH中， 由cos∠OBC= ，求得BH的长，再根据AC=AB－2BH即可求得AC的长；
(2)由题意可知△OBC是等边三角形，由此即可求出弧OC的长，即点O在此过程中运动的路径长.
【详解】(1)如图，作OH⊥AB于H，
(2)∵AC=60，∴BC=60 ，
∵OC=OB=60，
∴OC=OB=BC=60 ，
∴△OBC是等边三角形，
∴的长==2 =62.8，
∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等，结合题意正确画出图形是解题的关键.
11. 2019•大庆)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．
(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：≈1.414，≈1.732)；
(2)确定C港在A港的什么方向．
【解析】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，
∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，
∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．
答：A、C两地之间的距离为14.1 km．
(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
【名师点睛】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键．
12. 【2019•河南】数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
(精确到1 m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，1.73)
【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55 m，
∴tan∠CAE，
∴AC82.1 m，
∵AB=21 m，∴BC=AC-AB=61.1 m，
在Rt△BCD中，tan60°，
∴CDBC≈1.73×61.1≈105.7 m，
∴DE=CD-EC=105.7-55≈51 m，
答：炎帝塑像DE的高度约为51 m．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．
13. 【2019•上海】图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置(如图2所示)．已知AD=90厘米，DE=30厘米，EC=40厘米．
(1)求点D′到BC的距离；
(2)求E、E′两点的距离．
【解析】(1)过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图，
由题意，得：AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′=∠BHD′=90°．
在Rt△AD′F中，D′F=AD′·sin∠DAD′=90×sin60°=45厘米．
又∵CE=40厘米，DE=30厘米，
∴FH=DC=DE+CE=70厘米，
∴D′H=D′F+FH=(4570)厘米．
答：点D′到BC的距离为(4570)厘米．
(2)连接AE，AE′，EE′，如图．
由题意，得：AE′=AE，∠EAE′=60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′=AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，AD=90厘米，DE=30厘米，
∴AE30厘米，
∴EE′=30厘米．
答：E、E′两点的距离是30厘米．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：(1)通过解直角三角形求出D′F的长度；(2)利用勾股定理求出AE的长度．
14. (2019•江苏宿迁•10分)宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．
(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．
(结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)
【分析】(1)作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；
(2)作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣CE′可得答案
【解答】解：(1)如图1，过点E作EM⊥CD于点M，
由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，
∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5(cm)，
则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5(cm)；
(2)如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，
由题意知E′H＝80×0.8＝64，
则E′C＝＝≈71，1，
∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9(cm)．
中考数学一轮复习讲义
考点三十七：解直角三角形的应用
聚焦考点☆温习理解
一、解直角三角形的应用常用知识
1. 仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角
2.坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα
坡度越大，α角越大，坡面________
3.方向角(或方位角)
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角
二、解直角三角形的应用可解决的问题
1.测量物体的高度；
2.测量河的宽度；学=科网
3.解决航海航空问题；
4.解决坡度问题；
5.解决实际生活中其它问题.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、解直角三角形的应用----测量物体的高度
【例1】(2019•河南)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
(精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73)
【答案】炎帝塑像DE的高度约为51m．
【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，
∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1(m)，
∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1(m)，
在Rt△BCD中，tan60°==，
∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7(m)，
∴DE=CD–EC=105.7–55≈51(m).
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．
【举一反三】
(2018新疆建设兵团中考模拟)如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度(结果保留根号)
【答案】乙建筑物的高度为30m；甲建筑物的高度为(30﹣30)m．
【解析】
试题分析：在Rt△BCD中可求得CD的长，即求得乙的高度，过A作F⊥CD于点F，在Rt△ADF中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度．学*科网
试题解析：如图，过A作AF⊥CD于点F，
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，
∵=tan∠DBC，
∴CD=BC•tan60°=30m，
∴乙建筑物的高度为30m；
在Rt△AFD中，∠DAF=45°，
∴DF=AF=BC=30m，
∴AB=CF=CD﹣DF=(30﹣30)m，
∴甲建筑物的高度为(30﹣30)m．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
考点典例二、解直角三角形的应用----测量河的宽度及距离
【例2】(2019•湖北省咸宁市•3分)如图所示，九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB(这段河流的两岸平行)，他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为 69 m(结果保留整数，≈1.73)．
【分析】在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，则∠DAC＝30°，所以DA＝DC＝80，在Rt△ABD中，通过三角函数关系求得AB的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴DA＝DC＝80，
在Rt△ABD中，
，
∴＝＝40≈69(米)，
故答案为69．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
【举一反三】
(2019·广西贺州·8分)如图，在A处的正东方向有一港口B．某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．求A，B间的距离．(≈1.73，≈1.4，结果保留一位小数)．
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，通过解直角三角形可求出BD，AD的长，将其相加即可求出AB的长．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，如图所示．
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝，cos∠BCD＝，
∴BD＝BC•sin∠BCD＝20×3×≈42，CD＝BC•cos∠BCD＝20×3×≈42；
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
∴AD＝CD•tan∠ACD＝42×≈72.7．
∴AB＝AD+BD＝72.7+42＝114.7．
∴A，B间的距离约为114.7海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形，求出BD，AD的长是解题的关键．
考点典例三、解直角三角形的应用----解决航海航空问题
【例3】(2019•新疆)如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．
(1)求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离(结果保留根号)；
(2)若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．
(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
【答案】(1)海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；(2)海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处．
【解析】(1)作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA=∠PCB=90°，
由题意得：PA=80，∠APC=45°，∠BPC=90°-30°=60°，
∴△APC是等腰直角三角形，∠B=30°，
∴AC=PC=PA=40．
答：海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40海里；
(2)海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，海轮不能在5小时内到达B处，理由如下：
∵∠PCB=90°，∠B=30°，∴BC=PC=40，
∴AB=AC+BC=40+40，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处所用的时间=≈5.15(小时)＞5小时，
∴海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，不能在5小时内到达B处．
【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
【举一反三】
(2018湖南长沙中考模拟)如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的
俯角为α其中tanα=2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．
①求点H到桥左端点P的距离；
②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．
【答案】①求点H到桥左端点P的距离为250米；②无人机的长度AB为5米．
【解析】
试题分析：①在Rt△AHP中，由tan∠APH=tanα=，即可解决问题；②设BC⊥HQ于C．在Rt△BCQ中，求出CQ==1500米，由PQ=1255米，可得CP=245米，再根据AB=HC=PH﹣PC计算即可；
试题解析：①在Rt△AHP中，∵AH=500，
由tan∠APH=tanα==2，可得PH=250米．
∴点H到桥左端点P的距离为250米．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
考点典例四、解直角三角形的应用----解决坡度问题
【例4】(2019•山东潍坊•6分)自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．(结果保留根号)
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得AE的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到ED的长，最后用勾股定理即可求得CD的长．
【解答】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1：，
∴tan∠ABE＝，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝100，
∵AC＝20，
∴CE＝80，
∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，
∴，
即，
解得，ED＝320，
∴CD＝＝米，
答：斜坡CD的长是米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
【举一反三】
(2017重庆A卷第11题)如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为( )(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)．
A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米
【答案】A.
【解析】
试题解析：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE=PQ=2，CQ=PE，
∵i=，
∴设CQ=4x、BQ=3x，
由BQ2+CQ2=BC2可得(4x)2+(3x)2=102，
解得：x=2或x=﹣2(舍)，
则CQ=PE=8，BQ=6，[来源:学.科.网]
∴DP=DE+PE=11，
在Rt△ADP中，∵AP=≈13.1，
∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，
故选A．
考点：解直角三角形的应用.
考点典例五、解直角三角形的应用----解决实际生活问题
【例5(2019•湖南常德•8分)图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)．
【考点】解直角三角形．
【分析】过B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，
∵AB＝25，DE＝50，
∴sin37°＝，cos37°＝，
∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，
∴BF＝50－15＝35，
∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，∴∠GBA＝53°，
∴∠CBF＝55°，∴∠BCF＝35°，
∵tan35°＝，∴CF≈＝50，
∴FE＝50+130＝180，∴GD＝FE＝180，
∴AD＝180﹣20＝160，
∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
【举一反三】
(2019•甘肃庆阳•8分)图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂AC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：取1.73)．
【分析】如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断．
【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．
∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，
∴四边形CEHF是矩形，
∴CE＝FH，
在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，
∴CE＝AC•sin60°＝34.6(cm)，
∴FH＝CE＝34.6(cm)
∵DH＝49.6cm，
∴DF＝DH﹣FH＝49.6﹣34.6＝15(cm)，
在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，
∴∠DCF＝30°，
∴此时台灯光线为最佳．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
课时作业☆能力提升
1.(2018广西百色中考模拟)如图，在距离铁轨200米处的处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，10秒钟后，动车车头到达处，恰好位于处西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )米/秒.
A． B． C. 200 D．300
【答案】A
【解析】
试题分析：作BD⊥AC于点D．
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，
∴AD=BD•tan∠ABD=200 (米)，
同理，CD=BD=200(米)．
则AC=200+200 (米)．
则平均速度是 =20(+1)米/秒．
故选A．
考点：1.解直角三角形的应用﹣方向角问题；2.勾股定理的应用．
2. (2018黑龙江哈尔滨中考模拟)某楼梯的侧面如图所示，已测得的长约为3.5米， 约为，则该楼梯的高度可表示为( )
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】
试题分析：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB= ，∴AB=BCsin∠ACB=3.5sin29°，
故选A．
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
3. (2018山东青岛中考模拟)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平底面处安置侧倾器得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为.已知侧倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为( )
(结果精确到0.1米，)
A．米 B．米 C.米 D．米
【答案】C．
【解析】
试题解析：过B作BF⊥CD于F，
∴AB=A′B′=CF=1.6米，
在Rt△DFB′中，B′F=，
在Rt△DFB中，BF=DF，
∵BB′=AA′=20，
∴BF﹣B′F=DF﹣=20，
∴DF≈34.1米，
∴CD=DF+CF=35.7米，
答：楼房CD的高度约为35.7米，
故选C．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
4. (2017甘肃兰州第3题)如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )
A. B. C. D.
【答案】C．
【解析】
试题解析：如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=130m，BC=50m，
∴AC==120m，
∴tan∠BAC=.
故选C．
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
5. (2018浙江台州中考模拟)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从滑行至，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．(参考数据：，，)
【答案】280.
【解析】
试题分析：在RtΔABC中，sin34°=
∴AC=AB×sin34°=500×0.56=280米.
考点：解直角三角形的应用.[来源:Zxxk.Com]
6. 【2019年浙江省绍兴市中考数学模拟试卷(5月份)】如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物定点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°．已知BC=60 m，山坡的坡比为1∶2．
(1)求该建筑物的高度(即AB的长，结果保留根号)；
(2)求此人所在位置点P的铅直高度(即PD的长，结果保留根号)．
【解析】(1)过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，
又∵AB⊥BC于B，
∴四边形BEPF是矩形，
∴PE=BF，PF=BE，
∵在Rt△ABC中，BC=90米，∠ACB=60°，
∴AB=BC·tan60°=60(米)，
故建筑物的高度为60米．
(2)设PE=x米，则BF=PE=x米，
∵在Rt△PCE中，tan∠PCD=，
∴CE=2x，
∵在Rt△PAF中，∠APF=45°，
∴AF=AB-BF=60-x，
PF=BE=BC+CE=60+2x，
又∵AF=PF，
∴60-x=60+2x，
解得：x=20-20，
答：人所在的位置点P的铅直高度为(20-20)米．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，难度适中．
7. 为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)
【来源】安徽省2018年中考数学试题
【答案】旗杆AB高约18米.
答：旗杆AB高约18米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到是解题的关键
8. (2018青海西宁中考模拟)如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”.美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局.在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段上的两点分别对南岸的体育中心进行测量，分别没得米，求体育中心到湟水河北岸的距离约为多少米(精确到1米，)？
【答案】体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．
【解析】
试题分析：如图，过点D作DH⊥AC于点H．通过解直角△BHD得到sin60°=，由此求得DH的长度．
试题解析：过点D作DH⊥AC于点H．
∵∠HBD=∠DAC+∠BDA=60°，而∠DAC=30°，
∴∠BDA=∠DAC=30°，
∴AB=DB=200．
在直角△BHD中，sin60°=,∴DH=100≈100×1.732≈173．
答：体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．
考点：解直角三角形的应用．
9. (2018山东德州中考模拟)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9秒.已知∠B=30°，∠C=45°
(1)求B，C之间的距离；(保留根号)[来源:Z.xx.k.Com]
(2)如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由.(参考数据：,)
【答案】(1)(10+10)m；(2)超速.
【解析】
试题分析：(1)利用∠B=30°，∠C=45°，AD=10，求出BD=10,DC=10,从而得出BC=10+10
(2)利用,，求出BC27,再求出v=108千米/小时>80千米/小时，故超速。
试题解析：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AD=10m
∵在RtΔACD中，∠C=45°
∴RtΔACD是等腰直角三角形
∴CD=AD=10m
在RtΔABD中，tanB=
∵∠B=30°
∴
∴BD=10m
∴BC=BD+DC=(10+10)m
考点：三角函数的应用
10. ．图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框
上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点固定，当点在上左右运动时，与的长度不变(所有结果保留小数点后一位).
(1)若,求的长；
(2)当点C从点A向右运动60时，求点在此过程中运动的路径长.
(参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14)
图1 图2
【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题
【答案】(1)43.2cm. (2)62.8cm.
【解析】【分析】(1)如图，作OH⊥AB于H，在Rt△OBH中， 由cos∠OBC= ，求得BH的长，再根据AC=AB－2BH即可求得AC的长；
(2)由题意可知△OBC是等边三角形，由此即可求出弧OC的长，即点O在此过程中运动的路径长.
【详解】(1)如图，作OH⊥AB于H，
(2)∵AC=60，∴BC=60 ，
∵OC=OB=60，
∴OC=OB=BC=60 ，
∴△OBC是等边三角形，
∴的长==2 =62.8，
∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等，结合题意正确画出图形是解题的关键.
11. 2019•大庆)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．
(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：≈1.414，≈1.732)；
(2)确定C港在A港的什么方向．
【解析】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，
∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，
∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．
答：A、C两地之间的距离为14.1 km．
(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
【名师点睛】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键．
12. 【2019•河南】数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
(精确到1 m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，1.73)
【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55 m，
∴tan∠CAE，
∴AC82.1 m，
∵AB=21 m，∴BC=AC-AB=61.1 m，
在Rt△BCD中，tan60°，
∴CDBC≈1.73×61.1≈105.7 m，
∴DE=CD-EC=105.7-55≈51 m，
答：炎帝塑像DE的高度约为51 m．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．
13. 【2019•上海】图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置(如图2所示)．已知AD=90厘米，DE=30厘米，EC=40厘米．
(1)求点D′到BC的距离；
(2)求E、E′两点的距离．
【解析】(1)过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图，
由题意，得：AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′=∠BHD′=90°．
在Rt△AD′F中，D′F=AD′·sin∠DAD′=90×sin60°=45厘米．
又∵CE=40厘米，DE=30厘米，
∴FH=DC=DE+CE=70厘米，
∴D′H=D′F+FH=(4570)厘米．
答：点D′到BC的距离为(4570)厘米．
(2)连接AE，AE′，EE′，如图．
由题意，得：AE′=AE，∠EAE′=60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′=AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，AD=90厘米，DE=30厘米，
∴AE30厘米，
∴EE′=30厘米．
答：E、E′两点的距离是30厘米．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：(1)通过解直角三角形求出D′F的长度；(2)利用勾股定理求出AE的长度．
14. (2019•江苏宿迁•10分)宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．
(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．
(结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)
【分析】(1)作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；
(2)作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣CE′可得答案
【解答】解：(1)如图1，过点E作EM⊥CD于点M，
由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，
∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5(cm)，
则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5(cm)；
(2)如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，
由题意知E′H＝80×0.8＝64，
则E′C＝＝≈71，1，
∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9(cm)．
相关学案
中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第03讲 整式及其运算（解析版）学案： 这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第03讲 整式及其运算（解析版）学案，共16页。学案主要包含了单项式，多项式，幂的运算，整式的乘除法.，整式的混合运算及求值等内容，欢迎下载使用。
中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第02讲 实数的计算（解析版）学案： 这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第02讲 实数的计算（解析版）学案，共13页。学案主要包含了实数的运算，非负数的性质，实数的大小比较等内容，欢迎下载使用。
中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第23讲 视图与投影（解析版）学案： 这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第23讲 视图与投影（解析版）学案，共14页。学案主要包含了辨别立体图形的三种视图，利用三视图求几何体的面积，由三视图确定物体的形状，由视图确定立方体的个数，利用三视图求几何体的体积等内容，欢迎下载使用。
