人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册 专题09 恒成立问题

专题09 恒成立问题

知识点1：端点不成立

1．（2021·辽宁大连·高三月考）已知函数（其中，为自然对数的底数）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，，求的取值范围．

2．（2021·陕西安康·高三期中（理））已知函数，.

（1）若，证明：；

（2）若恒成立，求a的取值范围.

3．（2021·江苏镇江·高三期中）已知函数，.

（1）若在处的切线也是的切线，求的值；

（2）若，恒成立，求的最小整数值.

4．（2021·广东化州·高三月考）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围.

知识点2：端点恒成立

1．（2021·黑龙江·模拟预测（文））已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，恒有，求实数a的最小值.

2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）求实数的值；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

3．（2021·黑龙江·模拟预测（理））已知函数，求：

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，总有，求整数的最小值.

4．（2021·四川达州·一模（文））已知函数.

（1）若，求函数在上的零点个数；

（2）当时都有，求实数的取值范围.

知识点3：双变量最值问题

1．（2021·山西晋中·三模（理））已知函数，，其中．

（1）当时，直线与函数的图象相切，求的值；

（2）当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值．

2．（2021·浙江台州·三模）已知函数，其中.(为自然对数的底数)

（1）求在点处的切线方程；

（2）若时，在上恒成立.当取得最大值时，求的最小值.

3．（2021·河南·郑州一中模拟预测（文））已知函数f(x)=aex﹣x，

（1）求f(x)的单调区间，

（2）若关于x不等式aex≥x+b对任意和正数b恒成立，求的最小值.

4．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学高三月考）已知函数.

（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）设，若，恒有成立，求的最小值.

知识点4：，问题

1．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知函数，，其中.

（1）证明：当时，；当时，；

（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.

2．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知函数，，其中.

（1）证明：当时，；当时，；

（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.

3．（2021·广东·顺德一中高三开学考试）已知函数，，其中．

（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；

（2）若，证明：当时，；

（3）用表示，中的最大值，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围．

4．（2019·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数.

（I）若是上的单调函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，记的最小值为，证明：.

知识点5：同构法

1．已知函数，

（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间．

（2）若恒成立，求的取值范围．

2.若对任意，恒有，求实数的最小值

3.已知函数，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围

4.对任意，不等式恒成立，求实数的最小值

知识点6：必要性探路

1．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数

（1）若函数与有公共点，求的取值范围；

（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.

2．（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习）已知，，．

（1）若，证明：；

（2）对任意都有，求整数的最大值．

3.是否存在正整数，使得对一切恒成立?试求出的最大值.

4.求k的最大整数值.

5.求使得在上恒成立的最小整数

1．（2022·河南开封·高二阶段练习（理））设函数f（x）＝ex－ax－2．

(1)求f（x）的单调区间；

(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′（x）＋x＋1>0，求k的最大值．

2．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知函数， ．

(1)证明： ，直线都不是曲线的切线；

(2)若，使恒成立，求实数的取值范围．

3．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若恒成立，求实数a的值.

4．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数

(1)过原点作的切线，求的方程；

(2)令，求在恒成立，求的取值范围

5．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知函数，其中a，．

(1)当时，若在上单调，求b的取值范围；

(2)当时，若在上恒成立，求a的取值范围．

6．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数.

(1)当时，求曲线的极值；

(2)求函数的单调区间；

(3)若对任意的及任意的时，恒成立，求实数t的取值范围.

7．（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）已知函数，，为大于零的常数，是自然对数的底数.

(1)当时，证明：；

(2)若，恒成立，求实数的取值范围.

8．（2022·江苏·高邮市第一中学高二期末）已知曲线在处的切线方程为，且.

(1)求的解析式；

(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

9．（2022·江苏·南京市秦淮中学高二期末）已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)设，，求证：；

(3)当时，恒成立，求的取值范围．

10.已知函数证明:当时，.

11．已知函数，若，求的取值范围．