中考数学压轴题满分突破训练 专题08 二次函数-线段之差最值问题

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中考数学二轮复习策略（供参考）
第二轮复习是为了将第一轮复习的知识点、线结合，交织成知识网络，是第一轮复习的延伸和提高，所以要注重与实际问题的联系，以实现数学能力的培养和提高。本轮复习应该侧重培养数学能力，在第一轮复习的基础上，适当增加难度，要有针对性，围绕热点、难点、创新点、重点，特别是近几年的中考常考内容选定专题。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。

第八讲 二次函数--线段之差最值问题


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必备知识点
（1）在直线l同侧有两点A、B，在直线L上找一点P，使|PA﹣PB|最大；
（2）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最大；
（3）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最小．
（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）如图所示：



考点一 线段之差最值问题
1．如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接AC，BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，连接PA，PB，PC，设点P的纵坐标为h，试探究：当h为何值时，|PA﹣PC|的值最大？并求出这个最大值．

【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣2）2+c，
得：，解得：，
∴此抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1，即y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）①∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3的对称轴为直线x＝2，
∴可设点P（2，h）．
由三角形的三边关系可知，|PA﹣PC|＜AC，
∴当P，A，C三点共线时，|PA﹣PC|的值最大，为AC的长度，
∴延长CA交直线x＝2于点P，则点P为所求，如图1．
∵点B的坐标为（3，0），对称轴为直线x＝2，
∴A（1，0），
又C（0，﹣3），
则有OA＝1，OC＝3，
∴AC＝＝．
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，解得．
∴直线AC的解析式为y＝3x﹣3，
∴h＝3×2﹣3＝3，
∴当h＝3时，|PA﹣PC|的值最大，最大值为；

2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），其顶点D的坐标为（﹣1，4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PA﹣PC|的值最大，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，4），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4．
∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，3），
∴a×12+4＝3，
∴a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得|PA﹣PC|的值最大，理由：
令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x＝1或﹣3．
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
∴OA＝3，OB＝1．
∵C（0，3），
∴OC＝3．

∵点P在抛物线的对称轴上，
∴PA＝PB．
∴|PA﹣PC|＝|PB﹣PC|．
∵|PB﹣PC|≤BC，
∴当P，B，C三点在一条直线上时，|PA﹣PC|的值最大为BC的长．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，由题意得：
，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）+3＝6，
∴P（﹣1，6）．
∴在抛物线的对称轴上存在一点P，使得|PA﹣PC|的值最大，此时点P的坐标为（﹣1，6）．
3．如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1与x轴从左到右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），连接AC、BC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接PA、PB、PC，设点P的纵坐标表示为m．试探究：当m为何值时，|PA﹣PC|的值最大？并求出这个最大值．

【解答】解：（1）把B（3，0）代入y﹣a（x﹣2）2+1得a×（3﹣2）2+1＝0，
解得：a＝﹣1．
∴此抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3；
（2）①由三角形的三边关系可知，|PA﹣PC|＜AC，
∴当P、A、C三点共线时，|PA﹣PC|的值最大，为AC的长度，
∴延长CA交直线x＝2于点P，则点P为所求的点．
求得A（1，0），C（0，﹣3），
则有OA＝1，OC＝3，
∴AC＝＝．
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，
解得．
∴直线AC的解析式为y＝3x﹣3，
∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3的对称轴为直线x＝2，
∴点P（2，m），
∴m＝3×2﹣3＝3，
∴当m＝3时，|PA﹣PC|的值最大，最大值为．
4．如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．

【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），
设直线OA的解析式为y＝kx，
则5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×（m﹣2）×5＝15，
解得：t＝8，
∴点B的坐标为（2，8）；
（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，
当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12），
此时，PA﹣PB＝AB＝＝3．


5．如图，已知抛物线y＝x2+x+3与直线y＝x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC．
（1）求点A，点C坐标；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；

【解答】解：（1）由题意可得：，
解得：，，
∴点A坐标为（0，3），点B（﹣4，1），
∵y＝x2+x+3与x轴于C、D两点，
∴点C的坐标（﹣3，0），点D（﹣2，0）；
（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，
∴对l上任意一点有MD＝MC，
当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，
过点B作BE⊥x轴于点E，
，
在Rt△BEC中，由勾股定理，得：BC＝＝，
∴|MB﹣MD|取最大值为；
6．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点C，点D为该抛物线的顶点，连接AC．
（1）如图1，连接DA、DC，求点D的坐标和△ACD的面积；
（2）如图2，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PF⊥AC，垂足为F，当△PEF周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QD|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；

【解答】解：（1）如图1中，连接OD．

∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴点D（﹣1，4），
令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x＝0，得到y＝3，
∴C（0，3），
∴S△ADC＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝2．

（2）如图2中，延长PE交OA于H．

∵OA＝OC＝3∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠ACO＝45°，
∵PE∥y轴，
∴∠AHE＝90°，
∴∠AEH＝∠PEF＝45°，
∵PF⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵直线AC的解析式为y＝x+3，
∴E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴m＝﹣时，△PEF的周长最大，此时P（﹣，），
∵D（﹣1，4），
∴PD＝＝，
∵|QP﹣QD|≤PD，
∴|QP﹣QD|≤，
∴|QP﹣QD|的最大值为，
此时P，D，Q共线，
∵直线PD的解析式y＝x+，
令y＝0，得到x＝﹣9，
∴Q（﹣9，0）．

7．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于F．
（1）当△PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使|BH﹣PH|的值最大，求点H的坐标和|BH﹣PH|的最大值；

【解答】解：（1）设点P（m，﹣m+1），则点E（m，0），
联立两个函数表达式得，解得，
即点A、B的坐标分别为（0，1）、（6，﹣5），
由抛物线的表达式知，点C（2，3），
由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣2x+7，
当y＝﹣2x+7＝﹣m+1时，x＝，故点F（，﹣m+1），
△PEF面积＝×PE•PF＝×（m﹣1）（﹣m）＝﹣（m﹣1）（m﹣6），
∵﹣＜0，故△PEF面积有最大值，此时m＝（1+6）＝，
故点P（，﹣），
当P、B、H三点共线时，|BH﹣PH|的值最大，即点H为直线AB与x轴的交点，

故点H（1，0），
则|BH﹣PH|的最大值＝BH﹣PH＝BP＝＝；

8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；

（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，
∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，
又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3，
故，点M的坐标为（2，﹣3）；
9．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M和点N的坐标；
②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；

【解答】解：（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝，故点M（，），
当x＝时，y＝﹣2x+4＝3，故点N（，3）；

②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1，0），则点A与R关于抛物线的对称轴对称，
连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，

将R、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线RB的表达式为：y＝4x+4，
当x＝时，y＝6，
故点Q（，6）；

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2x与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求△ABC的周长；
（2）如图1，P为抛物线上第二象限的点，连接PA、PC，当四边形APCO面积最大时，在对称轴l上找一动点Q，使得|PQ﹣BQ|的值最大，并求出此时点Q的坐标及|PQ﹣BQ|的最大值．

【解答】解：（1）y＝﹣x2x…①，
令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣6和2，
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣6，0）、（2，0）、（0，2），
则AB＝8，AC＝4，BC＝4；
△ABC的周长＝12+4；

（2）四边形APCO面积＝△ACO的面积+△PAC的面积，
△ACO的面积为常数，则四边形APCO面积有最大值，只需要确定△PAC的面积的最大值即可，
将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AC的表达式为：y＝x+2，
如图1，过点P作y轴的平行线交AC于点H，

设点P（x，﹣x2x），则点H（x，x+2），
S△PAC＝PH×OA＝3（﹣x2x﹣x﹣2）＝3（﹣﹣x）＝﹣﹣3x，
∵﹣＜0，故S△PAC有最大值，即四边形APCO面积有最大值，
此时x＝﹣3，故点P（﹣3，）；
作点P关于对称轴的对称点P′（﹣1，），连接BP′交函数对称轴与点Q，则点Q为所求的点，
同理可得：直线P′B的函数表达式为：y＝﹣x+，
当x＝﹣2时，y＝，
故点Q（﹣2，），
则|PQ﹣BQ|的最大值＝P′B＝；

11．如图1，二次函数y＝的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，直线l是它的对称轴．
（1）求直线l与直线AC交点的坐标；
（2）如图2，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与直线AC交于点E，过点P作直线AC的垂线，垂足为点F，当△PEF的周长最大时，在对称轴l上找点M，使得|BM﹣PM|的值最大，求出|BM﹣PM|的最大值，并求出对应的点M的坐标；

【解答】解：（1）在y＝中，令y＝0，则＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1
∴A（﹣4，0），B（1，0）
令x＝0，得y＝，∴C（0，）
设直线AC解析式为y＝kx+b，则，解得
∴直线AC解析式为y＝x+，
∵直线l解析式为x＝﹣，将x＝﹣代入y＝x+中，得y＝×（﹣）+＝，
∴直线l与直线AC交点的坐标为（﹣，）；
（2）∵PD⊥OA，PF⊥AC
∴∠EDA＝∠PFE＝90°；
∵∠PEF＝∠AED
∴∠EAD＝∠EPF
∵OC＝，OA＝4
∴tan∠EPF＝tan∠EAD＝；
∴∠EPF＝30°
∴sin∠EPF＝，cos∠EPF＝，
∴EG＝PE，PF＝PE，
∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE
∴当PE取得最大值时，△PEF的周长最大；
设点P（t，﹣t2﹣t+），则点E（t，t+），
∵点P在点E的上方，
∴PE＝﹣t2﹣t+﹣（t+）＝﹣t2﹣t＝﹣（t+2）2+，
∴当t＝﹣2时，PE取得最大值，此时△PEF的周长取得最大值；
∴P（﹣2，2），E（﹣2，）；
∵B（1，0）与A（﹣4，0）关于直线l对称，连接AM，AP，
∴AM＝BM
|BM﹣PM|的值最大，即|AM﹣PM|的值最大，当P、M、A三点共线时，|AM﹣PM|＝AP最大，
∵AP＝＝＝4
∴|BM﹣PM|的最大值＝4；
设直线AP解析式为y＝k′x+b′，将A（﹣4，0），P（﹣2，2）代入得
解得：
∴直线AP解析式为y＝x+4，令x＝﹣，得y＝，
∴M（﹣，）；

12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；

【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，
解方程得：x＝6或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
又y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，
又顶点C（2，4），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，代入B、C两点坐标得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+6；
（2）如图1，
∵点E（m，0），F（m+2，0），
∴E′（m，﹣m2+m+3），F′（m+2，﹣m2+4），
∴E′M＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+6）＝﹣m2+2m﹣3，
F′N＝﹣m2+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m，
∴E′M+F′N＝﹣m2+2m﹣3+（﹣m2+m）＝﹣m2+3m﹣3，
当m＝﹣＝3时，E′M+F′N的值最大，
∴此时，E′（3，）F′（5，），
∴直线E′F′的解析式为：y＝﹣x+，
∴R（0，），
根据勾股定理可得：RF′＝10，RE′＝6，
∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4；