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苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线教学ppt课件
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这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，双曲线的定义，双曲线的标准方程，内容索引，差的绝对值，双曲线，c2－a2，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题.
前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见.如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容.
三、双曲线在生活中的应用
问题1 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果F1F2＜AB，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果F1F2＞AB，两圆不相交，不存在交点轨迹.
如图，在F1F2＞AB的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？
提示 如题图，曲线上的点满足条件：MF1－MF2＝常数.
双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的距离之 等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作 .这两个定点叫作双曲线的 ，两焦点间的距离叫作双曲线的 .
注意点：(1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a＝F1F2时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在.(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
例1 已知A(0，－5)，B(0,5)，PA－PB＝2a，当a＝3，a＝5时，P点的轨迹分别为A.双曲线，一条直线B.双曲线，两条直线C.双曲线一支，一条直线D.双曲线一支，一条射线
解析 当a＝3时，2a＝6，此时AB＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a＝5时，2a＝10，此时AB＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
反思感悟 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.
跟踪训练1 已知F1(－6,0)，F2(6,0)，动点P满足PF1－PF2＝10，则P点的轨迹是A.双曲线 B.双曲线的一支C.直线 D.一条射线
解析 F1，F2是定点，且F1F2＝12，所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应为双曲线的一支.
问题2 类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
提示 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上任意一点，则|PF1－PF2|＝2a(a为大于0的常数)，
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，
问题3 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足PF1－PF2＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
注意点：(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.(2)a与b没有大小关系.(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
解得a2＝5或a2＝30(舍去).
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6).
解 方法一 由已知得c＝6，且焦点在y轴上.因为点A(－5,6)在双曲线上，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
解得a2＝16，b2＝20.
反思感悟 求双曲线的标准方程(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.
跟踪训练2 焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q( )的双曲线的标准方程为 ______ .
解得a2＝8，b2＝4，
例3 神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方向角.
解 如图所示，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，
∵PB＝PC，∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又PB－PA＝4＜6＝AB，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
反思感悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
跟踪训练3 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是 ________ _ ；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是 km.
解析 如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则DA－DB＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支.故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
当A，M，C共线时等号成立.
1.知识清单：(1)双曲线定义的应用.(2)双曲线方程的求法.(3)双曲线在实际生活中的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错.
1.“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
解析 当方程表示双曲线时，一定有ab<0，反之，当ab<0时，若c＝0，则方程不表示双曲线.
解析 由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，解得a＝1.
A.(1,2) B.(2，＋∞)C.(－∞，－2) D.(－2,2)
4.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是A.双曲线的一支 B.双曲线C.椭圆 D.圆
解析 由已知可得|PA－PB|＝2k<4k＝AB，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线.
A.9 B.6 C.5 D.3
即c＝5，则有a2＋16＝25，解得a＝3.
2.双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为
又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
3.设F1，F2分别是双曲线x2－ ＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于
在△PF1F2中，PF1＝8，PF2＝6，F1F2＝10，∴△PF1F2为直角三角形，
4.已知双曲线 ＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为A.3或7 B.6或14C.3 D.7
解析 设F2是双曲线的右焦点，连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，
∵|PF1－PF2|＝4，PF1＝10，∴PF2＝14或6，
5.已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长AB＝m，则△ABF2的周长为A.4a B.4a－mC.4a＋2m D.4a－2m
解析 由双曲线的定义，知AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a，所以AF2＋BF2＝(AF1＋BF1)＋4a＝m＋4a，所以△ABF2的周长l＝AF2＋BF2＋AB＝4a＋2m.
6.(多选)双曲线 ＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为A.17 B.7 C.22 D.2
∴点P可能在左支，也可能在右支，由|PF1－PF2|＝2a＝10，得|12－PF2|＝10，∴PF2＝22或2.∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
7.若双曲线以椭圆 ＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为 _____.
8.已知方程 ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 .
则(m2＋n)(3m2－n)>0，所以－m2
把点A的坐标代入，得b2＝9.
10.2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，若PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.
解 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近，依题意知，界线是第三类点的轨迹，设M为界线上的任一点，则PA＋MA＝PB＋MB，MA－MB＝PB－PA＝50，∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分，如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
解析 由题意可得双曲线中a2＝m2＋12，b2＝4－m2，
A.2 B.4 C.6 D.9
所以m＋n＝1(m>0，n>0)，
13.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是A.双曲线的一支 B.圆C.椭圆 D.双曲线
解析 设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得MO1＝r＋1，MO2＝r＋2.∴MO2－MO1＝1，又O1O2＝4，∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
14.已知F1，F2是双曲线 ＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么PF2＋QF2－PQ的值为 .
由双曲线定义，得PF2－PF1＝8，QF2－QF1＝8，所以PF2＋QF2－PQ＝(PF2－PF1)＋(QF2－QF1)＝16.
15.已知P为双曲线 ＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心.若 ＝ ＋8，则△MF1F2的面积为
解析 设△PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.因为 ＝ ＋8，
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题.
前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见.如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容.
三、双曲线在生活中的应用
问题1 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果F1F2＜AB，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果F1F2＞AB，两圆不相交，不存在交点轨迹.
如图，在F1F2＞AB的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？
提示 如题图，曲线上的点满足条件：MF1－MF2＝常数.
双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的距离之 等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作 .这两个定点叫作双曲线的 ，两焦点间的距离叫作双曲线的 .
注意点：(1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a＝F1F2时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在.(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
例1 已知A(0，－5)，B(0,5)，PA－PB＝2a，当a＝3，a＝5时，P点的轨迹分别为A.双曲线，一条直线B.双曲线，两条直线C.双曲线一支，一条直线D.双曲线一支，一条射线
解析 当a＝3时，2a＝6，此时AB＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a＝5时，2a＝10，此时AB＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
反思感悟 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.
跟踪训练1 已知F1(－6,0)，F2(6,0)，动点P满足PF1－PF2＝10，则P点的轨迹是A.双曲线 B.双曲线的一支C.直线 D.一条射线
解析 F1，F2是定点，且F1F2＝12，所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应为双曲线的一支.
问题2 类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
提示 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上任意一点，则|PF1－PF2|＝2a(a为大于0的常数)，
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，
问题3 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足PF1－PF2＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
注意点：(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.(2)a与b没有大小关系.(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
解得a2＝5或a2＝30(舍去).
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6).
解 方法一 由已知得c＝6，且焦点在y轴上.因为点A(－5,6)在双曲线上，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
解得a2＝16，b2＝20.
反思感悟 求双曲线的标准方程(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.
跟踪训练2 焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q( )的双曲线的标准方程为 ______ .
解得a2＝8，b2＝4，
例3 神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方向角.
解 如图所示，以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，
∵PB＝PC，∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又PB－PA＝4＜6＝AB，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
反思感悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
跟踪训练3 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是 ________ _ ；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是 km.
解析 如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则DA－DB＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支.故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
当A，M，C共线时等号成立.
1.知识清单：(1)双曲线定义的应用.(2)双曲线方程的求法.(3)双曲线在实际生活中的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错.
1.“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
解析 当方程表示双曲线时，一定有ab<0，反之，当ab<0时，若c＝0，则方程不表示双曲线.
解析 由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，解得a＝1.
A.(1,2) B.(2，＋∞)C.(－∞，－2) D.(－2,2)
4.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是A.双曲线的一支 B.双曲线C.椭圆 D.圆
解析 由已知可得|PA－PB|＝2k<4k＝AB，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线.
A.9 B.6 C.5 D.3
即c＝5，则有a2＋16＝25，解得a＝3.
2.双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为
又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
3.设F1，F2分别是双曲线x2－ ＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于
在△PF1F2中，PF1＝8，PF2＝6，F1F2＝10，∴△PF1F2为直角三角形，
4.已知双曲线 ＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为A.3或7 B.6或14C.3 D.7
解析 设F2是双曲线的右焦点，连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，
∵|PF1－PF2|＝4，PF1＝10，∴PF2＝14或6，
5.已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长AB＝m，则△ABF2的周长为A.4a B.4a－mC.4a＋2m D.4a－2m
解析 由双曲线的定义，知AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a，所以AF2＋BF2＝(AF1＋BF1)＋4a＝m＋4a，所以△ABF2的周长l＝AF2＋BF2＋AB＝4a＋2m.
6.(多选)双曲线 ＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为A.17 B.7 C.22 D.2
∴点P可能在左支，也可能在右支，由|PF1－PF2|＝2a＝10，得|12－PF2|＝10，∴PF2＝22或2.∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
7.若双曲线以椭圆 ＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为 _____.
8.已知方程 ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 .
则(m2＋n)(3m2－n)>0，所以－m2
把点A的坐标代入，得b2＝9.
10.2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，若PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.
解 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近，依题意知，界线是第三类点的轨迹，设M为界线上的任一点，则PA＋MA＝PB＋MB，MA－MB＝PB－PA＝50，∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分，如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
解析 由题意可得双曲线中a2＝m2＋12，b2＝4－m2，
A.2 B.4 C.6 D.9
所以m＋n＝1(m>0，n>0)，
13.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是A.双曲线的一支 B.圆C.椭圆 D.双曲线
解析 设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得MO1＝r＋1，MO2＝r＋2.∴MO2－MO1＝1，又O1O2＝4，∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
14.已知F1，F2是双曲线 ＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么PF2＋QF2－PQ的值为 .
由双曲线定义，得PF2－PF1＝8，QF2－QF1＝8，所以PF2＋QF2－PQ＝(PF2－PF1)＋(QF2－QF1)＝16.
15.已知P为双曲线 ＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心.若 ＝ ＋8，则△MF1F2的面积为
解析 设△PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.因为 ＝ ＋8，
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