人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册 专题10 零点问题

专题10 零点问题

知识点1：一个零点

1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数．

(1)若，求的单调区间及相应区间上的单调性；

(2)证明:只有一个零点．

2．（2022·山西·灵丘县第一中学校高二阶段练习）已知函数．

(1)若，证明：在上存在唯一的零点；

(2)若，证明：当时，．

3．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数，.

(1)若，求的最大值；

(2)若，求证：有且只有一个零点.

4．（2022·全国·高二单元测试）已知函数.

(1)当时，证明函数在区间上只有一个零点；

(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.

知识点2：两个零点

5．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期末（理））已知函数．

(1)若在点处的切线与轴平行，求的值；

(2)当时，求证：；

(3)若函数有两个零点，求的取值范围．

6．（2022·湖南益阳·高二期末）已知函数.

(1)记函数，当时，讨论函数的单调性；

(2)设，若存在两个不同的零点，证明：为自然对数的底数）.

7．（2022·安徽·合肥一中高二阶段练习）已知函数.

(1)若1是函数的极值点，求a的值；

(2)若，试问是否存在零点.若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由.

(3)若有两个零点，求满足题意的a的最小整数值.（参考数据：，）

8．（2022·陕西西安·高二期末（文））已知函数（为自然对数的底数）.

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有且仅有2个零点，求实数的值.

知识点3：三个零点

9．（2020·天津市红桥区教师发展中心高二期末）已知函数（a∈R）．

(1)若a=1，函数恰有3个零点，求实数b的取值范围；

(2)若对任意，有恒成立，求a的取值范围．

10．（2022·全国·高二单元测试）已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若有三个不同的零点，求a的取值范围.

11．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知函数在时有极值0.

(1)求函数的解析式；

(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.

12．（2022·福建省永春第一中学高二开学考试）已知函数，．

(1)若，求函数的极值；

(2)若函数恰有三个零点，求实数的取值范围．

知识点4：零点个数的讨论

13．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，a∈R．

(1)讨论函数f（x）的单调性；

(2)讨论函数f（x）的零点个数．

14．（2021·全国·高二单元测试）已知函数f（x）=2a2lnx-x2（a>0）.

(1)当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)求函数f（x）的单调区间；

(3)讨论函数f（x）在区间（1，e2）内零点的个数（e为自然对数的底数）.

15．（2022·安徽·六安一中高二开学考试）已知函数.

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)当时，求在上的最小值；

(3)当时，求函数在上零点的个数.

16．（2022·全国·高二单元测试）已知函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)讨论零点的个数．

知识点5：零点差问题

17．设．

（1）如果在处取得最小值，求的解析式；

（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和的值（注：区间，

18．已知关于的函数，与，在区间上恒有．

（1）若，，，求的表达式；

（2）若，，，，求的取值范围；

（3）若，，，，，，求证：．

19．已知函数．

（1）如，求的单调区间；

（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．

20．已知函数，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．

知识点6：同构法

21．已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围

22．已知．

（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．

（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．

23．已知函数．

（1）若，求函数的极值；

（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围．

24．已知函数．

（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；

（2）若函数在定义域内没有零点，求的取值范围．

知识点7：、问题

25．（2021·广东东莞·高二期末）已知函数，.

（1）证明恒成立；

（2）用表示m，n中的最大值.已知函数，记函数，若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.

26．（2020·江苏·扬州中学高二期中）已知函数f(x)＝lnx﹣x2+ax，g(x)＝ex﹣e，其中a＞0.

(1)若a＝1，证明：f(x)≤0；

(2)用max{m，n}表示m和n中的较大值，设函数h(x)＝max{f(x)，g(x)}，讨论函数h(x)在(0，+∞)上的零点的个数.

27．（2018·江西九江·高二期末（理））已知函数，．

（1）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；

（2）记表示中的最小值，若函数在内恰有一个零点，求实的取值范围．

28．（2020·河南信阳·高二期末（文））已知函数，函数.

（1）讨论函数的极值；

（2）已知函数，若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围.

1．（2022·湖南邵阳·高二期末）已知函数．

(1)证明；

(2)设，证明：若一定有零点，并判断零点的个数．

2．（2022·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当时，求函数在内的零点个数.

3．（2022·江苏徐州·高二期末）已知函数，.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在区间上有唯一的零点.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）证明：.

4．（2022·江苏泰州·高二期末）已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.

5．（2022·黑龙江·铁人中学高二开学考试）已知．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数在上有1个零点，求实数a的取值范围．

6．（2022·山西太原·高二期末）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)讨论零点的个数．

7．（2022·山西太原·高二期末）已知函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若有两个零点，求实数m的取值范围．

8．（2022·全国·高二课时练习）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若在上有两个零点，求的取值范围．

9．（2022·福建省龙岩第一中学高二开学考试）已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，判断函数的零点个数.

10．（2021·江苏·高二课时练习）已知函数.

（1）证明：当时，；

（2）若，，证明：有且仅有一个零点.