反比例函数1学案

这是一份反比例函数1学案，共8页。
反比例函数教学目标1、掌握反比例函数的概念以及学会求反比例函数解析式；2、掌握反比例函数的图像性质；3、掌握反比例函数K的几何意义。知识梳理1.  定义：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值是不等于0的一切实数。说明：1）y的取值范围是一切非零的实数。  2）反比例函数的解析式也可以写成xy=k ；；（k为常数，k≠0）         
2.  用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y＝只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k的值，从而确定其解析式。3.  反比例函数的画法：    1）列表；2）描点；3）连线    注：（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴4.  图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y= －x；对称中心是：原点        5.  性质:：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）k的取值k＜0k＞0图像       性质a)       x的取值范围是x≠0；y的取值范围是y≠0;b)       函数的图像两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。a)       x的取值范围是x≠0；y的取值范围是y≠0;b)       函数的图像两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小。 说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。      2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x轴、y轴，但与x轴、y轴没有交点。6.  反比例函数y＝（k≠0）中的比例系数k的几何意义表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图，过双曲线y＝（k≠0）上的任意一点P（x , y）做x轴、y轴的垂线PA、PB，所得矩形OBPA的面积S=PA·PB=∣xy∣=∣k∣。   推出：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为。典例精讲 例1、（1）如图所示，若反比例函数解析式为y= ，P点坐标为（1， 0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐标；（温馨提示：作图时，别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔！）M1的坐标是                   （2） 请你通过改变P点坐标，对直线M1 M的解析式y﹦kx＋b进行探究可得 k﹦    ，若点P的坐标为（m，0）时，则b﹦     ；（3） 依据(2)的规律，如果点P的坐标为（6，0），请你求出点M1和点M的坐标． 【解析】（1）如图；M1 的坐标为（－1，2） （2），（3）由（2）知，直线M1 M的解析式为则(，)满足解得 ，∴  ，∴M1，M的坐标分别为（，），（，）变式训练：反比例函数的图象如图所示，，是该图象上的两点．（1）比较与的大小；（2）求的取值范围．【解析】（1）由图知，随增大而减小．又，．  （2）由，得．  例2、已知正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点的坐标为．（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；（2）求点的坐标．【解析】（1）把点分别代入与得，． 正比例函数、反比例函数的表达式为：． （2）由方程组得，．点坐标是．注：反比例关系与反比例函数的区别和联系：如果xy=k（k≠0），那么x与y这两个量成反比例的关系，这里的x、y可以表示单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式。例如y－1与x+1成反比例，则；若y与x2 成反比例，则成反比例关系，x和y不一定是反比例函数；但反比例函数（k≠0）必成反比例关系。 例3、y-1与x-2成反比例，且经过点（3,6）求y关于x的函数关系式。   例4、如图，P1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A1 的坐标为(2，0)．（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1O A1的面积 将如何变化？（2）若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标．  【解析】（1）△P1OA1的面积将逐渐减小．    ………………2分（2）作P1C⊥OA1，垂足为C，因为△P1O A1为等边三角形，所以OC=1，P1C=，所以P1．    ………………3分代入，得k=，所以反比例函数的解析式为． …4分作P2D⊥A1 A2，垂足为D、设A1D=a，则OD=2+a，P2D=a，所以P2． ……………………………6分代入，得，化简得解的：a=－1±          …………………7分∵a＞0   ∴   ……8分所以点A2的坐标为﹙，0﹚ ……………9分例5、如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点．（1）根据图象，分别写出点A、B的坐标；（2）求出这两个函数的解析式．（1）由图象知，点的坐标为，点的坐标为（3，2）（2）∵反比例函数的图象经过点，∴，即．∴所求的反比例函数解析式为．∵一次函数的图象经过、两点，∴解这个方程组，得∴所求的一次函数解析式为．  巩固练习1、任意写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式:__________2、若正比例函数y=mx (m≠0)和反比例函数y= (n≠0)的图象有一个交点为点(2,3)，则m=______，n=_________ .3、已知正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象都过A（m，1）点，求此正比例函数解析式为________,另一个交点的坐标为________.4、已知反比例函数，其图象在第一、三象限内，则k的值可为         。（写出满足条件的一个k的值即可）5、已知反比例函数的图象经过点，若一次函数的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标为______________6、已知双曲线经过点（－1，3），如果A()，B()两点在该双曲线上，且＜＜0，那么       ．7．已知一个矩形的面积为24cm2，其长为ycm，宽为xcm，则y与x之间的函数关系的图象大致是（   ）     8、函数y＝与函数y＝x的图象在同一平面直角坐标系内的交点的个数是（　　）A、一个　B、二个　C、三个　D、零个  9、已知点A（－2，y1）、B（－1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数的图象上（    ） （A）y1<y2<y3   (B) y3<y2<y1     (C) y3<y1<y2    (D) y2<y1<y3  10、若反比例函数与一次函数的图象都经过点A（，2）（1）求点A的坐标；（2）求一次函数的解析式；    11、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D，且S△PBD=4，．（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.     课后作业                                                                  1、已知甲、乙两地相距（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（h）与行驶速度（km/h）的函数关系图象大致是（    ）      2、若y与x成正比例，x与z成反比例，则y与z之间的关系是（　　）．A、成正比例　  B、成反比例　  C、不成正比例也不成反比例　  D、无法确定3、一次函数y＝kx－k，y随x的增大而减小，那么反比例函数y＝满足（　　）．A、当x＞0时，y＞0　　　　　　B、在每个象限内，y随x的增大而减小C、图象分布在第一、三象限　　 D、图象分布在第二、四象限4、如图，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作x轴的垂线PQ交双曲线y＝于点Q，连结OQ，点P沿x轴正方向运动时，Rt△QOP的面积（　　）．A、逐渐增大　B、逐渐减小　C、保持不变　D、无法确定5、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V在一定范围内满足ρ＝，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（　　）．A、1.4kg　　　　B、5kg　　　C、6.4kg　　　D、7kg6、若A（－3，y1），B（－2，y2），C（－1，y3）三点都在函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）．A、y1＞y2＞y3　　B、y1＜y2＜y3　　C、y1＝y2＝y3　　D、y1＜y3＜y27、已知反比例函数y＝的图象上有A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则m的取值范围是（　　）．A、m＜0　　　B、m＞0　　　C、m＜　　　D、m＞8、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（　　）．A、x＜－1　　　　　　　　　B、x＞2C、－1＜x＜0或x＞2　　　　D、x＜－1或0＜x＜2  9、若反比例函数y＝和一次函数y＝3x＋b的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b＝         ．10、使函数y＝（2m2－7m－9）xm－9m＋19是反比例函数，且图象在每个象限内y随x的增大而减小，则可列方程（不等式组）为                 ．11.  如图，直线y ＝kx(k＞0)与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝___________． 12、如图，长方形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为B（－，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是          ．