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2022年河南省新乡市高考数学三模试卷（文科）（含答案解析）

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这是一份2022年河南省新乡市高考数学三模试卷（文科）（含答案解析），共16页。试卷主要包含了【答案】B，【答案】A，【答案】C等内容，欢迎下载使用。

2022年河南省新乡市高考数学三模试卷（文科）

已知集合，，则

A. B. C. D.

已知，则z在复平面内对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

某市为推进“垃圾分类”这项工作的实施，开展了“垃圾分类进校园”的活动．现对该市某学校高二年级示范班级学生进行考核，从该班男生、女生中各随机选出5名进行考核打分，满分为100分，评分后得到该班男生、女生得分的茎叶图如图所示，则该班男生、女生得分的方差分别为

A. 8；6 B. 6；8 C. 64；36 D. 36；64

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则

A. 1 B. C. 2 D.

若函数的图象在点处的切线方程为，则

A. 1 B. C. 0 D. 2

已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正三角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为

A. B. C. D.

已知双曲线的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线C的离心率为

A. B. 2 C. D. 3

执行如图所示的程序框图，则输出的

A. 2
B. 1
C.
D.

已知为锐角，且，则

A. B. C. D.

中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1000的基础上，将带宽W增大到原来的2倍，信号功率S增大到原来的10倍，噪声功率N减小到原来的，则信息传递速度C大约增加了参考数据：

A. B. C. D.

已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

如图所示的是一个简单几何体的三视图，若，则该几何体外接球体积的最小值为

A. B. C. D.

设x，y满足约束条件则的最大值为______.
已知，，，则在方向上的投影为______.
已知函数，若对任意的恒成立，且在上单调递减，则______.
黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式如下：，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，当时，，则______.
第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会于2022年2月4日开幕，北京也就此成为全球唯一一座既举办过夏季奥运会又举办冬季奥运会的城市．为做好本次奥运会的服务工作，需从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素质考核，根据学生考核成绩分为A，B，C，D四个等级，最终的考核情况如表：

等级	A	B	C	D
人数	10	30	40	20

将频率视为概率，从报名的100名学生中随机抽取1名，求其成绩等级为A的概率；
从报名的100名学生中，根据考核情况利用分层抽样法抽取10名学生，再从这10名学生中选取2人进行座谈会，求这2人成绩等级相同的概率．

已知数列的前n项和为，且
证明：为等比数列；
若，求数列的前n项和
如图，在四棱锥中，，，，，，
证明：平面ABCD；
若M为PD的中点，求P到平面MAC的距离．

已知椭圆C：的离心率，且椭圆C经过点
求椭圆C的方程．
不过点P的直线l：与椭圆C交于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为，，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
已知函数
讨论的单调性；
若函数有两个零点，，且，证明：
在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
写出的普通方程和的直角坐标方程；
若曲线与曲线交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．

已知函数
求不等式的解集；
若的最小值为，证明：

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合，，

故选：
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】C

【解析】解：，
故z在复平面内对应的点是，在第三象限，
故选：
化简z，求出z在复平面内对应的点的坐标，求出答案即可．
本题考查了复数的运算，考查转化思想，是基础题．

3.【答案】A

【解析】解：由茎叶图可知，男生成绩的平均分为，女生成绩的平均分为，
男生得分的方差为，
女生得分的方差为，
故选：
先根据茎叶图求出该班男生、女生得分的平均值，再利用方差公式求解．
本题主要考查了方差公式，属于基础题．

4.【答案】C

【解析】解：因为，所以，
所以，所以
因为，所以
故选：
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化解可求．
本题主要考查了正弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．

5.【答案】A

【解析】解：由题意可知曲线在出切线方程的斜率为k，
求导得：，所以，
切线方程为，
把代入切线方程得，
代入得：
故选：
求出函数的导函数，把代入导函数求出的导函数值即为切线方程的斜率，而切线方程的斜率为1，可得切点坐标，然后把切点坐标代入函数方差，即可求出a的值．
此题考查利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，切线方程的应用，是中档题．

6.【答案】C

【解析】解：设正方形与正三角形的边长为2，
则圆柱的体积为，
圆锥的体积为，
所以圆柱的体积与圆锥的体积的比值为
故选：
设正方形与正三角形的边长为2，则可求出圆柱和圆锥的体积，从而可求得答案．
本题主要考查柱体体积的计算，锥体体积的计算等知识，属于基础题．

7.【答案】B

【解析】解：双曲线的一个顶点到渐近线的距离为实轴长的，
，
，可得，
，
，
故选：
由已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．
本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程．

8.【答案】A

【解析】解：模拟执行程序的运行过程知，
，；，；，；
，；，
，；
此时不满足循环条件，则输出的
故选：
模拟执行程序的运行过程知，S的值是以3为循环节的，由此求出不满足循环条件时输出的S值．
本题考查了程序的运行问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．

9.【答案】C

【解析】解：因为为锐角，且，
所以，整理可得，解得，或舍去，
则
故选：
利用两角差的正切公式化简已知等式可得，解方程可求的值，进而根据二倍角的正切公式即可求解．
本题考查了两角差的正切公式，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．

10.【答案】D

【解析】解：提升前的信息传递速度，
提升前的信息传递速度，
所以信息传递速度C大约增加了，
故选：
先求出提升前的信息传递速度，然后求得提升后的信息传递速度，由此求得正确答案．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．

11.【答案】C

【解析】解：圆：的圆心为，半径为2，
过点C作抛物线准线的垂线，垂足为N，如图所示：
由抛物线的定义可知：，
当P、A、N经过圆C的圆心时，取得最小值，
圆心，半径为2，
最小值为：
故选：
根据题意画出图形，结合图形利用抛物线的定义与性质，转化求解最小值问题．
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用及数学转化思想，是中档题．

12.【答案】D

【解析】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为三棱锥，其外接球即为长方体的外接球，球心为PA的中点，半径，
则，当且仅当时等号成立．
该几何体外接球体积的最小值为
故选：
由题意还原原几何体，然后利用分割补形法及基本不等式求出外接球的最小半径，代入球的体积公式得答案．
本题考查空间几何体的三视图，考查多面体外接球体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．

13.【答案】16

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，
z有最大值为
故答案为：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．

14.【答案】

【解析】解：，，，，
，
在方向上的投影为：
故答案为：
根据条件可求出，根据投影的计算公式求解即可．
本题考查了向量加法、减法、数乘和数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

15.【答案】1

【解析】解：，
因为对任意的恒成立，
所以，
所以，，解得，，①
因为在上单调递减，
所以，可得，
又，
所以得：，②
所以由①②可得：
故答案为：
先化简函数，根据对任意的恒成立，得到，再根据在上单调递减，由即可求解．
本题考查了两角和的正弦公式，正弦函数的性质的应用，考查了计算能力和函数思想，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：根据题意，对任意x都有，则有，
又由函数是定义在R上的奇函数，则有，
故，即函数是周期为4的周期函数，
则有，，故，
则，
，
故，
故答案为：
根据题意，先分析函数的周期，结合奇偶性可得的值，进而可得的值，即可得答案．
本题考查分段函数的求值，涉及函数的奇偶性和周期性的应用，属于中档题．

17.【答案】解：由题知，任意抽取1人，抽到的学生成绩等级为A的概率为
由题知，抽取的10名学生中成绩为A，B，C，D等级的人数分别为1，3，4，2，
记这10人分别为A，，，，，，，，，，
从中抽取2人的样本空间为：
，共45个样本点，
其中成绩同等级的样本点有，，，，，，，，，，共10个，
所以这2人成绩等级相同的概率为

【解析】任意抽取1人，利用等可能事件概率计算公式能求出抽到的学生成绩等级为A的概率；
由题知，抽取的10名学生中成绩为A，B，C，D等级的人数分别为1，3，4，2，记这10人分别为A，，，，，，，，，，从中抽取2人，利用列举法能求出这2人成绩等级相同的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18.【答案】证明：因为，所以当时，；
当时，，
所以，所以
即是首项为1，公比为3的等比数列．
解：由知是首项为1，公比为3的等比数列．
故
，
所以

【解析】利用数列的递推关系式推出即可得到结论．
化简通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

19.【答案】证明：由题可知为等边三角形，
所以，，在中，由余弦定理得，
所以，所以
因为，且，所以平面
因为平面PAC，所以
因为，且AB，CD相交，
所以平面

解：因为，，，
所以的面积为
因为M为PD的中点，，，
所以三棱锥的高为1，
所以三棱锥的体积为
在中，，，
所以的面积为
记D到平面MAC的距离为d，
则，所以
因为P到平面MAC的距离与D到平面MAC的距离相等，
所以P到平面MAC的距离为

【解析】推导出，，从而平面PAC，，再由，能证明平面
求出的面积和三棱锥的高，从而求出三棱锥的体积，求出的面积和D到平面MAC的距离，P到平面MAC的距离与D到平面MAC的距离相等，由此能求出P到平面MAC的距离．
本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.【答案】解：因为，所以，所以
因为椭圆C过，所以，
所以，，故椭圆C的标准方程为
因为直线l不过，且直线PA，PB的斜率存在，所以且
设，，
联立方程组得，
则，
由，得且
因为，
所以，
即为定值，且

【解析】根据已知条件求得，，由此求得椭圆C的方程．
联立直线l的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，从而计算出为定值．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定点定值问题等知识，属于中等题．

21.【答案】解：函数的定义域为，
①当时，令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增．
②当时，令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：因为，为的两个零点，所以，，
两式相减，可得，即，，
因此，，
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，所以，即
因为，所以，故得证．

【解析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a的正负进行分类讨论可求；
结合函数零点定义代入已知函数中，把所证式子左边变形后，构造函数，结合导数可证．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．

22.【答案】解：因为曲线的参数方程为为参数，
所以曲线的普通方程为
因为曲线的极坐标方程为，
所以曲线的直角坐标方程为
设，，联立方程组得，
则，
因为，
所以AB的中点坐标为，
所以以AB为直径的圆的直角坐标方程为，
故以AB为直径的圆的极坐标方程为

【解析】曲线的参数方程消去参数推出曲线的普通方程．利用极坐标与普通坐标的互化，求解曲线的极坐标方程化为曲线的直角坐标方程．
设，，联立方程组利用韦达定理推出AB的中点坐标求解弦长，即可推出以AB为直径的圆的直角坐标方程，转化为极坐标方程．
本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．