2022年安徽省蚌埠市高考数学第三次质检试卷（文科）（三模）（含答案解析）

2022年安徽省蚌埠市高考数学第三次质检试卷（文科）（三模）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知命题p：，，则为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 非零复数z满足，则复平面上表示复数z的点位于

A. 实轴 B. 虚轴
C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限

4. 已知定义域为R的偶函数满足，，则

A.  B.  C. 1 D.

5. 已知函数的图象如图所示，则的值为
    

A. 2 B. 1 C.  D.

6. 2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中错误的是
    

A. 2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比低于交通通信占比
B. 2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降
C. 年全国居民人均可支配收入逐年递增
D. 2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过

7. 已知平面，满足，，过平面和外的一点P作直线，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 若数列满足，且，则

A. 7 B. 10 C. 19 D. 22

9. 如图，扇形OAB中，，，将扇形绕OB所在直线旋转一周所得几何体的表面积为

A.  B.  C.  D.

10. 已知双曲线C：，点F是C的左焦点，若点P为C右支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

11. 如图，在梯形ABCD中，且，点E为线段BC的靠近点C的一个四等分点，点F为线段AD的中点，AE与BF交于点O，且，则的值为

A. 1 B.  C.  D.

12. 设，，则

A.  B.
C.  D.

13. 已知角的终边过点，且，则______.
14. 设等差数列的前n项和为，已知，，则______.
15. 已知椭圆的离心率为，直线l与椭圆交于A，B两点，当AB的中点为时，直线l的方程为______.
16. 若，则值为______.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，已知
    求B；
    若，，求
    
    
    
    
    
    
     
18. 《九章算术》记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形其中最多只有一个平行四边形、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除ABCDEF中，ABCD是边长为1的正方形，且，均为正三角形，棱EF平行于平面ABCD，
    求证：；
    求三棱锥的体积．

19. 为提升青少年的阅读兴趣、养成阅读习惯、提高阅读能力，不断增强思想道德素质和科学文化素质，从2021年秋季开始，我市中小学幼儿园实施“大阅读工程”．某学校有小学生600人，初中生400人，为了解全校学生的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生的阅读登记册对11月和12月按60天计算的阅读时间进行统计调查．将样本中的“小学生”和“初中生”按学生的课外阅读时间单位：小时各分为5组：得其频率分布直方图如图所示．
    活动规定：小学生平均每人每天课外阅读时间不少于半小时，若该校小学生课外阅读的平均时间低于规定时间，则学校应适当增设阅读课．根据以上抽样调查数据同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，该校是否需要在小学部增设阅读课？
    从课外阅读时间不足10个小时的样本中随机抽取3人，求其中至少有2名小学生的概率．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数
    求函数在处的切线方程；
    若，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知抛物线C：的焦点为F，点O为坐标原点，直线l过点F与抛物线C相交于A，B两点点A位于第一象限
    求证：为定值；
    过点B作OA的平行线与抛物线C相交于另一点P，求点P横坐标的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，曲线C上有一动点
    若点不是极点的极角，点Q的极坐标为，求；
    设点M为曲线C1：上一动点，若的最小值为2，求d的值．
    
    
    
    
    
    
     

已知函数
若函数在上单调递增，求实数t的取值范围；
若，求函数的最小值．







答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：，
，
则，
故选：
解不等式求出B，求出A，B的交集即可．
本题考查了集合的运算，是基础题．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：命题p：，，
则为：，，
故选：
直接写出特称命题的否定得答案．
本题考查特称命题的否定，是基础题．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：设且，
由，得，
，
为非零复数，复平面上表示复数z的点位于第一或第三象限．
故选：
设且，代入，结合复数相等的条件可得，则答案可求．
本题考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：是R上的偶函数，
又，
，
即，
所以为周期函数且周期，
所以
故选：
由可得，再由即可．
本题考查了函数的奇偶性及周期性，属于基础题．
 

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查由的部分图象确定其解析式，理解三角函数图象的特征是解题的关键，属于中档题．
由点在函数的图象上可求，结合范围，可得，又点在函数的图象上，有，可得，或，，从而解得的值．

【解答】

解：点在函数的图象上，即有，
，
，
可得：，
又点在函数的图象上，即有，
，可得，或，，
解得，或，，
则当时，的值为
故选：

6.【答案】B
 

【解析】解：由饼形图知，2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比低于交通通信占比，故选项A正确；
由柱状图知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年上升，故选项B错误；
由柱状图知，年全国居民人均可支配收入逐年递增，故选项C正确；
由饼形图知，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过，故选项D正确；
故选：
由柱状图及饼形图对4个选项依次判断即可．
本题考查了数据分析的具体应用，属于基础题．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：充分性：若，由，则在平面内，必存在与直线m平行的直线，
由面面垂直的性质可知，，
又，所以，充分性成立；
必要性：若，由，，在平面内，必存在直线，
根据面面垂直的性质可知，，所以可知，
又因为m在平面外，，由线面平行判断定理知，，
必要性成立．
故选：
利用面面垂直的性质，结合充分必要条件的定义进行判断
本题考查充要条件的判断，涉及空间直线与平面的位置关系，属基础题．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：由，且得，，，
故选：
由，且依次计算即可得到值．
本题考查数列递推公式应用，考查数学运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：将扇形绕OB所在直线旋转一周所得几何体如图，

该几何体为半球，半球的半径为1，
则该几何体的表面积为
故选：
由题意画出图形，再由圆的面积公式及球的表面积公式求解．
本题考查旋转体表面积的求法，是基础题．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：由双曲线C：，可得，，可得，，，
点P是C的右支上动点，过点P向C的一条渐近线作垂线，垂足为H，
设为双曲线的右焦点，为到渐近线的距离，
，可得：，可得

故选：
过点P向C的一条渐近线作垂线，垂足为H，利用双曲线的定义与性质，转化求解的最小值即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的线性运算，向量的共线，考查运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用向量共线的应用和向量的线性运算建立方程组，进一步求出x和y的值．

【解答】

解：根据向量的线性运算，


，
由于B、O、F三点共线，
所以，整理得；
又由；
由于A、O、E三点共线，
所以，整理得；
故，解得，
所以
故选：

12.【答案】D
 

【解析】解：由，
，
可得，，
故，
即，
，即，
又时，，
，故，
综上
故选：
先判断x，y的范围，利用和，判断出，，再结合正切函数判断出，即可求解．
本题考查了对数的运算，不等式的性质，是中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：因为角的终边过点，且，
所以，，
解得，
则
故答案为：
由已知利用诱导公式，任意角的三角函数的定义可求，，进而解得a的值，利用任意角的三角函数的定义即可求解的值．
本题考查了诱导公式，任意角的三角函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】48
 

【解析】解：因为等差数列中，，，
所以，
解得，，
则
故答案为：48
由已知结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：椭圆的离心率为，可知椭圆方程为：，
设过AB的中点为的直线方程为：，
直线方程代入椭圆方程，可得：，
因为是AB的中点，
所以：，解得
所求直线方程为：
故答案为：
利用椭圆的离心率，化简椭圆方程，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，求解直线的斜率，得到直线方程即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 

16.【答案】2022
 

【解析】解：与的图象关于对称，的图象关于对称，
因为，所以，，
所以，可看作，与的交点的横坐标，
设，，则A，B关于对称，
所以
故答案为：
由已知可得，，然后结合函数图象的对称性求解．
本题主要考查了函数图象的对称性的应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：由正弦定理及，知，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以
因为，所以，
由余弦定理知，，
所以
 

【解析】利用正弦定理化边为角，再结合诱导公式与两角和的正弦公式，推出，得解；
由，求得，再利用余弦定理，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：延长AB到M点，使，连接CM，FM，

平面ABCD，面AMF，平面平面，
，
，
四边形AMFE是平行四边形，

在中，，，
，
，即

解：取AD，BC中点为M，N，过M作，连接EM，MN如下所示：

因为，故E，F，M，N四点共面，
又因为ABCD为正方形，故，又为等边三角形，故，
又EM，面EFMN，，则面EFNM，又面EFNM，
故，又，，故，
又AD，面ABCD，，故面ABCD，
又面ABCD，故点E到面ABCD的距离为HM，
又，，
故
 

【解析】延长AB，在平面EFBA中构造与EA平行的直线FM，再在中利用勾股定理证明线线垂直；
构造平面ABCD的垂直，利用等体积法即可求得三棱锥的体积．
本题主要考查锥体体积的计算，空间中的垂直关系等知识，属于中等题．
 

19.【答案】解：由频率分布直方图可得，小学生的阅读时间在内的频率为，
故样本中，小学生阅读时间的平均数为，
故按活动规定，该校需要在小学部增设阅读课．
学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生的阅读登记册对11月和12月按60天计算的阅读时间进行统计调查，
其中小学生占人，初中生占人，
小学生课外阅读时间不足10小时的人数为人，
初中生课外阅读时间不足10小时的人数为人，
记小学生3人为，，，初中生2人为，，
从这5人中随机抽取3人一共有10种，分别为，，，，，
，，，，，
其中至少2名小学生包括7种情况，
故所求事件的概率为
 

【解析】根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，以及平均数的公式，即可求解．
根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查频率分布直方图的应用，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：的定义域为，，则，，
故切线方程为，
即，
故函数在处的切线方程为：；
因为恒成立，其中，
所以，
记，
则，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
，
则实数a的取值范围为：
 

【解析】根据切点和斜率求得切线方程．
由分离常数a，通过构造函数法，结合导数来求得a的取值范围．
本题考查了导数的几何意义及恒成交问题，关键点是分离常数，将问题转化为，然后求函数的最小值，属于中档题．
 

21.【答案】解：证明：设直线l方程为，，，
联立直线l与抛物线C的方程，
消去x，得，
故，又，
所以
设直线OA的方程为，由点A在第一象限知，，
而，则直线OB的方程为，
联立方程，得点，同理可得点，
设直线BP的方程为，
联立方程，得，
该方程有一解为，故另一解为，
所以点，
，当且仅当时等号成立，
所以点P横坐标的取值范围为
 

【解析】设直线l方程为，，，与抛物线方程联立，由韦达定理得，，从而得到
设直线OA的方程为，由点A在第一象限知，，可得直线OB的方程，分别与抛物线方程组成方程可得点A，B坐标，进而得直线BP方程，可求点P坐标，可得点P横坐标的取值范围．
本题考查抛物线方程的几何性质的应用，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：曲线C的极坐标方程为，当时，；
所以点；
故，
所以；
曲线：，根据，转换为直角坐标方程为；
曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；
利用圆心到直线的距离，
由于的最小正值为2，即，
解得；
由于，
所以
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：若，则对任意，都有，
此时函数在上单调递增，满足条件；
若，则时，，
此时函数在上单调递减，不满足条件．
综上，实数t的取值范围为；
由，得
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
综上可知，当时，函数取得最小值，最小值为
故函数的最小值为
 

【解析】分和去绝对值，然后判断函数的单调性得答案；
当时，对x分段写出函数解析式，由函数的单调性写出函数的值域，取并集的答案．
本题考查函数的最值及其几何意义，正确分段是关键，考查运算求解能力，是中档题．