山东省烟台市2022年九年级数学中考复习+线段及和差最值问题+专题突破训练

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山东省烟台市2022年春九年级数学中考复习《线段及和差最值问题》
专题突破训练（附答案）
一．选择题
1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上．AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E．连接BE，则BE的最小值是（　　）

A． B． C．﹣2 D．2﹣
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（　　）

A． B． C． D．3
4．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（　　）

A． B． C． D．
5．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　）
A． B． C． D．1
6．如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一动点（不与A，B重合），点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：①AE＝BF；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+．其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是3，则△ABC的面积为（　　）

A．18 B．27 C．36 D．54
二．填空题
8．如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为　 　．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　 　．

10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 　 　．

11．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在对角线AC上，连接DM，DN．若AM＝CN，则（DM+DN）2的最小值为　 　．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，点E、F分别是线段AB、AD上的动点，且BE＝AF，则BF+CE的最小值为 　 　．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是 　 　．

14．已知正方形ABCD的边长为3，E为CD上一点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若，则MN+MC的最小值为 　 　．

15．如图，正方形ABCD中，边AB＝6，点E在边BC上，且BE＝2，点F为边CD上的一个动点，以EF为直角边作直角三角形，∠FEG＝90°，且sin∠EFG＝，点G在直线EF的左上方，连接BG，当点F在边CD上运动时，△BEG的周长的最小值为　 　．

16．如图，在△ABC中，CA＝CB＝13，AB＝10，点E为AC中点，EF⊥AC交BC于点F，若点D为边AB的中点，点G为线段EF上一动点，则△AGD周长的最小值为 　 　．

17．如图，正方形ABCD的边长为6，E是边AB的中点，F是边AD上的一个动点，EF＝GF，且∠EFG＝90°，则GB+GC的最小值为　 　．

18．如图，正方形ABCD的边长是2，点E、F分别是边AD、DC上的动点，且AE＝DF，连接AF、BE交于点G，点P是AD边上的另一个动点，连接PG、PC，则PG+PC的最小值是 　 　．

19．如图，正方形ABOD的边长为4，OB在x轴上，OD在y轴上，点A在第二象限内，且AD∥OB，AB∥OD，点C为AB的中点，直线CD交x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点C，交x轴于点E，则点E坐标为　 　，点P是直线CE上的一个动点，当点P的坐标为　 　时，PB+PF有最小值．

20．如图，已知AB＝8，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在AB同侧作正方形APDC、PBFE，若点M、N是线段AB上的两点，且AM＝BN＝1，点G、H分别是CD、EF的中点，点O是GH的中点，当P点从M点到N点运动过程中，OM+OB的最小值为　 　．

三．解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．

（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．
（1）填空：点A的坐标为（　 　，　 　），点B的坐标为（　 　，　 　），点C的坐标为（　 　，　 　），点D的坐标为（　 　，　 　）；
（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）
①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；
②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；
③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．

23．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足＝，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．
①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．


参考答案
一．选择题
1．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，

理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故选：B．
2．解：如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC．

∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，
在Rt△BCO′中，BO′＝＝，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，
故选：C．
3．解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠BAD＝90°，
∵△ABF，△APQ都是等边三角形，
∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，
∴∠BAP＝∠FAQ，
在△BAP和△FAQ中，
，
∴△BAP≌△FAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，
∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°＝，
∴点Q在射线FE上运动，
∵AD＝BC＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝，
∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，
∴DH＝DE•sin60°＝×＝，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为，
故选：A．
4．解：∵△DAB∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
解得：BD＝4（负值舍去），
∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴AC＝，
∵AC2＝AB（AB+BC），
∴（AB）2＝AB（AB+BC），
∴AB＝4，
∴AB＝BD＝4，
过B作BH⊥AD于H，
∴AH＝AD＝3，
∴BH＝＝＝，
∵AD＝3AP，AD＝6，
∴AP＝2，
当PQ⊥AB时，PQ的值最小，
∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，
∴△APQ∽△ABH，
∴，
∴＝，
∴PQ＝，
故选：A．

5．解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，
则AE＝a2，BF＝b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴，即．
化简得：m＝ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴，
即，
化简得ab＝1．
则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）．
∵∠DCO＝90°，DO＝1，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为＝时，点C到y轴的距离最大．
故选：A．

6．解：如图，

∵∠AOB＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴＝，
∴AE＝BF，
故①正确，
∵∠EOF+∠ABC＝180°，
∴点O、G、B、H共圆，
∴∠OHG＝∠ABO＝45°，∠OGH＝∠CBO＝45°，
∴OG＝OH，
故②正确；
∵OA＝OB，OG＝OH，∠AOG＝∠BOH，
∴△AOG≌△BOH（SAS），
∴四边形OGBH的面积等于三角形AOB的面积，
故③错误，
∵△GOH是等腰直角三角形，
∴当OG最小时，△GOH的周长最小，
∴当OH⊥BC时，周长最小是：2OK+OK＝4+2，
故④错误，
故选：B．
7．解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT．

∵PB是⊙O的直径，
∴∠PQB＝∠CQB＝90°，
∴QT＝BC＝定值，AT是定值，
∵AQ≥AT﹣TQ，
∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT＝TQ＝x，
在Rt△ABT中，则有（3+x）2＝x2+62，
解得x＝4.5，
∴BC＝2x＝9，
∴S△ABC＝•AB•BC＝×6×9＝27，
故选：B．
二．填空题
8．解：连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当OP最小时，线段PQ的长度最小，
当OP⊥AB时，OP最小，
在Rt△AOB中，∠A＝30°，
∴OA＝＝6，
在Rt△AOP′中，∠A＝30°，
∴OP′＝OA＝3，
∴线段PQ长度的最小值＝＝2，
故答案为：2．

9．解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．

∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC＝OB＝1，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，﹣3），
∴OD＝4，OE＝3，
∴DE＝＝＝5，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×5×（﹣1）＝2，
故答案为2．
10．解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF．

∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝＝5，
由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，
∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝180°，
∴E，A，F共线，
∵ME＝MP，NF＝NP，
∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，
∵EM+MN+NF≥EF，
∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，
∵EF＝2PA，
∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA＝＝，
∴PM+MN+PN≥，
∴PM+MN+PN的最小值为．
故答案为：．
11．解：如图，在AB的下方作∠BAR＝45°，且AR＝CD＝2，连接MR，DR，过点R作RT⊥DA交DA的延长线于T．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝2，∠DCN＝45°，∠DAB＝∠BAT＝90°，
∴∠DCN＝∠RAM＝45°，
在△DCN和△RAM中，
，
∴△DCN≌△RAM（SAS），
∴DN＝RM，
∵∠BAR＝∠RAT＝45°，AR＝2，∠T＝90°，
∴AT＝RT＝，
∴DR＝＝＝，
∵DM+DN＝DM+MR≥DR，
∴DM+DN的最小值为，
∴（DM+DN）2的最小值为8+4．
故答案为：8+4．
12．解：过B作BG⊥BC，且BG＝BA，连接GE，
∵AD⊥BC，
∴GB∥AD，
∴∠GBA＝∠BAD，
∵GB＝AB，BE＝AF，
∴△GBE≌△BAF（SAS），
∴GE＝BF，
∴BF+CE＝GE+CE≥GC，
∴当G、E、C三点共线时，BF+CE＝GC最小，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
在Rt△BCG中，GC＝，
故答案为．

13．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，
设Rt△ABC的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，
①当点D是直角顶点时，过点D作AB的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以AD长为直径的圆与直角边的交点，
如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意；

当以AD为直径的圆与BC相切时，如图所示，

设圆的半径为r，即AF＝DF＝EF＝r，
∵EF⊥BC，∠B＝30°，
∴BF＝2EF＝2r，
∴r+2r＝2，解得r＝；
∴AD＝2r＝；
综上，AD的长的取值范围为：＜AD＜2．
故答案为：＜AD＜2．
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴A点与C点关于BD对称，
∴CM＝AM，
∴MN+CM＝MN+AM≥AN，
∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，
∵AD∥CF，
∴∠DAE＝∠F，
∵∠DAE+∠DEH＝90°，
∵DG⊥AF，
∴∠CDG+∠DEH＝90°，
∴∠DAE＝∠CDG，
∴∠CDG＝∠F，
∴△DCG∽△FCE，
∵，
∴＝，
∵正方形边长为3，
∴CF＝6，
∵AD∥CF，
∴＝＝，
∴DE＝1，CE＝2，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，
∴EF＝＝2，
∵N是EF的中点，
∴EN＝，
在Rt△ADE中，EA2＝AD2+DE2，
∴AE＝＝，
∴AN＝2，
∴MN+MC的最小值为2，
故答案为：2．
15．解：过G作GH⊥BC，垂足为H，

在正方形ABCD中，∠C＝90°，
∵∠FEG＝90°，
∴∠GEH+∠CEF＝90°，又∠GEH+∠EGH＝90°，
∴∠CEF＝∠EGH，
∴△EHG∽△FCE，
∴，
在△EFG中，sin∠EFG＝＝＝，
∴设EG＝5k，FG＝k，
∴＝，
∵BC＝6，BE＝2，
∴CE＝4，GH＝5，
∴点G的轨迹为距离BC为5的直线l上，且直线l在BC上方，
作点E关于直线l的称点E′，连接BE′，与l于点G′，此BG′+EG′小，即△BEG′的长最小，
∵GH＝5，
∴EE′＝2GH＝10．
∵BE＝2，
∴BE′＝＝2，
∴△BEG周长的最小为2+2．
故答案为：2+2．
16．解：如图，连接CD，CG，

∵△ABC是等腰三角形，CA＝CB＝13，点D是AB边的中点，
∴CD⊥AB，AD＝BD＝AB＝5，
∴CD＝＝12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CD的长为CG+GD的最小值，
∴△AGD的周长最短＝（CG+GD）+AD＝CD+AB＝12+5＝17．
故答案为：17．
17．解：如图，取AD的中点M，连接GM，延长MG交BC的延长线于J，在AB上截取AN，使得AN＝AF，连接FN．作点C关于GJ的对称点K，连接GK，BK．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∵AM＝MD．AE＝EB，
∴AM＝AE，
∵AF＝AN，
∴FM＝NE，
∵∠A＝∠GFE＝90°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，∠AFE+∠GFM＝90°，
∴∠GFM＝∠FEN，
∵FG＝FE，
∴△FGM≌△EFN（SAS），
∴∠GMF＝∠ENF，
∵∠ANF＝∠AFN＝45°，
∴∠GMF＝∠FNE＝135°，
∴∠DMG＝45°，
设MJ交CD于R，
∵∠D＝∠JCR＝90°，
∴∠DMR＝∠DRM＝∠CRJ＝∠CJR＝45°，
∴DM＝DR＝CR＝CJ＝3，
∵C，K关于MJ对称，
∴KJ＝CJ＝2，∠MJK＝∠MJC＝45°，GC＝GK，
∴∠KJB＝90°，
∴BK＝＝＝3，
∵GC+GB＝GK+GB≥BK，
∴GC+GB≥3，
∴GC+GB的最小值为3．
故答案为3．
18．解：如图，取AB的中点O，连接OG，延长CD到T，使得DT＝CD，连接OT，PT，TG，过点O作OH⊥CD于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BAE＝90°，
∴PD⊥CT，
∴DT＝DC，
∴PT＝PC，
∴PG+PC＝PG+PT≥GT，
求出TG的最小值即可解决问题，
∵∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD，AE＝DF，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠BAG+∠DAF＝90°，
∴∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∵AO＝OB，
∴OG＝AB＝1，
在Rt△OHT中，OT＝＝＝，
∴GT≥OT﹣OG，
∴GT≥﹣1，
∴PG+CG≥﹣1，
∴PG+CG的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
19．解：∵C是AB的中点，
∴AC＝BC，
∵四边形ABOD是正方形，
∴∠A＝∠CBF＝90°，
在△ACD和△BCF中
，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴CF＝CD，BF＝AD＝4
∵CE⊥DF，
∴CE垂直平分DF，
∴D、F关于直线CE对称，
∵∠CBF＝∠CBE＝∠FCE＝90°，
∴∠CFB+∠FCB＝∠FCB+∠ECB＝90°，
∴∠CFB＝∠BCE，
∴△BCF∽△BEC，
∴＝，即 ＝，解得BE＝1，
∴OE＝OB﹣BE＝4﹣1＝3，
∴E点坐标为（﹣3，0）；
如图，连接BD交直线CE于点P，
∵点D与点F关于直线CE对称，
∴PD＝PF，
∴PB+PF＝PB+PD≥BD，此时PF+PE的值最小，
∵直线CE的解析式为y＝﹣2x﹣6，直线BD的解析式为y＝x+4，
由，解得，
∴P（﹣，）．
故答案为（﹣3，0），（﹣，）．

20．解：如图1，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH为梯形．

∵点O为中点，
∴OS＝（GR+HT）＝（AP+PB）＝4，即OS为定值，
∴点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上．
如图2，作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O．

由轴对称性质可知，此时OM+OB＝BM′最小．
在Rt△BMM′中，MM′＝2×4＝8，BM＝7，由勾股定理得：BM′＝＝．
∴OM+OB的最小值为．
故答案为：．
三．解答题
21．解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2，
同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；
（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，

将点FB代入一次函数表达式，
同理可得直线BF的表达式为：y＝﹣x+1，
设点P（x，﹣x2+x+2），则点H（x，﹣x+1），
S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO＝2+2（﹣x2+x+2+x﹣1）＝7，
解得：x＝2或，
故点P（2，3）或（，）；
（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），
过点M作A′M∥AN，过点A'作直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，

∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），
A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，
联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），
由中点坐标公式得：点A″（3，0），
同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③，
联立①③并解得：x＝，即点M（，），
点M沿ED向下平移2个单位得：N（，﹣）．
22．解：（1）令x＝0，则y＝2，
∴A（0，2），
令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1（舍去），
∴B（﹣3，0），C（1，0），
由y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+可知D（﹣1，），
故答案为：0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、；
（2）①设P（n，0），则E（n，﹣n2﹣n+2），
∵PE＝PC，
∴﹣n2﹣n+2＝1﹣n，解得n1＝﹣，n2＝1（舍去），
∴当n＝﹣时，1﹣n＝，
∴E（﹣，），
②如图1，设直线DE与x轴交于M，与y轴交于N，直线EA与x轴交于K，

根据E、D的坐标求得直线ED的斜率为，根据E、A的坐标求得直线EA的斜率为﹣，
∴△MEK是以MK为底边的等腰三角形，△AEN是以AN为底边的等腰三角形，
∵到EA和ED的距离相等的点F在顶角的平分线上，
根据等腰三角形的性质可知，EF是E点到坐标轴的距离，
∴EF＝或；
（3）根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与O重合时，周长最小，
如图2，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于Q，交AC于R，
此时△PQR的周长PQ+QR+PR＝EF，
∵A（0，2），B（﹣3，0），C（1，0），
∴AB＝＝，AC＝＝，
∵S△AOB＝×OE×AB＝OA•OB，
∴OE＝，
∵△OEM∽△ABO，
∴＝＝，即＝＝，
∴OM＝，EM＝
∴E（﹣，），
同理求得F（，），
即△PQR周长的最小值为EF＝＝．

23．解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵＝，
∴∠ABG＝∠DBC＝α，
∴∠AGB＝90°﹣α；
（2）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，
∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG（ASA），
∴EF＝DG；
（3）①如图，连接DE，

∵BD为⊙O的直径，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝2，
∴AB＝×AD＝，
∵＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AD＝CE，
∵CE＝BG，
∴BG＝AD＝2，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB＝＝，
∴∠AGB＝60°，AG＝BG＝1，
∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，
∴EG＝DG＝，DE＝DG＝，
在Rt△FED中，DF＝＝，
∴FG+DG+DF＝，
∴△FGD的周长为；
②如图，过点C作CH⊥BF于H，

∵△BDG≌△CFE，
∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠CHF＝90°，
∴△BAD≌△CHF（AAS），
∴FH＝AD，
∵AD＝BG，
∴FH＝BG，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCH+∠HCF＝90°，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠HCF＝∠HBC，
∵∠BHC＝∠CHF＝90°，
∴△BHC∽△CHF，
∴＝，
设GH＝x，
∴BH＝2﹣x，
∴CH2＝2（2﹣x），
在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2，
∴CG2＝x2+2（2﹣x）＝（x﹣1）2+3，
当x＝1时，CG2的最小值为3，
∴CG的最小值为．