中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第36讲 锐角三角函数 解直角三角形（原卷版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点三十六：锐角三角函数 解直角三角形

聚焦考点☆温习理解

一、锐角三角函数的定义

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b

正弦：sinA＝＝

余弦：cosA＝＝

余切：tanA＝＝

二、特殊角的三角函数值

三、解直角三角形

解直角三角形的常用关系

在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：

(1)三边关系：a2＋b2＝c2；

(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；

(3)边与角关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝；

(4)sin2A＋cos2A＝1

四、解直角三角形的应用常用知识

1. 仰角和俯角：

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角

2.坡度和坡角

坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα

坡度越大，α角越大，坡面________

3.方向角(或方位角)

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角

名师点睛☆典例分类

考点典例一、锐角三角函数的定义

【例1】(2019•杭州)在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=__________．

【举一反三】

1. 如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为(　　)

A.     B.     C.     D.

2.(2018江苏扬州中考模拟)在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于　   　．

考点典例二、特殊角的三角函数值

【例2】(2019•甘肃)在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则cosB=__________．

【举一反三】

1. 的值等于(  )

A.     B.     C. 1    D.

2. (甘肃省兰州市第36中学2018年九年级数学中考模拟)在△ABC中，(tanA﹣)2+|﹣cosB|=0，则∠C的度数为(　　)

A. 30°    B. 45°    C. 60°    D. 75°

考点典例三、解直角三角形

【例3】(2019湖北荆门)(10分)已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．

(1)求证：＝2R；

(2)若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．

【举一反三】

(2018•徐汇区一模)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，sinC=，点G是△ABC的重心，线段BG的延长线交边AC于点D，求∠CBD的余弦值．

考点典例四、解直角三角形的实际运用

【例4】(2019•江西)图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．(结果精确到0.1)．

(1)如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．

①填空：∠BAO=__________．

②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．

(2)如图3，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．

(参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60)

【举一反三】

为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)

课时作业☆能力提升

1. (浙江省宁波市李兴贵中学2018届九年级上册期末)在△ABC中，∠C=90°，sinA=， 则tanA的值为(　　)

A.                B.                     C.                      D.

2. (2019•广东省广州市•3分)如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为(　　)

A．75m B．50m C．30m D．12m

3. 如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为(    )

(参考数据：，，)

A. 12.6米    B. 13.1米    C. 14.7米    D. 16.3米

4. (2019湖北宜昌3分)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为(　　)

A． B． C． D．

【答案】D．

【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，

∴AC＝＝＝5．

∴sin∠BAC＝＝．

故选：D．

5. (2018浙江温州中考模拟)如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为(　　)(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)．

A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米

6. (2018湖北黄冈中考模拟)如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平底面处安置侧倾器得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为.已知侧倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为(    )

(结果精确到0.1米，)

A．米        B．米      C.米      D．米

7. 在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______．

8. (2019•浙江湖州•4分)有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　120　cm．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．)

9. 某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高(结果保留根号)

10. 图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框

上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点固定，当点在上左右运动时，与的长度不变(所有结果保留小数点后一位).

    (1)若,求的长；

    (2)当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长.

 (参考数据：sin50°≈0.77,  cos50°≈0.64,  tan50°≈1.19,  π取3.14)

图1                           图2

11. 如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是米，坡面的倾斜角，在距点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数).

(参考数据：，)

12.随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图，，两地被大山阻隔，由地到地需要绕行地，若打通穿山隧道，建成，两地的直达高铁，可以缩短从地到地的路程.已知：，，公里，求隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程将约缩短多少公里？(参考数据：，)

13. 如图,两座建筑物的水平距离为.从点测得点的仰角为53° ,从点测得点的俯角为37° ,求两座建筑物的高度(参考数据:

14.(2019山东淄博)如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D(不与点A，C重合)处，折痕是EF．

如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；

如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；

如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；……

依此类推，当CD＝AC(n为正整数)时，tanαn＝　   　．

15. 如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨安装在窗框上，托悬臂安装在窗扇上，交点处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点，，始终在一直线上，延长交于点.已知，，.

(1)窗扇完全打开，张角，求此时窗扇与窗框的夹角的度数.

(2)窗扇部分打开，张角，求此时点，之间的距离(精确到).

(参考数据：，)