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人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册 专题02 数列求和
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这是一份人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册 专题02 数列求和，文件包含专题02数列求和解析版docx、专题02数列求和原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
专题02 数列求和
知识点1：倒序相加法
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，数列满足，则（ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】
∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
2．（2022·江西九江·高二期末（文））德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（ ）
A．96 B．97 C．98 D．99
【答案】C
【解析】
【分析】
令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.
【详解】
令，
，
两式相加得：
，
∴，
故选:C．
3．（2022·全国·高三专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（ ）
A． B．0 C．59 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题得 ①， ②，两式相加化简即得解.
【详解】
令 ①
则 ②
①+②可得：，
，..
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列满足，则（ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数解析式确定为常数，再得到，然后利用倒序相加法求和即可.
【详解】
∵，
∴．
又∵，
∴．
令，
则，
两式相加得，∴．
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2020 D．2021
【答案】C
【解析】
【分析】
设，得到，再利用倒序相加求和得解.
【详解】
解：函数，设，则有，
所以，
所以当时，，
令，
所以，
故．
故选：C
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
知识点2：错位相减法
6．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））在等差数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列通项公式，列出方程，即可求出首项和公差，即可求出通项公式；
（2）由（1）可知，根据错位相减法，即可求出数列的前项和．
(1)
解：设数列的首项为，公差为，
所以，解得，，
故的通项公式为．
(2)
解：因为，
所以， ①
， ②
由①－②，得
，
故数列的前项和.
7．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）在数列中，，．
(1)设，证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)设为数列的前项和，求．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列的定义求解；
（2）利用错位相减法求解.
(1)
解：因为，，
所以．
又，所以是首项为，公比为的等比数列．
所以，
故．
(2)
，①
由①，得，②
①－②得，
，
所以．
8．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，的前n项和为，且，（）．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由，，成等比数列求出，即得解；
（2）求出再对分两种情况讨论，利用错位相减法求解.
(1)
解：因为，，
由题意得，解得．
所以，即.
(2)
解：因为①；所以②；
由①一②可得
所以．
因为所以，
所以{bn}是第二项开始的等比数列，
则通项公式为
由（1）知
当时，；
当时，
③
，④
③-④得，
∴适合.
所以
9．（2022·新疆·二模（理））已知各项均为正数的数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，成等差数列，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由得到是等比数列，再按照等比数列的通项公式求解即可；
（2）先由，，成等差数列求出，再按照错位相减法求和即可.
(1)
由，得，∵，∴
所以，又知，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，
故数列的通项公式为；
(2)
由成等差数列可知，，
所以．
所以，①
，②
由①-②，得，
，
故.
10．（2022·重庆·高二期末）已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，求，并证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义证明；
（2）由错位相减法求得和，再由的单调性可证得不等式成立．
(1)
由得
又，
数列是以为首项，以为公比的等比数列.
(2)
由（1）的结论有
①
②
①②得：
又为递增数列，
.
知识点3：裂项相消法
11．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知正项数列的前项和为，且 ；
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)当时;当 时,;
【解析】
【分析】
（1）利用时，，结合可得，由此求得，进而求得数列的通项公式；
（2）求出 时的结果，当 时，利用裂项相消法求得结果，即得答案.
(1)
由题意正项数列的前项和为，
当时， ，
故，所以 ，
即，所以 是以为首项，以1为公差的等差数列，
则 ，
所以 ，
即，
但 不适合上式，故；
(2)
当 时，；
当 时，
.
12．（2022·安徽安庆·二模（理））已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据关系，并结合累乘法求解即可得答案；
（2）由题知，，再根据裂项求和法求解即可得答案.
(1)
解：时，，解得.
当时，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通项公式为，.
(2)
解：结合（1）得
，
所以
.
13．（2022·河北·高三阶段练习）已知数列的前n项和为，，.
(1)求的值及的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，得到，求得；当时，，两式相减得到整理得，结合等比数列的定义，即可求解；
（2）由，化简得到，结合裂项求和，即可求解.
(1)
解：当时，，所以，解得，
当时，，
因为，两式相减得，
整理得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
(2)
解：由，可得，
所以，
所以.
14．（2022·江苏江苏·二模）已知数列的前项和为，.
(1)从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列{an}的通项公式；
①数列是等差数列；
②数列是等比数列；
(2)记，求数列的前n项和.
【答案】(1)选①证明见解析，；选②证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）选数列是等差数列：由题知，进而，即数列是等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可；选数列是等比数列，结合得，即是等比数列，再根据等比数列通项公式求解即可；
（2）由（1）得，再结合裂项求和法求解即可.
(1)
解：若选数列是等差数列，
∵①，∴②，
∴②①得，即.
且，
是首项为，公差为1的等差数列.
若选数列是等比数列，
∵①，∴②，
∴②①得，即.
∴，整理得
∵，
是等比数列且首项为公比为.
，
∴
(2)
解：∵，，
∴，
15．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）在数列中，表示其前项和，满足
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求证：.
【答案】(1)证明见解析；；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用可得到递推关系式，从而得到，结合可证得数列是等比数列，由等比数列通项公式求得后，即可整理得到；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和后，由可得结论.
(1)
，，，
整理可得：，，
又当时，，解得：，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
数列的通项公式为；
(2)
由（1）得：，
，
，，
即.
知识点4：分组（并项）求和法
16．（2022·河南·三模（文））已知数列满足：，.
(1)求；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用作差求得：，进而求得的通项公式；
（2）首先求出，再采用分组求和即可求出答案.
(1)
当时，，故；
当时，
两式相减得：，故
综上：当时，.
(2)
由（1）知
所以
.
17．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）已知正数数列满足，且
(1)求证：当时，总有，并求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足，求{}的前2n项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用递推关系证得结论成立，进而求得数列{}的通项公式.
（2）利用分组求和法来求得.
(1)
依题意正数数列满足，且，
当时，，
当时，，
两式相除得.
所以数列的奇数项、偶数项分别构成公比为的等比数列，
即，
所以.
(2)
由（1）得，
所以，
所以
.
18．（2022·广西·高二期末（文））已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，为数列的前n项和，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得数列是以2为公差的等差数列，再由可求出，从而可求出通项公式，
（2）由（1）可得，然后利用分组求和可求出
(1)
因为数列满足，
所以数列是以2为公差的等差数列，
因为，所以，得，
所以
(2)
由（1）可得，
所以
19．（2022·广东·高二阶段练习）已知数列，，，且对任意，都有，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项的和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据，得到，再利用等差数列的定义求解；
（2）由（1）得到，再分n为偶数和奇数，利用分组求和法求解.
(1)
解：∵，
∴，
∴数列为等差数列，
设公差为d，则，
又，
∴．
(2)
∵，
由（1）知，
∴当n为偶数时，，
，
；
当n为奇数时，，
，
，
；
∴．
20．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前2n项的和
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用累乘法求得数列的通项公式；
（2）利用分组求和法求得.
(1)
∵，，，∴，
∴，
∴，，，…，，
将上述式子左右分别相乘得，
∴．
∵满足上式，
∴．
(2)
∵，令，，
的前项和为，的前项和为，
∴，
，
∴．
21．（2022·江苏·南京市第五高级中学高二阶段练习）设数列的前项和为，已知，，.
(1)求数列通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用当时，将题设条件转化为的递推关系，进而求出（2）可以看作是一个等差数列与一个等比数列相应项的和构成的数列，故用分组求和法求和.
(1)
解: (1)由,得①;
又当时,②,
由①②解得,
当时,有,
所以
即 ()
又
所以数列是以为首项, 为公比的等比数列,
所以.
(2)
(2) 令, 则,
所以的前项和为,
即
知识点5：其它求和法
22．（2022·北京顺义·高三期末）数列：满足，称为数列的指数和.
(1)若，求所有可能的取值；
(2)求证:的充分必要条件是；
(3)若，求的所有可能取值之和.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】
【分析】
（1）由题设，根据已知讨论的取值求出所有可能的取值.
（2）结合反证思想，从充分性、必要性两方面证明即可.
（3）由（2）分析知，则有中不同取值方式，进而判断不同系数情况下各项在所有可能中出现次数，即可确定可能取值之和.
(1)
由题设，，又，
所以当时，；当中有两个，一个1，则可能值为1, -3, -5；当中有一个，两个1，则可能值为-1,3,5；当时，；
综上，.
(2)
证明充分性：当时，可得；
证明必要性：当时，用反证法，
假设，则矛盾.
从而；
所以的充分必要条件是，得证.
(3)
当时，由（2）知：，反之亦然.
当时，有中不同取值方式，
其中与，与，，与在所有指数和中出现的总次数都是种，
因此这些项对指数和的总贡献为零，另一方面，在所有指数和中出现次，
从而所有指数和之和为 .
【点睛】
关键点点睛：第三问，注意第二问结论的应用，易知有中不同取值方式，而其中任一项确定，都对应种其余项的组合，又即所有可能值中该项抵消，而只有所在项出现次，即可求和.
23．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．
【答案】(1)an=2n
(2)480
【解析】
【分析】
小问1：设{an}的公比为，依题意列方程求解，即可得通项公式；
小问2：由题设及（1）知b1=0，且当2n≤m<2n+1时，bm=n，即可求解{bm}的前100项和．
(1)
设{an}的公比为q．由题设得a1q+a1q3=20，a1q2=8．解得q=(舍去)，或q=2，．
所以{an}的通项公式为an=2n．
(2)
由题设及（1）知b1=0，且当2n≤m<2n+1时，bm=n．所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480．
24．（2022·山东临沂·高二期末）在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________
(1)求数列的通项公式；
(2)令，其中表示不超过的最大整数，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）选①，设等差数列中，公差为，进而得，解方程得，再求通项公式即可；
选②，由题知，进而解得 ，再求通项公式即可；
选③，由题知，即，解得，再求通项公式即可；
（2）由题知，再结合，，，求解即可.
(1)
解：选①
设等差数列中，公差为，因为，，
所以，解得，
所以，
选②
因为等差数列中，公差为1，且成等比数列，
所以，即，解得
所以.
选③
因为等差数列中，，，
所以，即，解得
所以
(2)
解：由（1）知，
因为，，，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以
25．（2022·湖北·高三期末）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，．
(1)求；
(2)记数列中不超过正整数m的项的个数为，求数列的前100项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义和求和公式，列出方程组，解出和公比，则可求出其通项公式；
（2）由（1）可求得，且当时，，可依次求出的值，再求和即可.
(1)
由得，则，
因为，则，，
又，，则，
所以.
(2)
（2）由题设及（1）得，且当时，，即
，
，
所以．
26．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知方程可得或，结合正项数列即可确定的通项公式；
（2）利用正弦型函数的性质判断的周期，并求出一个周期内的项，最后根据周期求.
(1)
，
或，
为正项数列，
；
(2)
，
是周期为12的周期数列 ，
，，
，
，，
，，
，，
，，
.
一、单选题
1．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）已知数列满足，，则数列的前100项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，数列是等差数列，由此可得的通项公式，然后利用裂项相消求和法即可求解数列的前100项和.
【详解】
解：因为，所以数列是等差数列，且首项为，公差为3，
则，，
所以，
所以数列的前100项和．
故选：A.
2．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知函数，若数列满足，，其前n项和为，且，设，则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇偶函数的定义和单调性可知为奇函数且在R上单调递增，由题意可得，利用等差数列的定义和通项公式求出，进而求出，结合裂项相消法即可求出.
【详解】
因为定义域为R，关于原点对称．
且
，所以f(x)为奇函数，易知f(x)在R上单调递增，
由，
得，所以，
所以为等差数列，由，得，
则，所以
所以，有
所以，
故选:B
3．（2022·广东·高二阶段练习）如图，第1个图案的总点数记为，第2个图案的总点数记为，第3个图案的总点数记为，……，依此类推，第n个图案的总点数记为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，从而可得，再利用裂项相消求和法可求得答案
【详解】
由题意，，当，时，，
又当，时，，
∴
．
故选：C．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{an}满足an＝2n﹣1，在an，an+1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{bn}的前100项的和为（ ）
A．211 B．232 C．247 D．256
【答案】D
【解析】
【分析】
理解题意，找到数列{bn}的规律，通过分组，“1”一组，一组，找到前100项中的个数以及“1”的个数，然后进行求和.
【详解】
数列{an}满足an＝2n﹣1，在an，an+1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，
所以共有n+[1+2+…+（n﹣1）]＝n个数，
当n＝13时，，
当n＝14时，，
由于an＝2n﹣1，
所以S100＝（a1+a2+…+a13）+（100﹣13）×1＝132+87＝256.
故选：D.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则数列的前40项和
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
数列满足，，可得，又可得，通过分组求和及其利用等比数列的求和公式即可得出．
【详解】
解：数列满足，，
，
，
，
．
．
则数列的前40项和．
故选：A．
6．（2022·全国·高二课时练习）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，a2＝﹣1，且an+2﹣an＝（﹣1）n+1，则S1+S2+S3+…+S397＝（ ）
A．19701 B．19900 C．19850 D．19800
【答案】B
【解析】
【分析】
利用递推关系找到数列的规律，从而可通过并项求和得到S2n＝0，S2n﹣1＝n，再通过等差数列求和公式进行计算即可.
【详解】
由a1＝1，a2＝﹣1，且an+2﹣an＝（﹣1）n+1，
可得数列{an}：1，﹣1，2，﹣2，3，﹣3，...，n，﹣n，...，
则S2n＝0，S2n﹣1＝n，
所以S1+S2+S3+…+S397＝1+2+3+...+199
199×（1+199）＝19900.
故选：B.
7．（2022·全国·高二课时练习）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S40＝（ ）
A．620 B．630 C．640 D．650
【答案】A
【解析】
【分析】
当n为奇数时，an+2﹣an＝3，可得数列{an}的奇数项构成等差数列，当n为偶数时，从而分奇偶项分别求和即可得出答案.
【详解】
当n为奇数时，an+2﹣an＝3，
故数列{an}的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列；
所以，
当n为偶数时，a2+a4＝3，a6+a8＝3，.......a38+a40＝3，
所以：a2+a4+a6+a8+...+a38+a40＝10×3＝30；
所以S40＝（a1+a3+a5+...+a39）+（a2+a4+a6+...+a40）＝590+30＝620.
故选：A.
8．（2022·广东珠海·高二期末）已知数列的通项公式是，则（ ）
A．10100 B．-10100 C．5052 D．-5052
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件，用并项求和法即可求得结果.
【详解】
∵
∴
∴
.
故选：D.
二、多选题
9．（2022·河北石家庄·高二期末）已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．为等差数列
C．的取值范围是
D．数列的通项公式
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题目求出的通项公式，即可判断A 、B选项的正误；求出数列的通项公式，利用裂项相消法结合数列的单调性可判断C、D选项的正误.
【详解】
当时，，则，
当时，，两式相减得：，则，
所以是以首项为，公比为3的等比数列.
，所以A错；
又因为，
，
所以是以为首相，为公差的等差数列，所以B对.
，,
，D对；
，
，所以，数列为单调递增数列，则，故，C对.
故选：BCD.
10．（2022·全国·高二课时练习）若数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an﹣2，数列{bn}满足bn＝log2an，则下列选项正确的为（ ）
A．数列{an}是等差数列
B．an＝2n
C．数列{an2}的前n项和为
D．数列的前n项和为Tn，则Tn＜1
【答案】BD
【解析】
【分析】
直接利用数列的递推关系式的应用求出数列为等比数列和求出数列的通项公式，进一步判定AB的结论，进一步利用数列的求和和放缩法的应用判定CD的结论．
【详解】
数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an﹣2①，
当n＝1时，解得a1＝2，
当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2②，
①﹣②得：an＝2an﹣2an﹣1，即(常数)，
所以数列{an}是以2为首项2为公比的等比数列．
所以 （首项符合通项），故A错误，B正确；
对于C：，
所以，故C错误；
对于D：由于数列{bn}满足bn＝log2an＝n，
所以，
所以．故D正确．
故选：BD．
11．（2022·全国·高二单元测试）对于公差为1的等差数列{an}，a1＝1，公比为2的等比数列{bn}，b1＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．an＝n
B．bn＝2n﹣1
C．数列{lnbn}为等差数列
D．数列{anbn}的前n项和为（n﹣1）2n+1+2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由等比数列和等差数列的通项公式，可判断A、B、C选项；由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可判断D选项．
【详解】
由公差为1的等差数列{an}，a1＝1，可得an＝1+n﹣1＝n，故A正确；
由公比为2的等比数列{bn}，b1＝2，可得bn＝2×2n﹣1＝2n，故B错误；
由lnbn＝ln2n＝nln2，可得数列{lnbn}是首项和公差均为ln2的等差数列，故C正确；
设数列{anbn}的前n项和为Sn，Sn＝1×2+2×22+...+n×2n，
2Sn＝1×22+2×23+...+n×2n+1，上面两式相减可得﹣Sn＝2+22+...+2n﹣n×2n+1
n×2n+1，所以Sn＝2+（n﹣1）×2n+1，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
12．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{an}中，an+2，且m∈R，a1＝1，a2＝2，a8＝16，则{an}的前2n项和S2n＝_____.
【答案】n2+2n+1﹣2
【解析】
【分析】
利用递推关系先求出参数m，再通过递推关系得到两个数列分别为等差和等比数列，最后可以利用分组求和进行求解.
【详解】
根据题意，当n为偶数时，an+2＝man，则a8＝ma6＝m2a4＝m3a2，即2m3＝16，解得m＝2，
所以数列{an}满足an+2＝2an（n为偶数）；an+2﹣an＝2，又a1＝1，a2＝2，
所以S2n＝a1+a2+a3+a4+…+a2n﹣1+a2n＝1+3+…+2n﹣1+2+22+…+2n（1+2n﹣1）n2+2n+1﹣2.
故答案为：n2+2n+1﹣2
13．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，且an+2＝an+2×（﹣1）n，则数列{an}的前100项的和为 _____.
【答案】150
【解析】
【分析】
直接利用数列的递推公式求出数列的通项公式，进一步利用分组求和法求出数列的和.
【详解】
数列{an}，a1＝1，a2＝2，且an+2＝an+2×（﹣1）n，
当n为奇数时，an+2﹣an＝﹣2（常数），
当n为偶数时，an+2﹣an＝2（常数），
所以.
故答案为：150.
14．（2022·湖南·高二阶段练习）已知数列满足，，令，则数列的前100项和为___________．
【答案】－5050
【解析】
【分析】
由递推关系求得，依照求得的递推式，从而可求得，代入求得，利用平方差公式因式分解，结合等差数列的前项和公式可得结论．
【详解】
因为，所以当时，，故．当时，
，所以，
整理得．又，，所以，所以．
故答案为：．
15．（2022·河北邯郸·高二期末）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，现有与斐波那契数列性质类似的数列满足：，，且（），记数列的前n项和为，若，则___________.
【答案】7
【解析】
【分析】
根据递推关系写出的前面若干项，利用并项求和法求得，从而确定的值.
【详解】
∵，∴，，
则数列中的项依次为2，4，6，10，16，26，42，68，…，
又，，
，，…，
，
将上面的式子相加，可得，又，
∴.
故答案为：
四、解答题
16．（2022·浙江·高二阶段练习）已知数列，，且满足.数列满足，数列是以2为首项，2为公差的等差数列.
(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由得到，即可证明为等比数列，再按照通项公式求解即可；
（2）先通过累加法得到，再按照错位相减法求和即可得到通项.
(1)
由得，从而，由知是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，从而；
(2)
令，
，
，从而
.
设，
，
两式相减得，
即.
又，所以.
17．（2022·浙江省桐庐中学高二阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：
(3)求的最小值
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的性质结合等差数列的通项求出，进而得出数列的通项公式；
（2）由错位相减法结合不等式的性质得出：；
（3）由的单调性得出的最小值.
(1)
在数列中，公差，，，
，因为，，成等比数列，所以，
即，解得，．
(2)
由（1）知，所以，
所以，
，
两式相减得
，
所以
(3)
因为，
所以，所以
综上可得，的最小值为.
18．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二开学考试）设曲线在点处的切线l与x轴的交点的横坐标为，令．
(1)若数列的前n项和为，求；
(2)若切线l与y轴的交点的纵坐标为，，，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义，求出在处切线的切线方程，即可得，然后利用裂项相消求和法即可求解；
（2）由题意，可得，利用错位相减法即可求解.
(1)
解：∵，∴，
∴在处切线斜率，切线方程为，
令，得，则，
∴；
(2)
解：令，得，∵，∴，
∵，
∴①
②
①－②得，
∴．
19．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）已知数列满足.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)已知，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先通过退位相减法得到，再按照定义证明等比数列即可；
（2）先由（1）求出，进而求出，再按照裂项相消求和即可.
(1)
证明：当时，，则.
因为，①
所以，②
由②①得，
化简可得，
，
所以数列是一个公比为的等比数列.
(2)
由（1）可知，化简可得.
.
所以.
专题02 数列求和
知识点1：倒序相加法
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，数列满足，则（ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】
∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
2．（2022·江西九江·高二期末（文））德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（ ）
A．96 B．97 C．98 D．99
【答案】C
【解析】
【分析】
令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.
【详解】
令，
，
两式相加得：
，
∴，
故选:C．
3．（2022·全国·高三专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（ ）
A． B．0 C．59 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题得 ①， ②，两式相加化简即得解.
【详解】
令 ①
则 ②
①+②可得：，
，..
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列满足，则（ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数解析式确定为常数，再得到，然后利用倒序相加法求和即可.
【详解】
∵，
∴．
又∵，
∴．
令，
则，
两式相加得，∴．
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2020 D．2021
【答案】C
【解析】
【分析】
设，得到，再利用倒序相加求和得解.
【详解】
解：函数，设，则有，
所以，
所以当时，，
令，
所以，
故．
故选：C
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
知识点2：错位相减法
6．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））在等差数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列通项公式，列出方程，即可求出首项和公差，即可求出通项公式；
（2）由（1）可知，根据错位相减法，即可求出数列的前项和．
(1)
解：设数列的首项为，公差为，
所以，解得，，
故的通项公式为．
(2)
解：因为，
所以， ①
， ②
由①－②，得
，
故数列的前项和.
7．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）在数列中，，．
(1)设，证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)设为数列的前项和，求．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列的定义求解；
（2）利用错位相减法求解.
(1)
解：因为，，
所以．
又，所以是首项为，公比为的等比数列．
所以，
故．
(2)
，①
由①，得，②
①－②得，
，
所以．
8．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，的前n项和为，且，（）．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由，，成等比数列求出，即得解；
（2）求出再对分两种情况讨论，利用错位相减法求解.
(1)
解：因为，，
由题意得，解得．
所以，即.
(2)
解：因为①；所以②；
由①一②可得
所以．
因为所以，
所以{bn}是第二项开始的等比数列，
则通项公式为
由（1）知
当时，；
当时，
③
，④
③-④得，
∴适合.
所以
9．（2022·新疆·二模（理））已知各项均为正数的数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，成等差数列，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由得到是等比数列，再按照等比数列的通项公式求解即可；
（2）先由，，成等差数列求出，再按照错位相减法求和即可.
(1)
由，得，∵，∴
所以，又知，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，
故数列的通项公式为；
(2)
由成等差数列可知，，
所以．
所以，①
，②
由①-②，得，
，
故.
10．（2022·重庆·高二期末）已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，求，并证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义证明；
（2）由错位相减法求得和，再由的单调性可证得不等式成立．
(1)
由得
又，
数列是以为首项，以为公比的等比数列.
(2)
由（1）的结论有
①
②
①②得：
又为递增数列，
.
知识点3：裂项相消法
11．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知正项数列的前项和为，且 ；
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)当时;当 时,;
【解析】
【分析】
（1）利用时，，结合可得，由此求得，进而求得数列的通项公式；
（2）求出 时的结果，当 时，利用裂项相消法求得结果，即得答案.
(1)
由题意正项数列的前项和为，
当时， ，
故，所以 ，
即，所以 是以为首项，以1为公差的等差数列，
则 ，
所以 ，
即，
但 不适合上式，故；
(2)
当 时，；
当 时，
.
12．（2022·安徽安庆·二模（理））已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据关系，并结合累乘法求解即可得答案；
（2）由题知，，再根据裂项求和法求解即可得答案.
(1)
解：时，，解得.
当时，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通项公式为，.
(2)
解：结合（1）得
，
所以
.
13．（2022·河北·高三阶段练习）已知数列的前n项和为，，.
(1)求的值及的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，得到，求得；当时，，两式相减得到整理得，结合等比数列的定义，即可求解；
（2）由，化简得到，结合裂项求和，即可求解.
(1)
解：当时，，所以，解得，
当时，，
因为，两式相减得，
整理得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
(2)
解：由，可得，
所以，
所以.
14．（2022·江苏江苏·二模）已知数列的前项和为，.
(1)从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列{an}的通项公式；
①数列是等差数列；
②数列是等比数列；
(2)记，求数列的前n项和.
【答案】(1)选①证明见解析，；选②证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）选数列是等差数列：由题知，进而，即数列是等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可；选数列是等比数列，结合得，即是等比数列，再根据等比数列通项公式求解即可；
（2）由（1）得，再结合裂项求和法求解即可.
(1)
解：若选数列是等差数列，
∵①，∴②，
∴②①得，即.
且，
是首项为，公差为1的等差数列.
若选数列是等比数列，
∵①，∴②，
∴②①得，即.
∴，整理得
∵，
是等比数列且首项为公比为.
，
∴
(2)
解：∵，，
∴，
15．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）在数列中，表示其前项和，满足
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求证：.
【答案】(1)证明见解析；；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用可得到递推关系式，从而得到，结合可证得数列是等比数列，由等比数列通项公式求得后，即可整理得到；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和后，由可得结论.
(1)
，，，
整理可得：，，
又当时，，解得：，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
数列的通项公式为；
(2)
由（1）得：，
，
，，
即.
知识点4：分组（并项）求和法
16．（2022·河南·三模（文））已知数列满足：，.
(1)求；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用作差求得：，进而求得的通项公式；
（2）首先求出，再采用分组求和即可求出答案.
(1)
当时，，故；
当时，
两式相减得：，故
综上：当时，.
(2)
由（1）知
所以
.
17．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）已知正数数列满足，且
(1)求证：当时，总有，并求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足，求{}的前2n项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用递推关系证得结论成立，进而求得数列{}的通项公式.
（2）利用分组求和法来求得.
(1)
依题意正数数列满足，且，
当时，，
当时，，
两式相除得.
所以数列的奇数项、偶数项分别构成公比为的等比数列，
即，
所以.
(2)
由（1）得，
所以，
所以
.
18．（2022·广西·高二期末（文））已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，为数列的前n项和，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得数列是以2为公差的等差数列，再由可求出，从而可求出通项公式，
（2）由（1）可得，然后利用分组求和可求出
(1)
因为数列满足，
所以数列是以2为公差的等差数列，
因为，所以，得，
所以
(2)
由（1）可得，
所以
19．（2022·广东·高二阶段练习）已知数列，，，且对任意，都有，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项的和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据，得到，再利用等差数列的定义求解；
（2）由（1）得到，再分n为偶数和奇数，利用分组求和法求解.
(1)
解：∵，
∴，
∴数列为等差数列，
设公差为d，则，
又，
∴．
(2)
∵，
由（1）知，
∴当n为偶数时，，
，
；
当n为奇数时，，
，
，
；
∴．
20．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前2n项的和
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用累乘法求得数列的通项公式；
（2）利用分组求和法求得.
(1)
∵，，，∴，
∴，
∴，，，…，，
将上述式子左右分别相乘得，
∴．
∵满足上式，
∴．
(2)
∵，令，，
的前项和为，的前项和为，
∴，
，
∴．
21．（2022·江苏·南京市第五高级中学高二阶段练习）设数列的前项和为，已知，，.
(1)求数列通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用当时，将题设条件转化为的递推关系，进而求出（2）可以看作是一个等差数列与一个等比数列相应项的和构成的数列，故用分组求和法求和.
(1)
解: (1)由,得①;
又当时,②,
由①②解得,
当时,有,
所以
即 ()
又
所以数列是以为首项, 为公比的等比数列,
所以.
(2)
(2) 令, 则,
所以的前项和为,
即
知识点5：其它求和法
22．（2022·北京顺义·高三期末）数列：满足，称为数列的指数和.
(1)若，求所有可能的取值；
(2)求证:的充分必要条件是；
(3)若，求的所有可能取值之和.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】
【分析】
（1）由题设，根据已知讨论的取值求出所有可能的取值.
（2）结合反证思想，从充分性、必要性两方面证明即可.
（3）由（2）分析知，则有中不同取值方式，进而判断不同系数情况下各项在所有可能中出现次数，即可确定可能取值之和.
(1)
由题设，，又，
所以当时，；当中有两个，一个1，则可能值为1, -3, -5；当中有一个，两个1，则可能值为-1,3,5；当时，；
综上，.
(2)
证明充分性：当时，可得；
证明必要性：当时，用反证法，
假设，则矛盾.
从而；
所以的充分必要条件是，得证.
(3)
当时，由（2）知：，反之亦然.
当时，有中不同取值方式，
其中与，与，，与在所有指数和中出现的总次数都是种，
因此这些项对指数和的总贡献为零，另一方面，在所有指数和中出现次，
从而所有指数和之和为 .
【点睛】
关键点点睛：第三问，注意第二问结论的应用，易知有中不同取值方式，而其中任一项确定，都对应种其余项的组合，又即所有可能值中该项抵消，而只有所在项出现次，即可求和.
23．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．
【答案】(1)an=2n
(2)480
【解析】
【分析】
小问1：设{an}的公比为，依题意列方程求解，即可得通项公式；
小问2：由题设及（1）知b1=0，且当2n≤m<2n+1时，bm=n，即可求解{bm}的前100项和．
(1)
设{an}的公比为q．由题设得a1q+a1q3=20，a1q2=8．解得q=(舍去)，或q=2，．
所以{an}的通项公式为an=2n．
(2)
由题设及（1）知b1=0，且当2n≤m<2n+1时，bm=n．所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480．
24．（2022·山东临沂·高二期末）在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________
(1)求数列的通项公式；
(2)令，其中表示不超过的最大整数，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）选①，设等差数列中，公差为，进而得，解方程得，再求通项公式即可；
选②，由题知，进而解得 ，再求通项公式即可；
选③，由题知，即，解得，再求通项公式即可；
（2）由题知，再结合，，，求解即可.
(1)
解：选①
设等差数列中，公差为，因为，，
所以，解得，
所以，
选②
因为等差数列中，公差为1，且成等比数列，
所以，即，解得
所以.
选③
因为等差数列中，，，
所以，即，解得
所以
(2)
解：由（1）知，
因为，，，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以
25．（2022·湖北·高三期末）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，．
(1)求；
(2)记数列中不超过正整数m的项的个数为，求数列的前100项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义和求和公式，列出方程组，解出和公比，则可求出其通项公式；
（2）由（1）可求得，且当时，，可依次求出的值，再求和即可.
(1)
由得，则，
因为，则，，
又，，则，
所以.
(2)
（2）由题设及（1）得，且当时，，即
，
，
所以．
26．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知方程可得或，结合正项数列即可确定的通项公式；
（2）利用正弦型函数的性质判断的周期，并求出一个周期内的项，最后根据周期求.
(1)
，
或，
为正项数列，
；
(2)
，
是周期为12的周期数列 ，
，，
，
，，
，，
，，
，，
.
一、单选题
1．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）已知数列满足，，则数列的前100项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，数列是等差数列，由此可得的通项公式，然后利用裂项相消求和法即可求解数列的前100项和.
【详解】
解：因为，所以数列是等差数列，且首项为，公差为3，
则，，
所以，
所以数列的前100项和．
故选：A.
2．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知函数，若数列满足，，其前n项和为，且，设，则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇偶函数的定义和单调性可知为奇函数且在R上单调递增，由题意可得，利用等差数列的定义和通项公式求出，进而求出，结合裂项相消法即可求出.
【详解】
因为定义域为R，关于原点对称．
且
，所以f(x)为奇函数，易知f(x)在R上单调递增，
由，
得，所以，
所以为等差数列，由，得，
则，所以
所以，有
所以，
故选:B
3．（2022·广东·高二阶段练习）如图，第1个图案的总点数记为，第2个图案的总点数记为，第3个图案的总点数记为，……，依此类推，第n个图案的总点数记为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，从而可得，再利用裂项相消求和法可求得答案
【详解】
由题意，，当，时，，
又当，时，，
∴
．
故选：C．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{an}满足an＝2n﹣1，在an，an+1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{bn}的前100项的和为（ ）
A．211 B．232 C．247 D．256
【答案】D
【解析】
【分析】
理解题意，找到数列{bn}的规律，通过分组，“1”一组，一组，找到前100项中的个数以及“1”的个数，然后进行求和.
【详解】
数列{an}满足an＝2n﹣1，在an，an+1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，
所以共有n+[1+2+…+（n﹣1）]＝n个数，
当n＝13时，，
当n＝14时，，
由于an＝2n﹣1，
所以S100＝（a1+a2+…+a13）+（100﹣13）×1＝132+87＝256.
故选：D.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则数列的前40项和
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
数列满足，，可得，又可得，通过分组求和及其利用等比数列的求和公式即可得出．
【详解】
解：数列满足，，
，
，
，
．
．
则数列的前40项和．
故选：A．
6．（2022·全国·高二课时练习）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，a2＝﹣1，且an+2﹣an＝（﹣1）n+1，则S1+S2+S3+…+S397＝（ ）
A．19701 B．19900 C．19850 D．19800
【答案】B
【解析】
【分析】
利用递推关系找到数列的规律，从而可通过并项求和得到S2n＝0，S2n﹣1＝n，再通过等差数列求和公式进行计算即可.
【详解】
由a1＝1，a2＝﹣1，且an+2﹣an＝（﹣1）n+1，
可得数列{an}：1，﹣1，2，﹣2，3，﹣3，...，n，﹣n，...，
则S2n＝0，S2n﹣1＝n，
所以S1+S2+S3+…+S397＝1+2+3+...+199
199×（1+199）＝19900.
故选：B.
7．（2022·全国·高二课时练习）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S40＝（ ）
A．620 B．630 C．640 D．650
【答案】A
【解析】
【分析】
当n为奇数时，an+2﹣an＝3，可得数列{an}的奇数项构成等差数列，当n为偶数时，从而分奇偶项分别求和即可得出答案.
【详解】
当n为奇数时，an+2﹣an＝3，
故数列{an}的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列；
所以，
当n为偶数时，a2+a4＝3，a6+a8＝3，.......a38+a40＝3，
所以：a2+a4+a6+a8+...+a38+a40＝10×3＝30；
所以S40＝（a1+a3+a5+...+a39）+（a2+a4+a6+...+a40）＝590+30＝620.
故选：A.
8．（2022·广东珠海·高二期末）已知数列的通项公式是，则（ ）
A．10100 B．-10100 C．5052 D．-5052
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件，用并项求和法即可求得结果.
【详解】
∵
∴
∴
.
故选：D.
二、多选题
9．（2022·河北石家庄·高二期末）已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．为等差数列
C．的取值范围是
D．数列的通项公式
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题目求出的通项公式，即可判断A 、B选项的正误；求出数列的通项公式，利用裂项相消法结合数列的单调性可判断C、D选项的正误.
【详解】
当时，，则，
当时，，两式相减得：，则，
所以是以首项为，公比为3的等比数列.
，所以A错；
又因为，
，
所以是以为首相，为公差的等差数列，所以B对.
，,
，D对；
，
，所以，数列为单调递增数列，则，故，C对.
故选：BCD.
10．（2022·全国·高二课时练习）若数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an﹣2，数列{bn}满足bn＝log2an，则下列选项正确的为（ ）
A．数列{an}是等差数列
B．an＝2n
C．数列{an2}的前n项和为
D．数列的前n项和为Tn，则Tn＜1
【答案】BD
【解析】
【分析】
直接利用数列的递推关系式的应用求出数列为等比数列和求出数列的通项公式，进一步判定AB的结论，进一步利用数列的求和和放缩法的应用判定CD的结论．
【详解】
数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an﹣2①，
当n＝1时，解得a1＝2，
当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2②，
①﹣②得：an＝2an﹣2an﹣1，即(常数)，
所以数列{an}是以2为首项2为公比的等比数列．
所以 （首项符合通项），故A错误，B正确；
对于C：，
所以，故C错误；
对于D：由于数列{bn}满足bn＝log2an＝n，
所以，
所以．故D正确．
故选：BD．
11．（2022·全国·高二单元测试）对于公差为1的等差数列{an}，a1＝1，公比为2的等比数列{bn}，b1＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．an＝n
B．bn＝2n﹣1
C．数列{lnbn}为等差数列
D．数列{anbn}的前n项和为（n﹣1）2n+1+2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由等比数列和等差数列的通项公式，可判断A、B、C选项；由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可判断D选项．
【详解】
由公差为1的等差数列{an}，a1＝1，可得an＝1+n﹣1＝n，故A正确；
由公比为2的等比数列{bn}，b1＝2，可得bn＝2×2n﹣1＝2n，故B错误；
由lnbn＝ln2n＝nln2，可得数列{lnbn}是首项和公差均为ln2的等差数列，故C正确；
设数列{anbn}的前n项和为Sn，Sn＝1×2+2×22+...+n×2n，
2Sn＝1×22+2×23+...+n×2n+1，上面两式相减可得﹣Sn＝2+22+...+2n﹣n×2n+1
n×2n+1，所以Sn＝2+（n﹣1）×2n+1，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
12．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{an}中，an+2，且m∈R，a1＝1，a2＝2，a8＝16，则{an}的前2n项和S2n＝_____.
【答案】n2+2n+1﹣2
【解析】
【分析】
利用递推关系先求出参数m，再通过递推关系得到两个数列分别为等差和等比数列，最后可以利用分组求和进行求解.
【详解】
根据题意，当n为偶数时，an+2＝man，则a8＝ma6＝m2a4＝m3a2，即2m3＝16，解得m＝2，
所以数列{an}满足an+2＝2an（n为偶数）；an+2﹣an＝2，又a1＝1，a2＝2，
所以S2n＝a1+a2+a3+a4+…+a2n﹣1+a2n＝1+3+…+2n﹣1+2+22+…+2n（1+2n﹣1）n2+2n+1﹣2.
故答案为：n2+2n+1﹣2
13．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，且an+2＝an+2×（﹣1）n，则数列{an}的前100项的和为 _____.
【答案】150
【解析】
【分析】
直接利用数列的递推公式求出数列的通项公式，进一步利用分组求和法求出数列的和.
【详解】
数列{an}，a1＝1，a2＝2，且an+2＝an+2×（﹣1）n，
当n为奇数时，an+2﹣an＝﹣2（常数），
当n为偶数时，an+2﹣an＝2（常数），
所以.
故答案为：150.
14．（2022·湖南·高二阶段练习）已知数列满足，，令，则数列的前100项和为___________．
【答案】－5050
【解析】
【分析】
由递推关系求得，依照求得的递推式，从而可求得，代入求得，利用平方差公式因式分解，结合等差数列的前项和公式可得结论．
【详解】
因为，所以当时，，故．当时，
，所以，
整理得．又，，所以，所以．
故答案为：．
15．（2022·河北邯郸·高二期末）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，现有与斐波那契数列性质类似的数列满足：，，且（），记数列的前n项和为，若，则___________.
【答案】7
【解析】
【分析】
根据递推关系写出的前面若干项，利用并项求和法求得，从而确定的值.
【详解】
∵，∴，，
则数列中的项依次为2，4，6，10，16，26，42，68，…，
又，，
，，…，
，
将上面的式子相加，可得，又，
∴.
故答案为：
四、解答题
16．（2022·浙江·高二阶段练习）已知数列，，且满足.数列满足，数列是以2为首项，2为公差的等差数列.
(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由得到，即可证明为等比数列，再按照通项公式求解即可；
（2）先通过累加法得到，再按照错位相减法求和即可得到通项.
(1)
由得，从而，由知是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，从而；
(2)
令，
，
，从而
.
设，
，
两式相减得，
即.
又，所以.
17．（2022·浙江省桐庐中学高二阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：
(3)求的最小值
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的性质结合等差数列的通项求出，进而得出数列的通项公式；
（2）由错位相减法结合不等式的性质得出：；
（3）由的单调性得出的最小值.
(1)
在数列中，公差，，，
，因为，，成等比数列，所以，
即，解得，．
(2)
由（1）知，所以，
所以，
，
两式相减得
，
所以
(3)
因为，
所以，所以
综上可得，的最小值为.
18．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二开学考试）设曲线在点处的切线l与x轴的交点的横坐标为，令．
(1)若数列的前n项和为，求；
(2)若切线l与y轴的交点的纵坐标为，，，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义，求出在处切线的切线方程，即可得，然后利用裂项相消求和法即可求解；
（2）由题意，可得，利用错位相减法即可求解.
(1)
解：∵，∴，
∴在处切线斜率，切线方程为，
令，得，则，
∴；
(2)
解：令，得，∵，∴，
∵，
∴①
②
①－②得，
∴．
19．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）已知数列满足.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)已知，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先通过退位相减法得到，再按照定义证明等比数列即可；
（2）先由（1）求出，进而求出，再按照裂项相消求和即可.
(1)
证明：当时，，则.
因为，①
所以，②
由②①得，
化简可得，
，
所以数列是一个公比为的等比数列.
(2)
由（1）可知，化简可得.
.
所以.
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