人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册 专题08 双变量不等式问题

专题08 双变量不等式问题

知识点1：转化为单变量问题

1．（2021•宝坻区模拟）已知，．

（1）求在，（1）处的切线方程及极值；

（2）若不等式对任意成立，求的最大整数解．

（3）的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：．

2．（2021春•荔湾区校级期中）已知函数．

（Ⅰ）当时，试求函数图象在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）若函数有两个极值点、，且不等式恒成立，试求实数的取值范围．

3．（2021春•渝中区校级期中）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，，函数的唯一极小值点为，点，和，是曲线上不同两点，且，求证：．

4．（2021春•海曙区校级期中）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）已知，若存在两个极值点，，且，求的取值范围．

知识点2：中点型

1．（2021•呼和浩特二模）已知函数．

①讨论的单调性；

②设，证明：当时，；

③函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明．

2．（2021秋•山西期末）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）如果方程有两个不相等的解，，且，证明：．

3．（2021•沙坪坝区校级开学）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的取值范围是，，求实数的取值范围．

4．（2021秋•巴南区校级月考）已知函数为常数）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，设函数的两个极值点，满足，求的最小值．

知识点3：极值和差商积问题

1．（2021春•温州期中）已知函数．

（1）若，证明：当时，；当时，．

（2）若存在两个极值点，，证明：．

2．（2021春•浙江期中）已知函数．

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）讨论的单调性；

（3）若存在两个极值点，，证明：．

3．（2021秋•武汉月考）已知函数．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立．

4．（2021秋•南昌月考）已知函数．

（Ⅰ）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数存在两个极值点，，求实数的取值范围，并比较与的大小．

知识点4：剪刀模型

1．（2021春•重庆期末）已知有两个极值点，．

（1）求的取值范围；

（2）当时，证明：．

2．（2021秋•和平区校级月考）已知函数在点，处的切线方程为．

（1）求，；

（2）设曲线与轴负半轴的交点为点，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；

（3）若关于的方程有两个实数根，，且，证明：．

3．（2021•日照一模）已知函数在点处的切线方程为．

（1）求，；

（2）函数图象与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；

（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．

4．（2021春•道里区校级期中）已知函数，是的极值点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；

（Ⅲ）若关于的方程有两个不等实根，，求证：．

知识点5：主元法

1．（2021春•哈密市校级月考）已知函数．

（1）求函数的单调区间和最小值；

（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；

2．（2021秋•广东月考）已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，．

（Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．

3．（2021•微山县校级二模）设函数．

（Ⅰ） 求的极值；

（Ⅱ）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，证明：．

4．（2021•泉州二模）已知函数，．

（1）若，，求实数的值．

（2）若，，（a）（b），求正实数的取值范围．

1．（2021春•江宁区校级期中）已知函数，．

（1）当时，

①求的极值；

②若对任意的都有，，求的最大值；

（2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：．

2．（2021•德阳模拟）设函数．

（1）当时，求的单调区间是的导数）；

（2）若有两个极值点、，证明：．

3．（2021春•瑶海区月考）已知函数，．

（1）若存在两个极值点，求实数的取值范围；

（2）若，为的两个极值点，证明：．

4．（2021•宜春模拟）已知函数．

（1）讨论的单调性：

（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的范围是，，求实数的取值范围．

5．（2021•运城模拟）已知函数，其中．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，，证明：．

6．（2021•安徽开学）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若有两个极值点，，求证：．

7．（2021•浙江）已知实数，设函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．

注：为自然对数的底数．

8．（2021•江苏）设函数，，，，为的导函数．

（1）若，（4），求的值；

（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；

（3）若，，，且的极大值为，求证：．

9．（2021•江西校级二模）已知函数，．

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅲ）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：．

10．（2021•天津）已知函数，．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；

（Ⅲ）若方程为实数）有两个实数根，，且，求证：．