2022年安徽省蚌埠市高考数学第三次质检试卷（理科）（三模）（含答案解析）

2022年安徽省蚌埠市高考数学第三次质检试卷（理科）（三模）

1. 已知命题p：，，则为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2. 非零复数z满足，则复平面上表示复数z的点位于

A. 实轴 B. 虚轴
C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限

3. 设集合，则M的子集个数为

A. 8 B. 16 C. 32 D. 64

4. 已知函数的图象如图所示，则的值为
    

A. 2 B. 1 C.  D.

5. 2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中错误的是
    

A. 年全国居民人均可支配收入逐年递增
B. 2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比低于交通通信占比
C. 2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降
D. 2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过

6. 已知，则的值为

A. 3 B.  C.  D.

7. 如图，扇形OAB中，，，将扇形绕OB所在直线旋转一周所得几何体的表面积为

A.  B.  C.  D.

8. 若数列满足：，且，则

A. 19 B. 22 C. 43 D. 46

9. 双曲线C：的离心率为，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

10. 如图，在梯形ABCD中，且，点E为线段BC的靠近点C的一个四等分点，点F为线段AD的中点，AE与BF交于点O，且，则的值为

A. 1 B.  C.  D.

11. 设，，则

A.  B.
C.  D.

12. 已知函数，，它们的零点分别为，，给出以下结论：
    ①；
    ②；
    ③；
    ④
    其中正确的是

A. ①④ B. ①②③ C. ②③④ D. ③④

13. 设等差数列的前n项和为，已知，，则______.
14. 设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则C的焦点到其准线的距离为______.
15. 的展开式中的系数为______.
16. 如图，四边形ABCD为矩形，，E，F分别为AD，BC的中点，将沿BE折起，点A折起后记为点P，将沿DF折起，点C折起后记为点Q，得到如图几何体，则P，Q两点间的最短距离为______.
    .

17. 蚌埠市某路口用停车信号管理，在某日9：00后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下以秒作单位：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41，记，2，3，…，15，表示第k辆车到达路口的时间，表示第k辆车在路口的等待时间，且，，，2，3，…14，记，M表示a，b中的较大者．
    从这15辆车中任取3辆，求这3辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；
    记这15辆车在路口等待时间的平均值为，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求的分布列和数学期望．
    
    
    
    
    
    
     
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D在边BC上，满足，且
    求证：；
    求角
    
    
    
    
    
    
     
19. 《九章算术》记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形其中最多只有一个平行四边形、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除ABCDEF中，ABCD是边长为1的正方形，且，均为正三角形，棱EF平行于平面ABCD，
    求证：；
    求二面角的大小．

20. 已知函数
    求函数在处的切线方程；
    若，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，椭圆E：内切于矩形ABCD，其中AB，CD与x轴平行，直线AC，BD的斜率之积为，椭圆的焦距为
    求椭圆E的标准方程；
    椭圆上的点P，Q满足直线OP，OQ的斜率之积为，其中O为坐标原点．若M为线段PQ的中点，则是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．

22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，曲线C上有一动点
    若点不是极点的极角，点Q的极坐标为，求；
    设点M为曲线C1：上一动点，若的最小值为2，求d的值．
    
    
    
    
    
    
     

已知函数
若函数在上单调递增，求实数t的取值范围；
若，求函数的最小值．







答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：命题p：，，
则为：，，
故选：
直接写出特称命题的否定得答案．
本题考查特称命题的否定，是基础题．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：设且，
由，得，
，
为非零复数，复平面上表示复数z的点位于第一或第三象限．
故选：
设且，代入，结合复数相等的条件可得，则答案可求．
本题考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：因为，由，故集合M有3个元素，故其子集个数为个．
故选：
根据组合数的性质，先求得集合M中的元素个数，再求其子集个数即可．
本题考查了集合中子集个数的计算，属于基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查由的部分图象确定其解析式，理解三角函数图象的特征是解题的关键，属于中档题．
由点在函数的图象上可求，结合范围，可得，又点在函数的图象上，有，可得，或，，从而解得的值．

【解答】

解：点在函数的图象上，即有，
，
，
可得：，
又点在函数的图象上，即有，
，可得，或，，
解得，或，，
则当时，的值为
故选：

5.【答案】C
 

【解析】解：由柱状图知，年全国居民人均可支配收入逐年递增，故选项A正确；
由饼形图知，2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比低于交通通信占比，故选项B正确；
由柱状图知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年上升，故选项C错误；
由饼形图知，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过，故选项D正确；
故选：
由柱状图及饼形图对4个选项依次判断即可．
本题考查了数据分析的具体应用，属于基础题．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：，
故选：
利用三角函数的诱导公式变形，再化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：将扇形绕OB所在直线旋转一周所得几何体如图，

该几何体为半球，半球的半径为1，
则该几何体的表面积为
故选：
由题意画出图形，再由圆的面积公式及球的表面积公式求解．
本题考查旋转体表面积的求法，是基础题．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：由题意，，，
，，，，
故选：
根据题意，由求出，进一步求出，，，，，即可．
本题考查数列的递推公式，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：由已知可得，，解得，
则双曲线方程为，，
双曲线的渐近线方程为，设双曲线的上焦点为，
由双曲线的定义得：，则，
到直线的距离为，

即的最小值为
故选：
由已知求得a，可得双曲线的焦点坐标及渐近线方程，结合双曲线的定义及三角形中两边之和大于第三边求解．
本题考查双曲线的几何性质，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的线性运算，向量的共线，考查运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用向量共线的应用和向量的线性运算建立方程组，进一步求出x和y的值．

【解答】

解：根据向量的线性运算，


，
由于B、O、F三点共线，
所以，整理得；
又由；
由于A、O、E三点共线，
所以，整理得；
故，解得，
所以
故选：

11.【答案】D
 

【解析】解：由，
，
可得，，
故，
即，
，即，
又时，，
，故，
综上
故选：
先判断x，y的范围，利用和，判断出，，再结合正切函数判断出，即可求解．
本题考查了对数的运算，不等式的性质，是中档题．
 

12.【答案】B
 

【解析】解：①
所以在上单调递减，
所以存在且唯一，
由题意得：
所以，
所以，
所以，
设，
则，
所以，
方程在上有唯一解：
即，所以，
故①正确；
②由①得：
，
当且仅当时，等号成立，
显然，
所以，
所以，
故②正确；
③，
所以在上单调递减，
所以存在且唯一，
，
，，
所以，
又，
所以，
故③正确；
④，
所以，
与结论②矛盾，
故④错误．
故选：
①求导后利用单调性即可判断；②利用①再根据基本不等式判断即可；③根据导数的单调性判断；④利用与②矛盾即可判断．
本题考查了函数单调性和基本不等式的应用，属于中档题．
 

13.【答案】48
 

【解析】解：因为等差数列中，，，
所以，
解得，，
则
故答案为：48
由已知结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】2
 

【解析】解：抛物线C方程为，
焦点，准线方程为，
设，由抛物线性质，可得，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，
由已知圆半径也为1，据此可知该圆与y轴相切于点，
故圆心纵坐标为1，则M点纵坐标为2，
即，代入抛物线方程得，所以，
则C的焦点到准线距离为2，
故答案为：
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义结合中点坐标公式，推出圆和轴相切，求出，代入抛物线方程，求出p，再得C的焦点到准线的距离．
本题考查了抛物线的性质，考查了方程，属于中档题．
 

15.【答案】330
 

【解析】解：的展开式中可由1个，1个3x，3个1相乘得到，
即，
也可由3个3x，2个1相乘得到，
即，
故的展开式中的系数为，
故答案为：
由排列组合数公式，结合二项式定理求得．
本题考查了排列组合的应用及二项式定理的应用，属于基础题．
 

16.【答案】1
 

【解析】解：如图，分别取BE，DF中点G，H，连接PG，GF，EH，QH，

折叠过程中，P始终在过GF与BE垂直的平面内点轨迹是以G为圆心，AG为半径的半圆，
Q点始终在过EH与DF垂直的平面内点轨迹是以H为圆心，为半径的半圆，
当平面PGF时，P，Q两点间的距离最短，等于GF与EH间距离
故答案为：
确定折叠过程中P，Q的位置及其中的不变量或轨迹，利用PQ与平面的关系得最小值．
本题考查点，线，面之间的距离公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：这15辆车到达路口的时间有15秒以内的有5辆，
记“3辆车到达路口的时间均在15秒以内”为事件A，
则，
从这15辆车中任取3辆，这3辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；
这15辆车有路口等人待的时间分别为：
0，0，0，0，0，0，0，1，1，1，2，2，2，3，3，
记这15辆车在路口等待时间的平均值为，
则，
，的可能取值为，0，1，2，
，，，，
的分布列为：

【解析】这15辆车到达路口的时间有15秒以内的有5辆，利用古典概型、排列组合能求出从这15辆车中任取3辆，这3辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；
求出这15辆车在路口等待时间的平均值为，从而的可能取值为，0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和
本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：因为，所以，，
在中，由正弦定理知，，
在中，由正弦定理知，，
因为，
所以，即，
又，所以，代入上式，可得

解：由余弦定理知，，即①，
因为，
所以，即，
化简可得②，
由①②可得，，即，
所以为等腰三角形，
因为，所以
 

【解析】本题考查解三角形在几何中的应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理，平面向量的线性运算和数量积运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
在和中，均利用正弦定理，表示出和，并代入已知条件，化简运算，即可得证；
由余弦定理可得①，由，结合平面向量的运算，可推出，将其两边平方，并利用，可得②，联合①②知，进而得解．
 

19.【答案】解：延长AB到M点，使，
连接CM，FM，

平面ABCD，平面AMF，平面平面，
，，
四边形AMEF是平行四边形，
，在中，令，
则，，
，，
故；
分别取AD，BC，EF的中点G，H，Q，连接EG，GH，HF，AC，BD，则，

设，连接OQ，
为正三角形，G是AD中点，
，
，，，
又，EG，平面EFHG，
平面EFHG，
平面ABCD，
平面平面ABCD，
在等腰梯形EFHG中，O，Q分别为GH，EF中点，，
又平面平面，平面EFGH，
平面ABCD，
，平面ABCD，
，，
分别以为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，
则，，，，，，
，，，，
设平面EAC的法向量，
则，，令，则，
设平面FAC的法向量，
则，，令，则，
，，
二面角的平面角为
 

【解析】本题考查异面直线所成角以及二面角大小的求解，属中档题．
将异面直线平移成相交直线再用勾股定理证垂直，
建系，用空间向量解决二面角问题．
 

20.【答案】解：的定义域为，，则，，
故切线方程为，
即，
故函数在处的切线方程为：；
因为恒成立，其中，
所以，
记，
则，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
，
则实数a的取值范围为：
 

【解析】根据切点和斜率求得切线方程．
由分离常数a，通过构造函数法，结合导数来求得a的取值范围．
本题考查了导数的几何意义及恒成交问题，关键点是分离常数，将问题转化为，然后求函数的最小值，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意可知：，，解得，，所以椭圆的标准方程为
设，，则
设直线PQ：，由得：，
所以，，
由直线OP，OQ的斜率之积为得：
，
代入化简得：
因为
又因为点P，Q在椭圆上，所以，，即
因为，
所以，所以，
即为定值．
 

【解析】由题意可知，，结合即可求出a，b，进而得出椭圆的标准方程；
设，，直线PQ：，联立直线与椭圆的方程并利用韦达定理可得，，再结合已知直线OP，OQ的斜率之积为可得：，进而计算的值即可得出答案．
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
 

22.【答案】解：曲线C的极坐标方程为，当时，；
所以点；
故，
所以；
曲线：，根据，转换为直角坐标方程为；
曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；
利用圆心到直线的距离，
由于的最小正值为2，即，
解得；
由于，
所以
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：若，则对任意，都有，
此时函数在上单调递增，满足条件；
若，则时，，
此时函数在上单调递减，不满足条件．
综上，实数t的取值范围为；
由，得
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
综上可知，当时，函数取得最小值，最小值为
故函数的最小值为
 

【解析】分和去绝对值，然后判断函数的单调性得答案；
当时，对x分段写出函数解析式，由函数的单调性写出函数的值域，取并集的答案．
本题考查函数的最值及其几何意义，正确分段是关键，考查运算求解能力，是中档题．